Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif
PC Planche 1
Algèbre linéaire
approfondissement
Exercice 1 :
ℝ3 muni de sa structure de ℝ-espace vectoriel usuelle.
On note 𝐵 = (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) la base canonique ℝ3. 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0}
𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, 𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑧 = 0= 0}
1. Montrer que 𝑈 et 𝑉 sont deux sous espaces supplémentaires dans ℝ3 et déterminer une base de 𝑈 puis une base de 𝑉 2. Soit 𝑝 la projection sur 𝑈 parallèlement à 𝑉. Déterminer 𝑝(1,1,0)
Exercice 2 : Soient 𝑀 et 𝑁 deux matrices de ℳ𝑛(𝕂) telles que 𝑀𝑁 = 0 et (𝑀 + 𝑁) est inversible.
Montrer que
𝑟𝑔(𝑀) + 𝑟𝑔(𝑁) = 𝑛
Exercice 3 :
Soient 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie et 𝑓 ∈ ℒ(𝐸) tel que :
∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑛𝑥∈ ℕ, 𝑓𝑛𝑥 (𝑥) = 0 1. Montrer que 𝑓 est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe un entier 𝑝 tel que 𝑓𝑝= 0) 2. Ce résultat reste-t-il vrai si lorsque 𝐸 n’est pas supposé de dimension finie ?
Exercice 4 : Soient 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie et 𝑓, 𝑔 ∈ ℒ(𝐸) tels que : 𝐸 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓 + 𝐾𝑒𝑟 𝑔 = 𝐼𝑚 𝑓 + 𝐼𝑚 𝑔 1. Montrer que ces deux sommes sont directes.
2. Ce résultat reste-t-il vrai lorsque 𝐸 n’est pas supposé de dimension finie ?
Exercice 5 :
Soient 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie et 𝑓 ∈ ℒ(𝐸). Montrer l’équivalence entre les deux énoncés suivants :
𝐼𝑚 𝑓 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓
𝑓 𝑜 𝑓 = 0 et il existe un endomorphisme 𝑔 dans ℒ(𝐸) tel que 𝑔 𝑜 𝑓 + 𝑓 𝑜 𝑔 = 𝐼𝑑𝐸
