St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2018-2019 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 1
1. On considère les matrices A=
0 1 −1
−1 2 −1
−1 1 0
, etB =
−1 2 2
−2 3 2 2 −2 −1
.
Déterminer la nature des endomorphismes de R3 canoniquement associés à A et B, ainsi que leurs éléments caractéristiques.
A2 =A donc A est la matrice de la projection p sur Im(p) =Vect{(0,1,1),(1,1,0)} parallèlement à Ker(p) =Vect{(1,1,1)}.
B2 =I3 donc B est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−IdR3) =Vect{(1,1,0),(1,0,1)}
parallèlement à Ker(s+IdR3) =Vect{(1,1,−1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, x+z= 0},G={(x, y, z)∈R3, x−y = 0etx+y+z= 0}
a. Déterminer des bases deF et deG.
F =Vect{(1,0,−1),(0,1,0)}, etG=Vect{(1,1,−2)}.
b. Montrer que F etGsont supplémentaires dansR3. On note f1= (1,0,−1), f2 = (0,1,0)etg= (1,1,−2).
La matrice P =
1 0 1
0 1 1
−1 0 −2
est inversible, d’inverse P−1 =
2 0 1
1 1 1
−1 0 −1
.
On en déduit que la famille (f1, f2, g)est libre, de cardinal 3, c’est donc une base de R3; F etGsont supplémentaires.
c. Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur F parallèlement àG.
A=PMat(f
1,f2,g)(p)P−1 =
1 0 1
0 1 1
−1 0 −2
1 0 0 0 1 0 0 0 0
2 0 1
1 1 1
−1 0 −1
=
2 0 1
1 1 1
−2 0 −1
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2018-2019 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 2
1. On considère la matrice A=
1 2 2
2 1 2
−2 −2 −3
, etB =
−1 1 1 0 1 0
−2 1 2
.
Déterminer la nature des endomorphismes de R3 canoniquement associés à A et B, ainsi que leurs éléments caractéristiques.
A2 = I3 donc A est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−IdR3) = Vect{(1,1,−1)}
parallèlement à Ker(s+Id
R3) =Vect{(−1,1,0),(−1,0,1)}.
B2 =B donc B est la matrice de la projection p sur Im(p) = Vect{(1,0,2),(1,1,1)} parallèlement à Ker(p) =Vect{(1,0,1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, x+z= 0},G={(x, y, z)∈R3, y+z= 0etx+y+z= 0}.
a. Déterminer des bases deF et deG.
F =Vect{(1,0,−1),(0,1,0)}, etG=Vect{(0,1,−1)}.
b. Montrer que F etGsont supplémentaires dansR3. On note f1= (1,0,−1), f2 = (0,1,0)etg= (0,1,−1).
La matrice P =
1 0 0
0 1 1
−1 0 −1
est inversible, d’inverse P−1 =
1 0 0
1 1 1
−1 0 −1
.
On en déduit que la famille (f1, f2, g)est libre, de cardinal 3, c’est donc une base de R3; F etGsont supplémentaires.
c. Donner la matrice dans la base canonique de la symétrie par rapport à F, parallèlement à G.
A=PMat(f
1,f2,g)(p)P−1 =
1 0 0
0 1 1
−1 0 −1
1 0 0 0 1 0 0 0 −1
1 0 0
1 1 1
−1 0 −1
=
1 0 0
2 1 2
−2 0 −1
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