J125 Le dé baladeur [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Notons la situation initiale (x, y, z) désignant les faces visibles (dessus, devant, droite).
Voyons le résultat d’un déplacement unitaire : - vers la droite (x, y, z) => (7-z, y, x)
- vers le bas (x, y, z) => (7-y, x, z) - vers la gauche (x, y, z) => (z, y, 7-x) - vers le haut (x, y, z) => (y, 7-x, z)
1/ Voyons ce que cela donne sur n cases d’une même direction (et en tournant autour du dé de manière à le regarder repartir selon la même vue à chaque changement de direction) :
* n = 2, la situation devient (7-z, 7-x, y), (7-y, z, 7-x), (x, y, z).
Il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 3, la situation devient (7-x, z, y), (x, y, z).
Il faut donc 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 4, la situation devient (z, x, y), (y, z, x), (x, y, z).
Il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 5, la situation devient (x, y, z).
Il faut donc 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale.
Au-delà, le résultat ne dépend que de n modulo 4 car le dé retrouve sa position initiale au bout de 4 déplacements selon une même direction.
Dans le cas général n>1, nous pouvons donc résumer comme ceci :
- si n est pair, il faut 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale - si n est impair, il faut 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale
Comme 2006 est pair, il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
2/ Voyons ce que cela donne sur les premières valeurs avec la situation initiale (3, 2, 1)
case 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 situation
3 6 5 3 2 6 5 3 2 4 6 3 1 2 6 5 1 3 6 4 1 5 6 2 1 5 4 2 3 2 2 6 6 6 5 1 1 1 1 4 6 3 3 3 3 3 6 4 1 3 3 3 3 3 3 5 4 2 1 3 3 2 4 4 4 5 3 2 2 2 2 6 5 1 2 2 2 2 2 1 5 6 2 1 1 1 1
Nous sommes chanceux car la position initiale se répète dès la 29ème case (ensuite 45, 49, de 4 en 4 de 125 à 169, puis de 293 à 305, …)
Pour répondre à l’autre question, voyons ce que cela donne à l’issue d’un parcours de 2p-1 cases à droite, 2p-1 cases en bas, 2p cases à gauche et 2p cases en haut (soit 8p-2 cases, pour p>0) avec un retour à la case numéro 1 + somme (p=1..n, 8p-2) = 1 + 2n(2n+1) :
* p = 1, (x, y, z) => (7-y, z, 7-x)
* p = 2, (x, y, z) => (y, 7-z, 7-x)
Au-delà, le résultat ne dépend que de p modulo 2 car cela ajoute des bouts de 4 déplacements sur chaque sous trajet.
Sur ces cases d’angles, le retour à la situation initiale se fait tous les 6 parcours :
n 0 1 2 3 4 5 6 …
case 1 7 21 43 73 111 157 …
situation (x, y, z) (7-y, z, 7-x) (z, x, y) (7-x, y, 7-z) (y, z, x) (7-z, x, 7-y) (x, y, z) …
Pour n = 22 = 6*3+4, nous avons 1 + 2n(2n+1) = 1981 avec la situation (y, z, x)
Ensuite il y a un trajet de 2*23-1 = 45 déplacements vers la droite, donc 2006 se situe sur ce segment.
Comme 2006 – 4*6 = 1982, la situation sur la case 2006 sera la même que sur la case 1982.
Cette dernière contient la situation n =4 plus un déplacement à droite, c'est-à-dire (7-x, z, y).
Avec (x, y, z) = (3, 2, 1) cela nous donne donc la situation (4, 1, 2) sur la case 2006.
