J125 Le dé baladeur [**** à la main]
1) On considère un dé cubique à 6 faces de 1cm de côté que l’on place au coin supérieur gauche d’un circuit carré de 2006 cm de côté. Les trois faces visibles sont respectivement le 2 vu de face, le 3 sur le dessus et le 1 sur le côté droit (voir la figure ci-après avec un circuit carré de 6 cm de côté).On rappelle que les chiffres 6,5 et 4 sont respectivement opposés aux chiffres 1,2 et 3.
On déplace le dé en le faisant pivoter de 90° chaque fois qu’il passe d’une case à l’autre du circuit. Par exemple, avec le schéma ci-dessus, après le premier mouvement du dé, la face 1 repose sur la deuxième case à droite de la case de départ tandis que la face 2 reste à la verticale, la face 3 est sur le côté droit et le chiffre 6 est sur le dessus.
Combien de circuits complets le dé doit-il parcourir pour que, revenu à la case de départ, il retrouve exactement sa position initiale ?
Généralisation avec un circuit carré de dimension n entier > 1cm .
2) On fait parcourir à ce même dé un parcours en spirale sur le circuit ci-après. La face 1 verticale est tournée vers la case n°2, la face 3 est sur le dessus et la face 2 verticale est tournée vers la case n°4.
La case de départ est numérotée 1 et l’on fait pivoter comme précédemment le dé de 90° pour qu’il passe de la case n°i à la case n° i+1.
Quelle est la première case après la case de départ où le dé retrouve exactement sa position initiale ?
Quelle est la position du dé sur la case n°2006 ?
43 44 45 46 47 48 49 50 42 21 22 23 24 25 26 41 20 7 8 9 10 27 40 19 6 1 2 11 28 39 18 5 4 3 12 29 38 17 16 15 14 13 30 37 36 35 34 33 32 31
