PHYS-F-104Physique 1Examen du 21 aout 2014I. Théorie (20 points – 1 heure 10')

(1)

NOM, PRENOM (en majuscules) ….………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 21 aout 2014 I. Théorie (20 points – 1 heure 10')

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Note théorie : /20

P.Vanlaer PHYS-F-104 examen 21 aout 2014

(2)

Partie I

1. Définissez, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez : a) produit scalaire de deux vecteurs ⃗a et ⃗b

b) moment cinétique d'une masse ponctuelle par rapport à un point O (2 points)

a) ⃗a .⃗b=|⃗a|.|^⃗^b|^cosθ , où |⃗a| et |^⃗^b| sont les normes des vecteurs ⃗a et ⃗b , et θ est l'angle entre eux.

b) L^⃗_O=⃗r×⃗p , où ⃗r est le vecteur depuis le point O jusque la masse et ⃗p la quantité de mouvement de la masse.

(3)

Partie I

2. Enoncez les deux premières lois de Newton de la dynamique pour les mouvements de translation, et les deux lois correspondantes pour les mouvements de rotation, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.

(4 points) Translation :

1e loi: tout corps qui n'est pas soumis à l'action d'une force extérieure (càd.

résultante des forces extérieures nulle) persiste dans son état de repos ou de mouvement rectiligne à vitesse constante.

2e loi: si la résultante des forces extérieures n'est pas nulle, la quantité de mouvement du corps ⃗p varie selon la loi : d⃗p

dt =

∑

^F^⃗^ext ^.

Rotation :

1e loi: tout corps qui n'est pas soumis à l'action d'un moment de forces extérieur (càd. moment résultant nul) persiste dans son état de repos ou de mouvement de rotation à vitesse angulaire constante.

2e loi : si la résultante des moments de forces extérieurs n'est pas nulle, le moment cinétique du corps par rapport à un point O varie selon la loi :

dL⃗_O

dt =

∑

^τ^⃗Ô^{( ⃗}^Fêxt⁾ ^{, où} ^τ^⃗Ô^{( ⃗}^Fêxt⁾ est le moment de la force F⃗_ext par rapport au point O.

(4)

Partie I

3. Démontrez que, pour qu'un objet soumis à trois forces coplanaires non-parallèles soit en équilibre statique, il faut nécessairement que les trois forces soient concourantes.

(2 points)

Equilibre statique du corps : τ⃗A( ⃗F₁)+ ⃗τA( ⃗F₂)+ ⃗τA( ⃗F₃)=0 pour tout point A.

Considérons deux des 3 forces, F⃗₁ et F⃗₂ , et appelons A le point où leurs lignes d'action se croisent. Les moments de force de F⃗₁ et F⃗₂ par rapport à A sont nuls. Donc

⃗

τA( ⃗F₃)=0 aussi, donc le bras de levier de F⃗₃ par rapport à A est nul.

(5)

Partie I

4. Etablissez la relation entre la période de révolution et le rayon de l'orbite des planètes du système solaire (3^e loi de Kepler), en supposant leurs orbites circulaires.

(3 points)

Selon la loi de la gravitation universelle, la norme de la force d'attraction qui maintient les planètes sur leur orbite s'exprime comme :

F_G=G m_pM_S R²

où m_p est la masse de la planète, M_S est la masse du soleil, G est la constante de gravitation universelle et R est le rayon de l'orbite.

D'autre part pour un MCU, la norme de la force centripète s'exprime comme : F_c=mpω²R=m_p(2π

T )²R

où T est la période de révolution.

Donc : R³

T²=GM_S 4π² .

(6)

Partie I

5. Une collision parfaitement inélastique a lieu entre une masse en mouvement et une deuxième masse initialement au repos. La première masse s'encastre dans la deuxième, et elles poursuivent ensemble leur mouvement après le choc. Calculez l'expression de l’énergie cinétique après la collision, en précisant toutes les grandeurs que vous introdui- sez.

(3 points)

Collision complètement inélastique :

• conservation de la quantité de mouvement, mais pas de l’énergie mécanique ;

• les deux objets sont « collés » après le choc ( v⃗_1,_f= ⃗v_2,_f= ⃗v_f ).

Conservation de la quantité de mouvement : p⃗_f=(m₁+m₂) ⃗v_f= ⃗p_i=m₁v⃗_1,_i

Le mouvement est entièrement dans la direction du mouvement de m1 avant le choc, donc : v_f= m₁

m₁+m₂v_1,_i.

Energie cinétique totale après le choc : E_{cin , f}=1

2(m₁+m2)v²_f=1

2(m1+m2)( m₁ m₁+m₂)

2

v_1,²_i=1 2( m₁²

m₁+m₂)v_1,i² .

(7)

Partie II

6. Etablissez la formule qui donne les longueurs d'onde des ondes stationnaires sur une corde tendue fixée à ses deux extrémités. Précisez toutes les grandeurs que vous intro- duisez.

(3 points)

L'onde fait un aller-retour sur la corde (déphasage 2π.2l

λ , où λ est la longueur d'onde) et se réfléchit 2 fois sur une extrémité fixe (déphasage π+π ).

Pour que l'onde directe et l'onde réfléchie interfèrent constructivement, il faut que : 2π.2l

λ +2π=2Nπ , où N est un nombre entier.

Donc les longueurs d'onde des harmoniques sont données par : 2l

N '=λ , où N'=N-1.

(8)

Partie II

7. On observe la figure de diffraction produite à grande distance par une fente rectangu- laire éclairée par une lumière monochromatique. Etablissez la formule qui donne la po- sition des minima de diffraction, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.

(3 points) voir Hecht.

(9)

NOM, PRENOM (en majuscules) ..………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 21 aout 2014 II. Exercices (20 points – 2 heures)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Notes : Q1 /4 Q2 /4 Q3 /4 Q4 /4 Q5 /4

Note totale exercices : /20

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Partie I

1. Un camion roule à une vitesse de 55 km/h dans un virage de 120 m de rayon. Un objet est suspendu au rétroviseur du camion par une ficelle. Quel angle cette ficelle fait-elle avec la verticale ? Notez que la chaussée est horizontale (le virage n'est pas incliné).

(4 points)

La tension de la ficelle doit avoir une composante centripète, sinon la masse ne tournerait pas.

On applique la 2^e loi de Newton :

• dans la direction verticale, sens + vers le haut : 0=Tcosθ−mg , oùT est la norme de la tension de la ficelle

• dans la direction radiale , sens + vers le centre du virage: m a_c=m v²

R =Tsinθ En éliminant T on trouve :

tgθ= v²

Rg=(55/3,6)² 120.10 =0,19 donc θ=11^o .

(11)

Partie I

2. Un bloc est lâché avec une vitesse nulle sur une planche inclinée de 15 degrés par rapport à l'horizontale. Il glisse de 1,20 mètres le long de la planche, puis vient buter contre un ressort posé sur la planche, initialement détendu, et le comprime. Lorsque le bloc s’arrête avec le ressort comprimé, il a parcouru une distance de 1,28 mètres par rapport à l'endroit où il a été lâché. Quel est le coefficient de frottement entre le bloc et la planche si la masse du bloc est de 250 grammes et si la raideur du ressort est de 27 N/m ?

(4 points)

Le coefficient de frottement intervient dans le travail de la force de frottement : W=F_f.d ,

oùd=1,28 m est la distance totale parcourue par le bloc en frottant sur la planche, avant de s'arrêter.

Ce travail est l'énergie mécanique perdue lors du mouvement :

E_i=E_f+W , où Ei et Ef sont les énergies mécaniques initiale et finale.

E_i=mgdsinθ (vitesse initiale nulle) ; E_i=1

2k x² (énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur k=27 N/m comprimé de x=8 cm.

Pendant le mouvement on a :

• F_f=μcN ;

• N−mgcosθ=0 (équilibre des forces dans la direction perpendiculaire au plan incliné)

Donc F_f=μcm gcosθ . En mettant tout cela ensemble :

μ_cm g dcosθ=mgdsinθ−1 2k x² donc :

μc=

mgdsinθ−1 2k x²

mg dcosθ =0,24 .

(12)

Partie I

3. Depuis la surface d'une planète sphérique, on tire un boulet de canon verticalement vers le haut, avec une vitesse de 0,74 fois la vitesse de libération (c'est-à-dire une vitesse proche de la vitesse nécessaire pour s'arracher à l'attraction gravitationnelle de cette planète). Le boulet s’éloigne en ralentissant, s’arrête, puis fait demi-tour. Calculez le rapport entre la distance maximum d’éloignement par rapport au centre de la planète et le rayon de celle-ci. Supposez que la planète ne tourne pas sur elle-même et négligez le frottement du boulet dans l’atmosphère de la planète.

(4 points)

Avec une vitesse initiale proche de la vitesse de libération, le boulet va s'éloigner de la surface de la planète d'une grande distance (grande par rapport au rayon de la planète) ; l'accélération gravitationnelle ne va donc pas être constante (ce n'est pas un MRUA).

On applique la conservation de l'énergie mécanique.

Energie mécanique initiale après le tir, à la surface de la planète de rayon R : E_i=1

2m v_i²−GMm

R , où v_i est 0,74 fois la vitesse de libération,m est la masse du boulet et M la masse de la planète.

Notons k=0,74 ; v_i=k vlib=k

√

²^GM^R ^.

Quand le boulet est le plus éloigné de la planète (vitesse nulle), l'énergie mécanique finale s'exprime comme :

E_f=0−GMm

r_max , où r_max est la distance au centre de la planète.

E_i=E_f , donc 1

2m k²2GM

R −GMm

R =−GMm

r_max , donc en simplifiant : k² R−1

R= −1 r_max. On trouve finalement : r_max

R = 1

1−k²=2,2.

(13)

Partie II

4. Un tuyau horizontal est parcouru par de l'eau à un débit de 100 litres par seconde. Le tuyau comporte un étranglement. On mesure la différence de pression Δ p du fluide entre l'endroit où la section du tuyau est la plus grande et l'endroit où la section est la plus petite. Ensuite on remplace l'eau par de l'essence, et on règle le débit de façon à observer la même valeur Δ p pour la différence de pression entre la section la plus grande et la section la plus petite. Quel est le débit d'essence transporté ? Prenez 1000 kg/m³ comme masse volumique de l'eau et 680 kg/m³ comme masse volumique de l'essence.

(4 points)

Par Bernouilli, la différence de pression entre les deux sections du tuyau est : p₁−p₂=1

2ρ(v2 2−v1

2) (pas de différence de hauteur).

On fait apparaître le débit en utilisant l'équation de continuité J=S₁v₁=S₂v₂ : p₁−p₂=1

2ρ[(J S₂)

2

−( J S₁)

2

] . On isole J :

J²=2(p₁−p₂) ρ [ S₁²S₂²

S₁²−S2 2] .

Donc si la différence de pression est la même pour les deux fluides, les débits sont dans le rapport :

J_essence

J_eau =

√

^ρ^ρêssenceêau ^{, donc} ^Jêssence⁼¹²¹ litres / seconde.

(14)

Partie II

5. Deux haut-parleurs, le premier fixe et le deuxième mobile, émettent un son de même fréquence. Un microphone est placé à 3,00 mètres du haut-parleur fixe. Lorsqu'on change la position du haut-parleur mobile, en l’écartant du haut-parleur fixe sur l'axe perpendiculaire à la droite qui joint le haut-parleur fixe et le micro, l’intensité du son capté par le micro diminue d'abord, puis augmente, et les maxima et minima d’intensité se succèdent. Le premier minimum est observé lorsque les haut-parleurs sont distants de 1,00 mètre. Quelle est la fréquence du son ? Prenez 340 m/s pour la vitesse du son.

(4 points)

Premier minimum d'interférence → différence de chemin parcouru par les sons émis par les deux haut-parleurs = l/2 :

Pythagore :

λ/2=

√

^3,00²⁺^1,00²^m⁻^3,00^m ^.

De λ=v

f on trouve : f= 340m/s

2(

√

^3,00²⁺^1,00²⁻^3,00⁾^m^=1,05^{kHz .}