PHYS-F-104Physique 1Examen du 14 juin 2013I. Théorie (20 points – 1 heure)

(1)

NOM, PRENOM (en majuscules) ….………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 14 juin 2013 I. Théorie (20 points – 1 heure)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Note théorie : /20

P.Vanlaer PHYS-F-104 examen 14 juin 2013

(2)

Partie I

1. Définissez, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez : a) force conservative

b) quantité de mouvement

c) produit vectoriel de deux vecteurs ⃗a et ⃗b d) contrainte mécanique

(4 points)

a) Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi (mais seulement du point de départ et du point d’arrivée).

b) ⃗p=m⃗v, où m est la masse du corps et ⃗vsa vitesse

c) ⃗a×⃗b=∣⃗a∣∣⃗b∣sin(α) ⃗1_z, où ∣⃗a∣,∣⃗b∣ sont les normes des vecteurs ^⃗^a et ^⃗b , sin(α)est le si- nus de l'angle entre les deux vecteurs, et 1^⃗_z est le vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs ⃗a et ^⃗b et dont le sens est donnée par la règle de la main droite

d) σ=F

S , où F est la force répartie sur une surface S

(3)

Partie I

2. Une masse m est suspendue à un fil de longueur l. On écarte la masse de la position d’équilibre de sorte que le fil fasse un angle θmax par rapport à la verticale, puis on lâche la masse avec une vitesse initiale nulle. Calculez l'expression de l'énergie cinétique de la masse en fonction de l'angle θ entre le fil et la verticale. Négligez le frottement dans l'air.

(3 points)

θmax

l

θ

h

E_mec=E_cin+E_pot=cste→E_cin=Emec , initiale−E_pot

La hauteur initiale à laquelle la masse est lâchée s'exprime comme : h=l−lcosθmax=l(1−cosθmax)

L’énergie mécanique initiale est donc : Emec ,initiale=Epot , initiale=mgl(1−cosθmax)

L’énergie potentielle lorsque le fil fait un angle θ avec la verticale : E_pot=mg(l−lcosθ)=mgl(1−cosθ)

L’énergie cinétique lorsque le fil fait un angle _θ avec la verticale est donc : E_cin=mgl(1−cosθmax)−mgl(1−cosθ)=mgl(cosθ−cosθmax) .

(4)

Partie I

3. Les satellites en orbite géostationnaire peuvent-ils être positionnés à n’importe quelle altitude ? Justifiez.

(3 points) Non.

En faisant l'approximation que l'orbite est circulaire, la force centripète qui s’exerce sur le sa- tellite a pour expression :

F_c=mω²R ,

où R est la distance au centre de la Terre et ω la vitesse angulaire de la rotation, avec ω=2π

T et la période T = 1 jour.

Cette force centripète est la force d’attraction gravitationnelle, qui s'exprime comme : F_G=G M m

R² .

L’égalité de Fc et FG fixe la valeur de R.

(5)

Partie I 4.

a) Enoncez les lois de la statique.

(2 points)

b) Démontrez que, pour qu'un objet soumis à trois forces coplanaires non-parallèles soit en équilibre statique, il faut nécessairement que les trois forces soient concourantes.

(2 points)

a) Pour un système en équilibre statique :

– Equilibre de translation :

∑

^F^⃗ⁱ⁼0 en tout point du système

– Equilibre de rotation :

∑

^τ^⃗^A^{( ⃗}^Fⁱ⁾⁼0 par rapport à tout point A du système, où τA( ⃗F_i) est le moment d’une force extérieure par rapport au point A.

b) Equilibre statique du corps : τ⃗A( ⃗F₁)+ ⃗τA( ⃗F₂)+ ⃗τA( ⃗F₃)=0 pour tout point A.

Considérons deux des 3 forces, F⃗₁ et F⃗₂ , et appelons A le point où leurs lignes d'action se croisent. Les moments de force de F⃗₁ et F⃗₂ par rapport à A sont nuls. Donc

⃗

τA( ⃗F₃)=0 aussi, donc le bras de levier de F⃗₃ par rapport à A est nul.

(6)

Partie II

5. Etablissez l’équation de continuité d'un fluide incompressible, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.

(3 points) v. cours

(7)

Partie II

6. Définissez le grossissement angulaire d'un appareil d'optique. Etablissez l'expression du grossissement angulaire d'une lentille utilisée comme loupe, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.

(3 points)

Grossissement angulaire G_A=αA

αp

où αA est l'angle sous lequel l'objet est vu dans l'appareil, et αp≃y_o

d_p est l'angle sous lequel l'objet est vu au punctum proximum ( y_o est la taille de l'objet et d_p est la distance entre le punctum proximum et la rétine).

Lorsqu'on utilise une lentille comme une loupe, on place l'objet au foyer de la loupe pour pou- voir observer avec l'oeil au repos (les rayons qui émergent de la loupe sont parallèles entre eux). Dans ce cas αA≃ y_o

f , où f est la distance focale de la lentille, et : G_A=d_p

f .

(8)

NOM, PRENOM (en majuscules) ..………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 14 juin 2013

II. Exercices (20 points – 2 heures)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Notes : Q1 /4 Q2 /4 Q3 /4 Q4 /4 Q5 /4

Note totale exercices : /20

(9)

Partie I

1. Un wagon de train de 3,5 tonnes, en mouvement sur une voie horizontale, vient s'ac- crocher à un wagon de 2,3 tonnes à l’arrêt. Les deux wagons se déplacent ensuite en- semble à vitesse constante. L’énergie dissipée lors du choc ne peut pas dépasser 100 J, si- non le système d'accrochage des wagons risque d’être endommagé. A quelle vitesse maximum le premier wagon peut-il avancer juste avant le choc ?

(4 points)

Il s'agit d'une collision parfaitement inélastique (conservation de la quantité de mouvement mais dissipation d’énergie mécanique).

Energie dissipée : E_{mec , i}−E_{mec , f}=1

2m₁v_1,i² −1

2(m₁+m₂)v²_f≤100J

La relation entre la vitesse initiale du premier wagon et la vitesse finale des deux wagons ac- crochés se trouve par la conservation de la quantité de mouvement :

m₁v_1,i=(m₁+m2)v_f→v_f= m₁ m₁+m₂v_1,i Donc :

1

2m₁v_1,i² −1

2(m₁+m₂) m₁²

(m₁+m₂)²v_1,i² =1 2

m₁m₂

m₁+m₂v_1,²_i≤100J Soit :

v_1,_i≤

√

^100.2.^3500.2300⁵⁸⁰⁰ ⁼^0,38m^/^s.

(10)

Partie I

2. Une personne monte sur une échelle de 3,0 m de longueur posée contre un mur vertical complètement lisse. L’échelle fait un angle de 7,4 degrés par rapport à la verticale. Quel doit être, au minimum, le coefficient de frottement statique entre le sol horizontal et l’échelle pour que la personne puisse arriver en haut de l’échelle sans que celle-ci ne glisse ? La masse de la personne vaut 80 kg ; négligez la masse de l’échelle.

(4 points)

^⃗R=R1⃗_x m⃗g=m(−g) ⃗1_z

θ 1^⃗_z 1⃗_x

N⃗=N1⃗_z

A

F⃗_s=−F_s1⃗_x

Le système est en équilibre statique. Notons m⃗g le poids de la personne, N⃗ la réaction normale du sol, F⃗_s la force de frottement statique sur le sol et ⃗R la réaction du mur (normale au mur puisque le mur est parfaitement lisse).

Pour que l’échelle ne glisse pas il faut : F_s≤μsN

Calculons les forces dans le cas-limite où la personne se trouve en haut de l’échelle.

Equilibre de translation : N⃗+m⃗g=0→N=mg F⃗_s+⃗R=0→F_s=R

Equilibre de rotation par rapport au point A : en choisissant le sens positif des moments selon 1⃗_y :

R lcosθ−mglsinθ=0→R=mgtanθ Donc :

F_s=mgtanθ et F_s

N =tanθ , qui doit être plus petit ou égal à μs . Donc : μs≥tan 7,4^o=0,13.

(11)

Partie I

3. Un cylindre plein de 12 cm de rayon et constitué d'un matériau homogène est lâché au sommet d'un plan incliné. Il roule sans glisser jusqu'au bas du plan. A quelle vitesse arrive-t-il en bas si le plan fait 4,7 m de longueur et qu'il est incliné de 3,3 degrés par rapport à l'horizontale ?

(4 points)

Pas de glissement → énergie mécanique conservée.

Soit m la masse du cylindre et R son rayon. En haut du plan l’énergie mécanique est : E_{mec , i}=mgh

où h=lsinθ , l = 4,7 m et _θ=3,3^o . En bas du plan :

E_{mec , f}=1

2m v²+1 2Iω²

où I est le moment d'inertie du cylindre (I = ½ mR²).

Condition de roulement sans glissement : _ω=v_/R

En remplaçant dans les expressions de l’énergie mécanique : 1

2m v²+1

2m R²(v

R)²=mglsinθ Donc :

v=

√

⁴^gl³^sin^θ⁼

√

^{4.10 .4,7}³^{.sin 3,3}^o⁼^1,9m^/^s

(12)

Partie II

4. On pompe de l'eau dans un réservoir surélevé. Le tuyau qui amène l'eau de la pompe au réservoir a un diamètre de 14 cm en bas et 18 cm en haut, et la différence de hauteur entre les deux extrémités du tuyau est de 2,0 m. On mesure les pressions aux deux extrémités et on observe qu'elles sont égales. Quel est le débit d'eau dans le tuyau en m³ par seconde ? Négligez la viscosité de l'eau.

(4 points)

Le débit d'eau J=S.v est constant le long du tuyau puisque l'eau est incompressible (équation de continuité).

Par la loi de Bernouilli : p₁+1

2ρv₁²+0=p₂+1

2ρv₂²+ρg h₂

où on a pris l'altitude de référence à l’extrémité basse du tuyau.

Comme p₁=p₂ l'expression se simplifie en 1 2v₁²=1

2v₂²+g h₂ . Par l’équation de continuité v₂=S₁

S₂v₁ , donc : v₁²(1−S₁²

S₂²)=2g h₂

et J=S₁v₁=S₁

√

¹⁻^2gh^S^S¹²²²^=π⁽^0,14⁴ ⁾²

^√

¹^2.10.2⁻^0,14^0,18⁴⁴^=0,12^m³^/^s.

(13)

Partie II

5. On éclaire deux fentes parallèles de même largeur avec une lumière de 500 nm de longueur d'onde, et on observe la figure d’interférence sur un écran placé à 3,0 mètres de distance. Dans la bande centrale brillante, on observe seulement 3 maxima de chaque côté du maximum central. Les maxima successifs sont séparés de 2,2 mm.

a) Calculez la distance entre les fentes.

(2 points)

b) Pour quelle(s) valeur(s) du rapport entre la largeur des fentes et la distance entre les fentes peut-on observer une telle figure d’interférence ?

(2 points)

On observe l'effet combiné de l’interférence et de la diffraction, c'est-à-dire des franges de Young modulées par la figure de diffraction d'une fente de largeur finie. La bande brillante correspond aux maxima d’interférence qui se trouvent à l’intérieur du premier maximum de diffraction.

a) Pour des fentes séparées par une distance a, les maxima successifs observés sur un écran à distance d des fentes sont séparés d'une distance y=λd

a . Donc : a=500.10⁻⁹.3,0

2,2.10⁻³ =0,68mm.

b) On observe 3 maxima de part et d'autre du maximum central d’interférence (n=0), et pas 4.

Donc l'angle d'ouverture du pic central de diffraction, θ , doit être tel que : 3λ≤asinθ<4λ

Or pour une fente de largeur D, l'ouverture du pic central de diffraction est donnée par : Dsinθ=λ

Donc 3Dsinθ≤asinθ<4Dsinθ , soit : 3D≤a<4D .