PHYS-F-104Physique 1Examen du 21 aout 2012I. Théorie (20 points – 1 heure)

NOM, PRENOM (en majuscules) ….………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 21 aout 2012 I. Théorie (20 points – 1 heure)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Note théorie : /20

P.Vanlaer PHYS-F-104 examen aout 2012 02/06/12

Partie I

1. Définissez, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez : a) moment d'une force par rapport à un point O

b) centre de gravité d'un corps c) vitesse angulaire

(3 points)

a) τ⃗O= ⃗r_O×⃗F , où r⃗_O est le vecteur qui joint le point O au point d'application de la force F⃗ .

b) point tel que le moment total du poids des différents éléments du corps par rapport à ce point est nul. Ou encore : c'est le point auquel on peut considérer que le poids du corps s'ap- plique, pour les lois de la dynamique (translation et rotation).

c) ω=dθ

dt , où _θ est l'angle de rotation.

Partie I

2. Enoncez les lois de Newton de la dynamique.

(3 points) voir cours.

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Partie I

3. Etablissez la relation entre la période de révolution et le rayon de l'orbite des planètes du système solaire (3^e loi de Kepler), en supposant leurs orbites circulaires.

(4 points)

Selon la loi de la gravitation universelle, la norme de la force d'attraction qui maintient les planètes sur leur orbite s'exprime comme :

F_G=G m_pM_S R²

où m_p est la masse de la planète, M_S est la masse du soleil, G est la constante de gra- vitation universelle et R est le rayon de l'orbite.

D'autre part pour un MCU, la norme de la force centripète s'exprime comme : F_c=mpω²R=m_p(2π

T )²R

où T est la période de révolution.

Donc : R³

T²=GM_S 4π² .

Partie I

4. Démontrez la relation entre la variation d’énergie cinétique d'un objet ponctuel et le travail de la résultante des forces extérieures appliquées à cet objet.

(4 points)

Le travail de la force extérieure entre le point initial et le point final de la trajectoire s'exprime comme :

W_i→f=

∫

Or d⃗r=⃗v dt et F⃗=m⃗a ; de plus l’accélération se décompose en une accélération tan- gentielle parallèle à la vitesse, et une accélération centripète, perpendiculaire à celle-ci :

⃗a=a_v1⃗_v+a_c1⃗_R

et l’accélération tangentielle est la variation de la norme de la vitesse : a_v=dv

dt

Donc le produit scalaire dans l’intégrale : F⃗⋅d⃗r=m(dv

dt 1⃗_v+a_c1⃗_R)⋅⃗v dt devient :

F⋅d⃗ ⃗r=m(dv

dt v dt+0)=m v dv donc :

W_i→f=

∫

f m v dv=[mv² 2 ]

i f

=E_{cin , f}−E_{cin , i}

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Partie II

5. Une onde transversale parcourt une corde de tension FT et de masse linéique μ. Com- bien de temps faut-il à cette onde pour parcourir la longueur L de la corde ?

(2 points)

t=L v= L

√

^{√ √}

Partie II

6. On considère le ménisque formé par un liquide dans un tube à essai en verre. Etablis- sez l'expression de l'angle de contact entre le liquide et la paroi du tube en fonction des tensions superficielles entre les matériaux en présence.

(4 points)

Schéma : voir syllabus.

Equilibre des forces à la ligne de contact entre le verre (v), le liquide (l) et l'air (a) : F_lv+F_lacosβ=F_av

soit pour une ligne de contact de longueur d : γlvd+γladcosβ=γavd

γij représentant la tension superficielle entre le milieu i et le milieu j.

Dès lors :

β=arccosγav−γlv

γla

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NOM, PRENOM (en majuscules) ..………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 21 aout 2012 II. Exercices (20 points – 2 heures)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne sont pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Notes : Q1 /4 Q2 /4 Q3 /4 Q4 /4 Q5 /4

Note totale exercices : /20

Partie I

1. Une voiture prend un virage relevé de 100 m de rayon sur une route dont la surface est inclinée de 5,0 degrés par rapport à l'horizontale. A quelle vitesse maximum la voi- ture peut-elle s'y engager sans risquer de déraper, si le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,70 ?

(4 points)

Mouvement circulaire uniforme ; les composantes radiales de la réaction normale du sol et de la force de frottement fournissent la force centripète.

Direction radiale : mv²

R =Nsinα+F_fcosα (a)

où α est l'angle d'inclinaison de la surface de la route.

Direction verticale :

0=Ncosα−Ffsinα−mg (b)

Le frottement statique maximum vaut F^max_f =μ_sN , donc de (b) on trouve :

N= mg

cosα−μssinα

Donc en remplaçant N et F^max_f dans (a) : mv²

R = mgsinα

cosα−μssinα+ μsmgcosα cosα−μssinα v²=Rg[sinα+μscosα

cosα−μ_ssinα]=838,7(m/s)² Donc :

v^max=

√

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Partie I

2. Une grenade qui tombait verticalement explose en trois fragments de masses égales.

Le premier part à l'horizontale, le deuxième, à la verticale vers le bas et le troisième part vers le haut à 30 degrés par rapport à l'horizontale. A quelle vitesse part le deuxième fragment si la vitesse de la grenade valait 18 m/s au moment d'exploser et si la vitesse initiale du premier fragment est de 7,4 m/s ? Négligez la perte de masse due à la combustion de l'explosif.

(4 points)

Conservation de la quantité de mouvement :

⃗

p_f=m1v⃗₁+m2v⃗₂+m₃v⃗₃=m( ⃗v₁+ ⃗v₂+⃗v₃)= ⃗p_i=3m⃗v_i Dans la direction horizontale:

m v₁−m v₃cosα=0→v₃= v₁ cosα

où α est l'angle d’éjection du troisième fragment par rapport à l'horizontale.

Dans la direction verticale (sens positif vers le bas) : m v₂−m v3sinα=3mv_i

Donc :

v₂=3v_i+v₁tgα=3.18m/s+7,4m/s .0,577=58m/s

Partie I

3. Une tige métallique mince de longueur L et de masse m est soudée à l'une de ses extrémités sur un axe horizontal de façon que la tige et l'axe soient perpendiculaires.

L'axe tourne librement. On maintient la tige en position horizontale en la tenant par l'autre extrémité, puis on la lâche, et elle se met à osciller dans un plan vertical.

Etablissez l'expression de son accélération angulaire initiale en fonction de sa masse et/ou de sa longueur.

(4 points)

2^e loi de Newton pour les rotations (en norme):

α=τA/I_A

où α est l’accélération angulaire, τA est la résultante des moments de force qui s'exercent sur la tige par rapport à l'axe et I_A est le moment d'inertie de la tige autour de l'axe.

La seule force qui ait un moment par rapport à l'axe est le poids de la tige. Il s'exerce au centre de gravité, soit à une distance L/2 de l'axe:

τ_A=L 2 mg

Le moment d'inertie de la tige par rapport à son extrémité vaut:

I_A=1 3m L²

Donc l'expression de l’accélération angulaire initiale est : α=3g

2L.

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Partie II

4. Un seau cylindrique de 20 cm de diamètre et de 25 cm de hauteur perd de l'eau par un trou de 1,3 cm² de section percé au fond du seau. A quelle vitesse le niveau de l'eau baisse-t-il dans le seau lorsque celui-ci est rempli au tiers de sa hauteur ?

(4 points)

Par la loi de Bernouilli appliquée à la surface libre de l'eau dans le seau (point 1) et à l'endroit du trou (point 2) :

p₁+ρg h 3+1

2ρv₁²=p₂+1 2ρv₂² où h est la hauteur du seau.

L'eau s’échappe à la pression atmosphérique : p₂=p_atm et le seau est ouvert : p₁=p_atm donc :

v₂²−v₁²=2 3gh

Equation de continuité : S₁v₁=S₂v₂

Donc :

v₁=

√

^√

Partie II

5. Les photos imprimées dans les journaux sont constituées de lignes successives de points colorés. La définition d'une impression est donnée en « dpi », dots per inch, ou points par pouce en anglais, c'est-à-dire en nombre de points colorés par 2,54 cm de longueur de ligne. On considère une photo imprimée à 300 dpi.

a) Quelle est la séparation angulaire entre deux points colorés successifs si on regarde cette photo sans accommodation à travers une loupe de 12 cm de distance focale ?

(2 points)

b) A quelle distance perçoit-on la photo comme une surface uniformément colorée si on la regarde à l'oeil nu ? Prenez 2,0 mm comme diamètre de la pupille et 580 nm comme longueur d'onde correspondant à la couleur des points.

(2 points) a)

Observation sans accommodation → les rayons qui émergent de la loupe sont parallèles → la photo est au foyer objet de la loupe. Alors l'image d'un point sur l'axe est séparée du point suivant de l'image d'un angle αa donné par (v. schéma) :

αa=arctg( y₀ f )≃y₀

f =

2,54cm 300

12cm =7,1.10⁻⁴radians

b) La pupille diffracte les rayons incidents. Selon le critère d'Airy, les images de deux points successifs ne seront plus séparées si la séparation angulaire des deux points est inférieure à :

θa=1,22λ D

où D est le diamètre de la pupille. Si on regarde les points d'une distance d, la séparation angulaire est:

θ=

2,54cm 300

d

La photo imprimée sera perçue comme continue si : θ<θ_a⇒d> D

1,22λ⋅2,54cm

300 =0,24m.

P.Vanlaer PHYS-F-104 examen aout 2012 02/06/12