PHYS-F-104Physique 1Examen du 29 mai 2015I. Théorie (20 points – 1h20')

(1)

NOM, PRENOM (en majuscules) ….………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie Pharmacie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 29 mai 2015 I. Théorie (20 points – 1h20')

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne seront pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Note théorie : /20

P.Vanlaer PHYS-F-104 examen 29 mai 2015

(2)

Partie I

1. Définissez, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez : a) quantité de mouvement d’une masse ponctuelle

b) constante de gravitation universelle de Newton (2 points)

a) _⃗p=m⃗v , où m est la masse et ⃗v la vitesse de cette masse

b) lanormede la force de gravitation universelle entre deux objets de masses m et M a pour expression :

F_G=G m M R²

où G est la constante de gravitation universelle et R la distance entre les deux objets

(3)

Partie I

2 . Enoncez la loi d'inertie et la loi de la dynamique (1e et 2e lois de Newton) pour les mouvements de translation. Enoncez les deux lois correspondantes pour les mouvements de rotation. Précisez toutes les grandeurs que vous introduisez.

(4 points)

Mouvements de translation :

1e loi: Tout corps qui n'est pas soumis à l'action de forces extérieurs (résultante des forces extérieures nulle) persiste dans son état de repos ou de MRU.

2e loi : La quantité de mouvement d'un corps de massem varie sous l'effet de forces extérieures selon la loi :

; où et est la résultante des forces extérieures.

Mouvements de rotation :

1e loi: tout corps qui n'est pas soumis à l'action d'un moment de forces extérieur (càd. moment résultant nul) persiste dans son état de repos ou de mouvement de rotation à vitesse angulaire constante.

2e loi : si la résultante des moments de forces extérieurs n'est pas nulle, le moment cinétique du corps par rapport à un point O varie selon la loi :

dL⃗_O

dt =

∑

^τ^⃗Ô^{( ⃗}^Fêxt⁾ ^{, où} ^τ^⃗Ô^{( ⃗}^Fêxt⁾ est le moment de la force F⃗_ext par rapport au point O.

(4)

Partie I

3. Calculez le moment d'inertie d'un disque homogène par rapport à un axe de rotation perpendiculaire au disque et passant par son centre.

(3 points)

On décompose le disque de rayon R en anneaux d'épaisseur dr et de rayons r croissants:

• moment d'inertie d'un anneau de rayonr, d'épaisseurdr: dI=dm. r² , car toute la masse est à la même distance r du centre. De plus dm= M

πR².2π. r . dr .

• Le moment d'inertie du disque est la somme des moments d'inertie des anneaux qui le composent, soit: I_disque=

∫

0 R

dI=2M R²

∫

0 R

r³dr=2M R²

R⁴ 4 =1

2M R².

(5)

Partie I

4. Un petit satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. Le rayon de cette orbite est grand par rapport au rayon de la Terre.

a) Etablissez (démontrez) l'expression de l'énergie potentielle de ce satellite.

(3 points)

b) Etablissez (démontrez) l'expression de l'énergie cinétique de ce satellite.

(2 points)

Précisez toutes les grandeurs que vous introduisez.

a) L'énergie potentielle gravitationnelle est le travail fourni contre la force d’attraction gravi - tationnelle. Elle s'exprime par :

E_pot=−

∫

^F^⃗^G^{. d}^⃗^r⁼⁻

∫

⁻^{G M}_r² ^T^m¹^⃗^r^.¹^⃗^r^dr=⁻^{G M}_r ^T^m⁺^C

où MT est la masse de la Terre, m est la masse de l'objet dans le champ gravitationnel, G est la constante de gravitation universelle etr est la distance entre l'objet et le centre de la Terre.C est une constante d’intégration.

Dans la convention où l’énergie potentielle gravitationnelle est nulle pour r→∞ , C=0.

Alors :

E_pot=−G M_Tm

r .

b) L'expression générale de l'énergie cinétique est : E_cin=1

2m v² , oùv est la vitesse de l'objet sur son orbite. La vitesse orbitale est déterminée par les lois du mouvement circulaire :

mv²

r =G M_Tm r² . Donc 1

2mv²=1 2

G M_Tm

r .

(6)

Partie II

5. Une masse accrochée à un ressort horizontal oscille librement sur une table horizon- tale sans frottements. Le ressort est conforme à la loi de Hooke.

a) Donnez et justifiez l'expression de la période d'oscillation.

(2 points)

b) Pour quelle(s) position(s) de la masse l'énergie cinétique est-elle maximale ? Justifiez.

(2 points)

a) Pour un oscillateur harmonique, le mouvement est sinusoïdal et de pulsation ω=

√

^m^k ^.

Dans ce cas la période du mouvement T=2π

ω =2π

√

^m^k ^.

b) L'énergie mécanique est conservée : E_méc=E_cin+E_pot=1

2m v²+1

2k x² = constante. Or l'énergie potentielle élastique est minimum lorsque la masse est au point de repos (x=0 ; ressort ni étiré ni comprimé). Donc l'énergie cinétique est maximum lorsque la masse est au point de repos.

(7)

Partie II

6. Une membrane biologique mince comporte une densité d'ions positifs +s sur l'une de ses faces et une densité d'ions négatifs -s sur l'autre face. Donnez l'expression du champ électrostatique dans cette membrane, en précisant toutes les grandeurs que vous intro- duisez. Donnez l'expression de la différence de potentiel entre les faces de cette mem- brane, en précisant toutes les grandeurs que vous introduisez.

(2 points)

E⃗= σϵ ⃗1_z ; où 1^⃗_z est perpendiculaire à la membrane et est dirigé de la face chargée + à la face chargée -, et où ϵ est la perméabilité de la membrane.

Comme le champ est constant dans la membrane, la différence de potentiel se calcule comme : ΔV=|⃗E|.e ; où e est l'épaisseur de la membrane. Donc : ΔV=σϵ e . La face chargée po- sitivement est au potentiel + par rapport à celle chargée négativement.

(8)

NOM, PRENOM (en majuscules) ..………...……….……

SECTION (barrer les mentions inutiles)

Biologie Géographie Géologie Pharmacie

PHYS-F-104 Physique 1

Examen du 29 mai 2015 II. Exercices (20 points – 2h)

Justifiez toujours vos réponses. Les simples affirmations du type oui / non ne seront pas prises en compte. Seuls les éléments de réponse pertinents seront valorisés.

Les résultats numériques doivent être exprimés - en unités du Système international ;

- avec la précision adéquate, sous peine d’être considérés comme incorrects.

Le cas échéant, prenez g = 10 m s^-2

Notes : Q1 /4 Q2 /4 Q3 /4 Q4 /4 Q5 /4

Note totale exercices : /20

(9)

Partie I

1. Une voiture fait une sortie de route à 90 km/h et descend une prairie en pente, de 100 mètres de longueur. Elle s'arrête au bas de la pente, en s'enfonçant de 1,2 mètres dans une haie plantée sur un sol horizontal. Calculez la décélération, supposée constante, pen- dant que la voiture s'enfonce dans la haie. Le pré est incliné de 8,0 degrés par rapport à l'horizontale et le coefficient de frottement entre la voiture et la terre du pré est de 0,40.

Supposez que la voiture ne se déforme pas.

(4 points)

La décélération a de la voiture pendant qu'elle s'enfonce dans la haie se calcule par : 0−v_h²=2as (1),

où s est la distance de freinage, 1,2 m, et v_h est la vitesse à laquelle la voiture heurte la haie.

La vitesse v_h s'obtient, par exemple, par un bilan d'énergie mécanique en tenant compte du travail des forces de frottement :

1

2mv_i²+mgdsinα=1

2m v_h²+F_fd (2),

où d=100 m est la distance parcourue par la voiture avant de heurter la haie, v_i est la vitesse initiale au sommet de la pente, et α est l'angle que fait la pente par rapport à l'horizontale.

La force de frottement (cinétique) se calcule comme : F_f=μcN=μcmgcosα (3),

(voir schéma).

Dès lors de (2) on trouve :

v_h²=v_i²+2gdsinα−2μcgdcosα=111m²s⁻² Donc de (1) : a=−v_h²/2s=−46m/s² .

(10)

Partie I

2. On pousse un enfant de 18 kg sur une balançoire constituée d'une planche suspendue par deux fils de 2,2 mètres de longueur. La balançoire s'élève de 60 cm par rapport à sa position de repos avant de s'arrêter, puis de revenir en arrière. Quelle est la tension dans les fils lorsque la balançoire repasse par la position de repos ? Négligez la masse de la planche et tous les frottements ; supposez que l'enfant ne fait aucun mouvement pendant qu'il se balance.

(4 points)

Mouvement circulaire: au bas de la trajectoire, la somme des forces dans la direction radiale cause l'accélération centripète :

mv²

L =T−mg (1),

oùT est la tension dans les fils, L la longueur des fils (= rayon de la trajectoire),v est la vitesse au bas de la trajectoire, m est la masse de l'enfant.

On déduitv de la conservation de l'énergie mécanique:

1

2mv²=mgh (2),

o ùh est la hauteur à laquelle l'enfant s'élève par rapport à la position de repos en bas de la trajectoire.

Donc : T=2mgh

L +mg=mg(2h

L +1)=18.10.(1,2

2,2+1)=278N c'est-à-dire 1,4.10² N par fil (2 chiffres significatifs).

(11)

Partie I

3. Une planète homogène sphérique a un rayon égal à quatre fois celui de la Terre. La vitesse de libération depuis la surface de cette planète vaut deux fois la vitesse de libération depuis la surface de la Terre.

a) Exprimez la masse volumique moyenne de cette planète en fonction de celle de la Terre.

(2 points)

b) Exprimez l'accélération de la chute libre à la surface de cette planète en fonction de celle de la Terre.

(2 points)

a) La vitesse de libération s'exprime en fonction de la masse et du rayon de la planète comme:

v_{lib, P}² =2G M_P R_P .

On introduit la densité moyenne de la planète ρP : M_P=4

3πR³ρ_P , donc:

v_{lib, P}² = 2G4

3πR_P³ρP

R_P =2G4

3πR_P²ρ_P=2G4

3π.16R_T²ρ_P et pour la Terre:

v_{lib, T}² =2G4

3 πR_T²ρT

On dit aussi que v_{lib , P}² =4v_{lib ,T}² , donc:

2G4

3π.16R_T²ρP=4.2G4

3πR_T²ρT

donc finalement ρP=ρT

4 .

b) L'accélération g_P s'exprime comme:

g_P=GM_P R_P² = 1

2R_Pv_{lib, P}² donc :

g_P= 1

8R_T 4v_{lib ,T}² = 1

2R_Tv_lib,T² =g_T. Donc

g_P=g_T.

(12)

Partie II

4. Deux grandes cuves identiques ouvertes à l'air libre sont posées l'une à coté de l'autre sur un sol horizontal. La première est remplie d'eau à ras bord, et la deuxième, d'essence, à ras bord également. Les cuves comportent chacune une vanne placée à mi- hauteur de la cuve. On ouvre les deux vannes en même temps et les deux jets de liquide s'échappent horizontalement. Calculez la distance à laquelle les jets touchent le sol, par rapport à la base des cuves, en fonction de la hauteurh des cuves. Lequel des jets touche le sol le plus loin ? On donne la masse volumique de l'eau, 1000 kg/m³ et celle de l'essence, 700 kg/m³.

(4 points)

Les cuves sont grandes (vitesse de descente du niveau du fluide négligeable); elles sont ouvertes à pa t m; les jets s'échappent à pa t m: on est dans les conditions d'application du théorème de Torriccelli.

La vitesse v des fluides à la sortie des vannes est:

v=

√

²^gz ; où z=h/2 est la hauteur de fluide au-dessus de la vanne, donc: v=

√

^gh ^.

Cette vitesse de sortie ne dépend pas de la densité du fluide, donc les fluides toucheront le sol à la même distance d.

Expression de la distance d: le jet de fluide est en chute libre:

temps de chute libre: t=

√

^2.^z/g=

√

^h/g

distance horizontale parcourue avant de toucher le sol: d=v . t=

√

^{gh .}

√

^h/^{g=h .}

(13)

Partie II

5. Deux plaques conductrices identiques d'une surface de 10 cm² sont disposées parallèlement dans l'air, séparées d'une distance de 10 micromètres. Elles sont initialement déchargées. On relie l'une des plaques à la borne positive d'une pile de 9,0 V par un fil de résistance R inconnue. On relie ensuite l'autre plaque à la borne négative de la pile avec un fil de résistance négligeable. 8,0 microsecondes après avoir connecté la deuxième borne, la différence de potentiel entre les deux plaques est de 7,2 V. Calculez la valeur de la résistance R. Prenez 8,85.10^-12 C²N^-1m^-2 comme valeur de la permittivité de l'air.

(4 points)

Les deux plaques forment une capacité C qui se charge à travers la résistance R.

La tension entre les plaques augmente à partir du moment où les 2 bornes de la pile sont connectées. La tension a pour expression :

V(t)=V₀(1−e^−t/^RC) ; où V0 est la tension de la pile.

On dit que au temps t=8,0.10^-6 s, le rapport V(t)/V0 est égal à 0,8. Donc : e^−t^/RC=1−0,8=0,2

t/RC=−ln(0,2) Donc

R= 1

−ln(0,2).C .

La capacité d'un condensateur plan de surface S et d'épaisseur e se calcule par : C=ϵS

e =8,85.10⁻¹².10 .10⁻⁴

10.10⁻⁶ =8,85.10⁻¹⁰F Dès lors : R=5,6kΩ.