Peut-on trouver une matrice réelleX telle queAX=B? 3

(1)

ISAE Application de l’analyse à la géométrie TD5 J.Saab

1. (a) Trouverx; y ,z et tdansRtels que 3x+y x 3y 4z 2t z+t

1 2

3 -5 = 1 4

2 8 (b) SoitA= 1 1

0 3 etB = 1 2 0 0 2 4 1. CalculerABet BA

2. Peut-on trouver une matrice réelleX telle queAX=B? 3. Peut-on trouver une matrice réelleY telle queY A=B?.

2. Soient les matrices suivantes:

A = 1 0 2

1 1 0 B=

0

@ 2 1 4

1 0 1

0 1 2

1

A C= i 1 2

D = 1 2

2 1 E=

0

@ 1 3i

1 1

A F = 2i 1 +i 0

3 1 0

Calculer si possible:

(A+E):F; C:B+^tE:^tA:F

(a) Trouver deux matrices réelles Aet B tellesA6= 0; B6= 0et AB= 0 (b) Montrer que pour toutA2M_n(IK), on a :

1. ¹₂(A+^tA)est symétrique 2. ¹₂(A ^tA)est antisymétrique

(c) En déduire que8A2Mn(IK);il existe une matrice symétriqueB et une matrice antisymétrique C telles queA=B+C.

(d) SoitAdonnée par

A= 0

@ 1 2 2

0 5 3

4 1 0

1 A TrouverB et C

3. SoitJ = 0

@ 0 1 1 1 0 1 1 1 0

1 A

(a) Montrer queJ² J 2I3= (0) (b) DéduireJ ¹

(c) RetrouverJ ¹ par la méthode de Gauss-Jordan

4. SoitM = 0

@ 2 2 1

2 3 2

1 2 0

1 A

1

(2)

(a) Montrer que(M I)(M+ 3I) = (0)

(b) Montrer queM est inversible et trouver M ¹ (c) TrouverM² en fonction deM et deI

(d) Montrer que 8n2Nil existe(a_n; b_n)2R²tel que Mⁿ=a_nM+b_nI:En déduireM³

5. Calculer

Aⁿ= cos sin sin cos

n

, Bⁿ= 1 2

0 1

n

Cⁿ= 0

@ 1 0 1 0 0 0 1 0 1

1 A

n

oùn2IN

6. Calculer l’inverse de la matrice suivante, d’abord par la méthode de Gauss Jordan ensuite par la méthode des cofateurs

A= 0

@ 1 2 3 2 5 3 1 0 8

1 A

7. Soit la matrice

A= 0 BB BB

@

1 2 1 3 4

1 1 0 2 4

2 1 3 1 2

1 0 1 1 3

0 1 1 1 3

1 CC CC A

Utiliser l’élimination de Gauss pour transformer cette matrice en une matrice triangulaire supérieure, en déduirejAj

8. Pour quelles valeurs dea2IR la matriceA= 0

@ 1 1 1 1 2 4 1 3 a

1

A2M3(IR)est-elle inversibe? Trouver das ce cas son inverse.

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