E635 – Jeux d’enfants sur un grand champ de foire
Jeu n°1 : sur un immense champ de foire, 2007 enfants sont tous armés d’un pistolet à eau. A un signal donné, chacun arrose son voisin le plus proche. En supposant que toutes les distances qui séparent les enfants sont distinctes entre elles, démontrer qu’il existe au moins un enfant qui ne reçoit pas une seule goutte d’eau.
Jeu n°2 : les 2007 enfants (tous arrosés sauf un) se mettent sur les 2007 sommets d’un polygone régulier et toutes les cinq secondes deux d’entre eux se déplacent sur l’un des deux sommets voisins du leur. Est-il possible qu’après un certain nombre de déplacements tous les enfants se retrouvent sur le même sommet (on admet qu’en un point, il peut y avoir une foule…) ?
Jeu n° 3 : les 2007 enfants reviennent sagement s’asseoir sur les 2007 sommets du polygone et pour les
récompenser, on distribue à chacun d’eux un nombre pair de bonbons variable selon les enfants et compris entre 2 et 32. Chaque minute, on demande à tous les enfants d’en donner la moitié à leur voisin de droite. Si après ce partage, des enfants ont un nombre impair de bonbons, un bonbon supplémentaire leur est immédiatement donné. Montrer qu’au bout d’un certain temps à déterminer, tous les enfants se retrouvent avec le même nombre de bonbons.
Sources : Dossiers de préparation aux Olympiades françaises de mathématiques.
Jeu n°1
Notons E un ensemble d’enfants. Pour a b E, ∈ , notons d a b( , ) la distance entre a et b. Et prenons comme hypothèse que toutes ces distances sont distinctes entre elles. On définit alors dans E la relation « a arrose b dans E » par aEb⇔a b≠ et ∀ ∈c E−{ , }, ( , )a b d a b <d a c( , ).
Prouvons que si le nombre d’enfants est impair, au moins un enfant ne reçoit pas une seule goutte d’eau, en démontrant par récurrence sur le cardinal n impair de E que ∃ ∈a E,
{
x x/ Ea}
= ∅.SiE=
{ }
a alorsa Eadonc la propriété est vraie au rang n=1.Dans E de cardinal n impair >1, considérons la plus grande « distance d’arrosage » correspondant à aEbtels que d a b( , )=max{ ( , ) /d i j iE j}
Si
{
x x/ Ea}
= ∅ alors la propriété est directement vraie au rang n.Sinon, posons Eˆ=E−{ , }a b (de cardinal impair n - 2) et choisissons un cEa. On a : ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) max{ ( , ) / } ( , ) ( , )
E
E
a b d a b d a c
d a b d a c c b d a b d i j i j d a b d a c
⇒ ≤ ⇒ = ⇒ =
= ⇒ ≥
Symétriquement à cEa⇒c b= , on a égalementdEb⇒d=a. Ce qui nous permet d’affirmer que Eˆest la restriction de E à Ê.
En appliquant l’hypothèse récurrence à Ê, il vient que ∃ ∈a′ Eˆ , /
{
x xEˆa′}
= ∅⇒∃ ∈a′ E,{
x x/ Ea′}
= ∅. La propriété est donc vraie au rang n.On conclut donc : parmi les 2007 enfants, au moins un ne reçoit pas une seule goutte d’eau.
Jeu n°2
Numérotons les sommets du polygone de 0 à 2006, et notons a→ble déplacement d’un enfant du sommet a vers le somment b.
Considérons la séquence de couples de déplacements suivante :
2 3 1003
(0 1, 2006 2005), (1 2, 2005 2004), (2 3, 2004 2003),... (1002 1003, 1004 1003)
× × ×
→ → → → → → → →
Elle amène tous les enfants au somment 1003 en 1004 1003 503506 2
× = couples de déplacements (soit, tout de même, plus de 29 jours).
Jeu n°3
Préliminaires
Numérotons les sommets du polygone dans 2007. Notons E l’ensemble des enfants, ei∈El'enfant assis au sommet i∈2007. Le sens de la numérotation est choisi tel que ei+1 soit à droite de ei. Notons ni t, le nombre de bonbons de l’enfant ei à l’instant t exprimé en minutes (c’est-à-dire après t itérations).
Une itération s’exprime par la relation , 1 2 1, , 4
i t i t
i t
e e
e + − +
=
.
On remarquera notamment quemin( , ) 2 max( , ) 4
x y x y+ x y
≤ ≤
[1]
et que et 2
4 x a y a x y+ a
> ≥ ⇒ > [2]
Convergence
Considérons, à l’instant t, le minimum at de bonbons possédés par un enfant :at=min {i ni t,}
Si à l’instant t tous les enfants possèdent exactement at bonbons, alors la condition d’arrêt est atteinte.
Si à l’instant t un enfant possède strictement plus de at bonbons, alors la relation [2] implique qu’à l’instant t k+ , les k enfants consécutifs à partir de celui-ci inclus possèderont strictement plus de at bonbons.
, , 1 et 1, 1 0, , ,
i t t i t t i t t i j t k t
n >a ⇒n + >a n+ + >a ⇒∀ ∈j k n + + >a
En particulier, en un nombre d’itération kt pris égal à la longueur de la plus grande séquence d’enfants consécutifs possédant exactement at bonbons à l’instant t, il ne restera plus aucun enfant possédant exactement
at bonbons à l’instant t k+ t.
Le nombre de bonbons possédé par un enfant étant majoré (d’après [1]), on obtient nécessairement la condition d’arrêt en appliquant successivement ce raisonnement un nombre fini de fois aux instants
0 1 0 2 1 0
0, , , , ...
t= t k t k= = +k t k= +k +k
Cette démonstration exhibe un majorant (probablement très large) du nombre d’itérations nécessaires :2006 15× . Tous les enfants possèdent donc le même nombre de bonbons au bout d’un temps (probablement très) inférieur à 21 jours.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 4 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 6 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 8 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 10 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 12 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 14 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 1610 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 1810 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 2012 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 2212 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 2414 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 2614 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 2816 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 3016 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 3218 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 32
