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Lorsque le paquet est vide, tous les enfants sauf un ont reçu soit un chocolat soit deux chocolats

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Academic year: 2022

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Enoncé E651 (Diophante) Les distributions de chocolats

A la récréation, le maître d’école invite le petit Nicolas et ses camarades – sauf Eudes qui est toujours en retard – à former un grand cercle et il leur annonce la distribution d’un paquet de chocolats selon les règles suivantes : il donne un chocolat au petit Nicolas puis en se déplaçant dans le sens des aiguilles d’une montre, il saute un enfant et donne un chocolat au suivant, puis il saute deux enfants et donne un chocolat au suivant, puis il saute trois enfants et donne un chocolat au suivant... Après avoir effectué plusieurs tours de cercle, le maître donne le dernier chocolat au petit Nicolas qui au total en a reçu quatre comme certains de ses camarades. D’autres enfants en ont reçu deux et tous les autres n’ont rien reçu.

Eudes arrive enfin et s’intercale entre deux de ses camarades le long du grand cercle. Avec un deuxième paquet de chocolats de même conte- nance que le premier, le maître effectue une nouvelle distribution selon les mêmes règles en partant cette fois-ci d’Eudes qui reçoit le premier cho- colat. Lorsque le paquet est vide, tous les enfants sauf un ont reçu soit un chocolat soit deux chocolats.

Déterminer le nombre d’enfants dans la classe du petit Nicolas et le nombre de chocolats contenus dans chaque paquet

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Il y a c enfants dans la classe (Eudes inclus) et b chocolats dans chaque paquet. La seconde distribution nmontre que c < b <2c.

Numérotant les enfants sur le cercle, Nicolas en n° 1 reçoit le premier chocolat de la première distribution, l’enfant n° 2 est sauté, l’enfant n°

3 reçoit le deuxième chocolat, les enfants n° 4 et 5 sont sautés, etc. Les numéros des enfants servis dans cette distribution sont 1, 3, 6, 10, . . ., à un multiple de c−1 près ; le i-ème chocolat revient à l’enfant de numéro i(i+ 1)/2 moduloc−1.

Sic−1 est un nombre composé non puissance d’un nombre premier, on a c= 1 +pq avec petq premiers entre eux, et il existe (Bachet) des entiers

u < qetv < ptels que 1 =up−vq. Alorsc−3 chocolats suffisent pour que Nicolas en reçoive au moins 4, puisqu’il reçoit ceux de rang 1,vq, (qu)p etc−3. Si cette distribution s’arrête au quatrième chocolat de Nicolas, la seconde distribution ne pourra servir tous les enfants. De même si c−1 est une puissance de 3 : Nicolas est servi aux rangs 1, 4, 7, 10 si c = 10, aux rangs 1,7, 10, 16 sic= 28, etc.

Sic−1 est une puissance de 2, Nicolas est servi aux rangs 1, 2c−4, 2c−1, 4c−6 mais comme b = 4c−6 >2c, la seconde distribution donnera au moins 3 chocolats à certains enfants (principe des tiroirs).

Il faut donc quec−1 soit premier ou = 25 (voire = 49, mais ce serait une classe bien chargée), avec Nicolas servi aux rangs 1,c−3,cet 2c−4 =b.

Mais sic= 26,b= 48, l’enfant n° 3 recevrait 10 chocolats, ce cas est donc à exclure.

Sic−1 =p premier, (p−3)/2 enfants sont servis 4 fois aux rangs i= 1 (Nicolas) à (p−3)/2,pi−1,p+iet 2p−i−1 ; cela utilise 2p−6 =b−4 chocolats. Deux chocolats reviennent au voisin de Nicolas (n° c−1) aux rangsp−1 etp; deux autres à l’enfant n° (p2−1)/8 (modp), aux rangs (p−1)/2 et (3p−1)/2. Restent (p+ 1)/2 enfants sans chocolats.

Pour la seconde distribution, je renumérote les enfants de 1 (Eudes) à c (pair). Les chocolats distribués aux rangs i et 2c−1−i échoient au même enfant ; si un enfant reçoit des chocolats aux rangs i et j, c divise j(j+ 1)/2−i(i+ 1)/2 = (ji)(j+i+ 1)/2.

Si c n’est pas une puissance de 2, on peut factoriser 2c en deux facteurs

>1 de parité contraire, 1< k=jic−1 etm=j+i+ 1≤c/2 avec k < m= 2c/k. Alors un même enfant va recevoir au moins 4 chocolats aux rangsi= (m−k−1)/2< c/4,j = (m+k−1)/2≤(3c−2)/4, 2c−1−j et 2c−1−i.

Donccest une puissance de 2, etc−1 =pun nombre premier de Mersenne, avec (p−3)/2 >2 pour que ≥3 enfants soient servis 4 fois dans la 1ère distribution. Ainsi p > 7, d’où p = 31 (p ≥ 127 serait trop) : il y a 60 chocolats par paquet, et 32 enfants dont le n° 1 (Eudes) et le n° 3 ont 1 chocolat, le n° 32 aucun, et les 29 autres 2 chocolats chacun.

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