Jeux d’enfants sur un grand champ de foire
Problème E635 de Diophante
Jeu n° 1 Sur un immense champ de foire, 2007 enfants sont tous armés d’un pistolet à eau. A un signal donné, chacun arrose son voisin le plus proche. En
supposant que toutes les distances qui séparent les enfants sont distinctes entre elles, démontrer qu’il existe au moins un enfant qui ne reçoit pas une seule goutte d’eau.
Solution
En remplaçant 2007 par N, montrons par récurrence, que lorsque N est impair supérieur à trois alors, après que chacun ait arrosé son voisin le plus proche, au moins un des enfants n’a pas reçu une seule goutte d’eau.
Lorsque N = 3 : les deux enfants les plus proches s’arrosent mutuellement ; aucun n’arrose le troisième (qui arrose le plus proche de lui).
Notons P(n) la proposition : lorsque 2n+1 enfants jouent à ce jeu il y en a un (au moins) qui n’est pas arrosé.
Ci-dessus nous avons constaté que P(1) est vrai. Montrons que P(n-1) implique P(n) pour tout n ≥ 2.
Supposons que 2n+1 enfants soient prêts à jouer dans la cour. Repérons les deux enfants u et v les plus proches et faisons jouer, pour du beurre, les 2n-1 autres enfants. Dans cette simulation, un enfant (au moins) w n’a pas été arrosé, selon P(n- 1) supposé vrai. Jouons maintenant, pour de vrai, avec tous les enfants. Evidemment, u et v s’arrosent mutuellement et chacun des autres refait le (même) geste fait lors de la simulation ou arrose u (ou v) au cas où il serait plus proche que l’enfant le plus proche précédent. L’enfant w n’est toujours pas arrosé ; ce qui justifie P(n).
Lorsque N est pair, le raisonnement du passage de N-2 à N reste correct mais il n’est pas possible de trouver une valeur (paire) de N pour laquelle l’assertion soit toujours vraie. Au contraire, il est très facile de disposer les enfants par paires, de X en X, de telle sorte que X soit plus grand que toutes les distances qui séparent les enfants d’une même paire, qui sont alors contraints de s’arroser mutuellement.
Cette preuve fournit un algorithme pour exhiber un élément tel que w. Partant d’une disposition initiale des enfants, à chaque étape interdire de jeu les deux enfants les plus proches. Celui qui reste à la fin est w.
Jeu n° 2 Les 2007 enfants (tous arrosés sauf un) se mettent sur les 2007 sommets d’un polygone régulier et toutes les cinq secondes deux d’entre eux se déplacent sur l’un des deux sommets voisins du leur. Est-il possible qu’après un certain nombre de déplacements tous les enfants se retrouvent sur le même sommet (on admet qu’en un point, il peut y avoir une foule…) ?
Solution
Numérotons, dans un ordre de parcours du polygone, les enfants de –1003 à 1003 et faisons en sorte qu’à chaque étape deux enfants de numéros opposés se déplacent vers 0, au bout de 503 506 étapes ils seront tous avec 0.
Remarque : Cà marche toujours avec un nombre impair d’enfants mais pas avec un nombre pair. Je n’ai pas trouvé d’invariant le prouvant.
Jeu n° 3 Les 2007 enfants reviennent sagement s’asseoir sur les 2007 sommets du polygone et pour les récompenser, on distribue à chacun d’eux un nombre pair de bonbons variable selon les enfants et compris entre 2 et 32. Chaque minute, on demande à tous les enfants d’en donner la moitié à leur voisin de droite. Si après ce partage, des enfants ont un nombre impair de bonbons, un bonbon supplémentaire leur est immédiatement donné. Montrer qu’au bout d’un certain temps à déterminer, tous les enfants se retrouvent avec le même nombre de bonbons.
Solution
Lorsque tous les enfants n’ont pas le même nombre de bonbons, on constate qu’à chaque étape : si un seul enfant possède moins de bonbons que tous les autres alors il en aura plus la fois suivante et si plusieurs enfants possèdent moins de bonbons que tous les autres alors ils seront moins nombreux, la fois suivante, à posséder le nombre de bonbons qu’ils ont.
Autrement dit le nombre minimum de bonbons que possède un enfant ne peut que croître, s’ils n’ont pas tous le même nombre de bonbons.
Ce n’est pas exactement pareil pour le nombre maximum, dans la mesure où des bonbons sont encore distribués mais ce nombre ne peut pas augmenter.
Dans un temps fini, le nombre minimum va rejoindre le nombre maximum.
Tous les enfants auront le même nombre de bonbons.
Il me paraît difficile de prévoir exactement la durée du processus.
