E638 – A la recherche de Max [***** à la main]
Solution de Michel Boulant (fondée sur le nombre d’or)
Il paraît naturel de tester tout d’abord la solution de 2 points très proches l'un de l'autre au milieu du segment: On détermine alors une pente et on élimine une moitié du
segment. Comme 10 cm vaut environ 2^10 fois 1/10 de mm, avec 20 tests, on résout le problème.
Le problème est qu'on utilise à chaque fois 2 points pour éliminer. Peut ontrouver une solution plus économique?
Oui, en écartant les 2 points de x (l'intervalle vaut 1), les intervalles extérieurs deviennent alors (1-x)/2, et la partie résiduelle après le test sera (1+x)/2.
On s'arrange pour que le x devienne le (1-x)/2 de l'intervalle suivant. On pose x=(1-x)/2 * (1+x)/2 et on trouve comme solution pour x: rac(5)-2 et pour (1+x)/2: (rac(5)-1)/2.
La valeur ln(1/1000)/ln((rac(5)-1)/2) donne le nombre d'itérations:14.35, à arrondir à 15, et comme il y a un point supplémentaire au départ: 16 points.
