E677. Une issue certaine
Dux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour,on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a b) où abs(.) désigne la valeur absolue de la ‒ différence a b. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le ‒ tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Bernard Grosjean
Soient a = kn et b = km, avec n et m premiers entre eux, avec a > b, (a, b, m, n, k entiers) Nous avons (p+1) m < n < (p+2) m
Appelons A et B les nombres figurant successivement au tableau et C le résultat de l'opération.
C remplace le plus petit nombre au tableau.
Nous avons les (p+2) premiers processus
A B abs(A-B) C
départ kn km k(n-m) knm/(n-m)
1er tour kn knm/(n-m) kn(n-2m)/(n-m) knm/(n-2m)
2ème tour kn knm/(n-2m) kn(n-3m)/(n-2m) knm/(n-3m)
pème tour kn knm/(n-pm) kn(n-(p+1)m)/(n-pm) knm/(n-(p+1)m)
(p+1)éme t kn knm/(n-(p+1)m) kn((p+2)m-n)/(n-(p+1)m) knm/((p+2)m-n) (p+2)éme t knm/((p+2)m-n) knm/(n-(p+1)m) knm(2n-(2p+3)m)/((p+2)m-n)(n-(p+1)m) knm/(2n-(2p+3)m)
Nous observons :
- que toutes les valeurs de C obtenus par le processus sont des fractions dont le numérateur est knm - que la plus grande valeur possible de cette fraction est obtenue pour un dénominateur égal à 1 Ce dénominateur est de la forme Xn – Ym
Comme m et n sont premiers entre eux, l'identité de Bezout montre qu'il existe X et Y tels que : Xn – Ym = 1
Nous aurons alors c = kmn, valeur limite pour c.
(avec a = kn et b = km, m et n premiers entre eux)
Supposons en effet qu'une telle valeur ait été trouvée (nous savons que tel est le cas). Elle sera dans la case « B » ou « A », qui ne pourra plus être effacée (c'est la lus grande valeur).
En continuant le processus, on arrive à une 2ème valeur unitaire pour le dénominateur, qui sera de la forme :
Zm – Tn = 1
Nous aurons en effet : Xn – Ym = Zm – Tn, soit (X+T)n = (Y+Z)m Nous connaissons X et Y (par l'identité de Bezout)
Pour que l'égalité soit vérifiée, il suffit que (X+T) = m et (Y+Z) = n, soit Z = n-Y et T = m-X
Application numérique : a = 2 016 = 28 x 72 = km b = 2 044 = 28 x 73 = kn
avec k = 28 ; m = 72 ; n = 73 (m et n sont premiers entre eux)
Nous n – m = 1 (identité de Bezout), soit, avec les notations précédentes, X = Y = 1
Le nombre c est égal à knm = 28x73x72 = 147 168
Au bout d'un tour du processus, ce nombre c remplace 2 016 (nombre a, le plus petit du tableau) Ce nombre ne bougera plus.
Le nombre b sera ensuite remplacé par :
kmn/(2m-n), knm/(3m-2n)….., knm/((p+1)m-pn)…….knm/(72x72-71x73) Nous avons bien 72x72 – 71x73 = 1
