D20173. Positif en tout espace Montrer que

D20173. Positif en tout espace

Montrer queAB²+BC²+CD²+DA²−AC²−BD² ≥0, quels que soient les points donnésA, B, C, D, pas nécessairement dans le même plan.

Solution

Factorisons les éléments de la somme comme produit scalaire de vecteurs, dans un espace (à 2 ou 3 dimensions) contenant les 4 points.

AB²−BD²= (AB+BD)(AB−BD) =AD(AB−BD), CD²−AC²= (CD+AC)(CD−AC) =AD(CD−AC),

d’où la sommeBC²+DA²+AD(AB−BD+CD−AC) =CB²+AD²+ AD(2CB) = (CB+AD)².

C’est le carré d’un vecteurCB+AD=AB+CDqui s’annule si et seulement si ABCD est un parallélogramme, cas où l’inégalité de l’énoncé devient égalité.

Remarque. M.-D. Indjoudjian considère les milieux I etJ des “diagonales”

AC et BD, d’où (vectoriellement) AB+CD = −(BC +DA) = 2·IJ; l’expression de l’énoncé devient 4·IJ² et ne s’annule que pour un parallé- logramme. Le torseur constitué par les vecteursAB, CB, CD, AD équivaut à un vecteur unique 4·IJ porté par l’axeIJ, ce qui permet, quandABCD sont coplanaires, de démontrer le théorème de Newton sur l’alignement des milieux des diagonales d’un quadrilatère complet.

Christian Stéfani recourt au classique théorème de la médiane (somme des carrés des distances à deux points) pour obtenir aussi l’expression 4·IJ².