Q₁ On considère 120 entiers naturels positifs distincts ≤ 200. Montrer que parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers
< 60 à l’exception d’un entier appelé « franc-tireur » que l’on déterminera.
Q₂ On considère n entiers naturels positifs distincts ≤ 2014. Parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers ≤ 60 à l’exclusion de l’entier « franc-tireur » 49. Déterminer n.
Le plus grand ensemble d’éléments non consécutifs que l’on peut extraire de
l’ensemble des entiers de 0 à m est composé des éléments pairs, dont le nombre est [m/2]+1 , où [ ] désigne la partie entière.
A chaque nombre a extrait de l’ensemble des nombres de 1 à N, et tout entier k<N, on peut faire correspondre le quotient q et le reste r de a-1 par k : a-1=kq+r.
Le plus grand ensemble de nombres, tels que la différence entre deux éléments soit différente de k, est la réunion de tels ensembles extraits de chacune des classes modulo k, isomorphes à l’ensemble des quotients : c’est donc l’ensemble des nombres dont le quotient du prédécesseur par k est pair.
Q1 : si aucun écart entre les 120 nombres n’est égal à k, l’ensemble de ces nombres et des mêmes augmentés de k contient 240 éléments distincts, compris entre 1 et 200+k.
Donc k≥40.
Pour N=200 et k variant de 40 à 59, le nombre n de nombres dont le quotient du prédécesseur est pair est n=200-2k pour 40≤k≤50, et n=2k pour 50≤k<60. La valeur n=120 n’est donc atteinte que pour k=40.
Q2 : pour N=2014, lorsque k augmente, le nombre n passe par des maxima successifs ... k=38 : 2014=53*38 et n=27*38=1026;
k=49 : 2009=41*49 et n=21*49=1029;
k=61 : 2013=33*61, n=17*61=1037...
Pour k≤60, la valeur n=1029 n’est atteinte que pour k=49.
