Problème : Autour des inégalités de Kolmogorov Partie No1 : Cas n= 2 sur R+
Dans cette partie, on suppose donnée f :R+→R une fonction de classeC2 sur R+ telle quef etf00 soient bornées. On pose
M0 =M0(f) = sup
x∈R+
|f(x)|etM2 =M2(f) = sup
x∈R+
|f00(x)|.
1. L'inégalité.
(a) Montrer l'existence deM0 etM2.
(b) Soitx∈R+. En utilisant f(x) etf(x+h), établir que, pour touth >0,
|f0(x)|6 2M0
h +hM2
2 . (c) En déduire l'existence deM1 =M1(f) = sup
x∈R+
|f0(x)|et prouver que M162p
M0M2 (?)
2. L'inégalité (?) est optimale.
Soit >0. On pose
f: R+ → R
x 7→
−(2−x)2++ 2 six <2
2 six>2
(a) Montrer quef est de classeC2 sur R+.
(b) Montrer quef,f0 etf00 sont bornées sur R+ et calculer M0(f),M1(f) etM2(f). (c) Montrer que la constante2 de l'inégalité (?) est optimale.
Partie No2 : Cas n= 2 sur R
Dans cette partie, on suppose donnée f :R → R une fonction de classe C2 sur R telle que f etf00 soient bornées. On pose
M0=M0(f) = sup
x∈R|f(x)|etM2 =M2(f) = sup
x∈R|f00(x)|.
1. L'inégalité.
(a) Soitx∈R. En utilisantf(x−h),f(x)etf(x+h), établir que, pour touth >0,
|f0(x)|6 M0
h +hM2
2 . (b) En déduire l'existence deM1 =M1(f) = sup
x∈R|f0(x)|et prouver que M16p
2M0M2 (??)
2. L'inégalité (??) est optimale.
Soit0< a < π2. On pose c= sin(a)cos(a). On dénie la fonctionfa sur [0, a+c]par
fa(x) =
( sin(x) si x∈[0, a]
sin(a) + (x−a) cos(a)−(x−a)2 2 sin(a) si x∈]a, a+c]
1
On dénit ensuitefasur[0,2a+2c]par symétrie par rapport à la droite d'équationx=a+c. On dénit après fa sur[−2a+ 2c,2a+ 2c]par symétrie par rapport à l'origine.
Enn, on dénit fa sur R par 4a+ 4c-périodicité.
(a) Faire un schéma pour comprendre comment est construitefa. (b) Montrer quefa est de classe C2 sur R.
(c) Montrer quefa,fa0 etfa00 sont bornées sur R et calculerM0(fa),M1(fa) etM2(fa).
(d) Montrer que la constante√
2 de l'inégalité (??) est optimale.
Partie No3 : Cas général sur R Soitn∈N.
Dans cette partie, on suppose donnée f :R→R une fonction de classe Cn sur R telle que f et f(n) soient bornées. On pose
M0= sup
x∈R|f(x)|etMn= sup
x∈R|f(n)(x)|.
1. Existence desMk.
(a) Soitx∈R. Soit16j6n−1. Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral àf ∈ Cn sur le segment[x, x+j].
(b) Pourx∈R, on pose
X(x) =
f0(x) ...
f(n−1)(x)
∈ Mn−1(R).
Montrer l'existence d'une matrice carrée A ∈ Mn−1(R) inversible et d'une fonction Y : R→ Mn−1,1(R) bornée telle que, pour toutx∈R, Y(x) =AX(x).
(c) Montrer alors que, pour tout 06k6n,f(k) est bornée sur R.
En déduire l'existence, pour tout 06k6n, de Mk= sup
x∈R|f(k)(x)|. 2. L'inégalité.
On souhaite prouver que, pour tout 06k6n,
Mk 6√
2k(n−k)M1−
k n
0 M
k
nn. On choisit alors de procéder par récurrence surn.
(a) Initialiser la propriété au rangn= 2.
On suppose donnén>2tel que la propriété soit vraie au rang n. Montrons-là au rangn+ 1. On suppose donc donnéef ∈ Cn+1(R)telle que f,· · · , f(n) etf(n+1) soient bornées.
Soit06k6n+ 1.
(b) Justier que l'inégalité est vraie enk= 0 etk=n+ 1.
On suppose donc dorénavant 16k6n.
(c) Montrer que l'hypothèse de récurrence permet d'obtenir.
Mk+16√
2k(n−k)M1−
k n
1 M
k n
n+1. (d) Montrer que, pour tout 06i6n−1,
Mi+1 62p
MiMi+2
puis que
M1n+1 62(n+1)n2 M0nMn+1. 2
(e) Conclure.
3. Non-optimalité de l'inégalité.
En étudiant précisément le cas n= 3 etk= 1, montrer que
M1 6 9
8 13
M
2 3
0M
1 3
3 .
Conclure que l'inégalité précédente n'est pas optimale.
Partie No4 : Cas général sur R+ Soitn∈N.
Dans cette partie, on suppose donnéef :R+→R une fonction de classeCn sur R telle quef etf(n) soient bornées. On pose
M0= sup
x∈R+
|f(x)|etMn= sup
x∈R+
|f(n)(x)|.
1. Montrer que, pour tout 06k6n,f(k) est bornée sur R+.
En déduire l'existence, pour tout 06k6n, de Mk= supx∈R+|f(k)(x)|. 2. Montrer que,
pour tout 06k6n,
Mk 62k(n−k)M1−
k n
0 M
k
nn.
3. En étudiant précisément le cas n = 3 et k = 2, montrer que l'inégalité précédente n'est pas optimale.
* * * FIN DU SUJET * * *
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