Par intégration, on obtient :v(t)=−g.t+u.ln(m0−Dm.t m0 ) 5

1. On considère donc le système ( fusée + gaz) entre les instants t et t+dt, étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen

à l’instantt :Ð→p(t)=Ð→v(t).m(t)

à l’instant t+dt :Ð→p(t+dt)=m(t+dt).Ð→v(t+dt)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

fusée

+δm_gaz.ÐÐ→v_gaz

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

gaz échappé

✓ δm_gaz=D_m.dt=−dm

✓ Par composition des vitesses :ÐÐ→v_gaz=Ð→v + Ð→u avec Ð→u =−u.Ð→e_z On en déduit donc pour cette durée dt :

δÐ→p =[(m(t) +dm(t)).(Ð→v(t) +dÐ→v(t))] −dm.(Ð→v + Ð→u) − Ð→v(t).m(t)

On va négliger dm.dv devant les autres termes, ce qui donne alorsδÐ→p =m.dÐ→v −dm.Ð→u 2. On peut appliquer le PFD au système fermé défini, dans le référentiel galiléen :

δÐ→p

dt =m(t).Ð→g, ce qui donne bien, en exprimant D_m=−dm

dt , le résultat proposé.

3. L’accélération àt=0 doit avoir une composante verticale ascendante, ce qui donne donc : [Ð→g −D_m.Ð→u

m₀ + Ð→g]⋅Ð→e_z >0 donc u> m₀.g

D_m =10⁴ m.s⁻¹ 4. Par intégration, on obtient :v(t)=−g.t+u.ln(m0−Dm.t

m₀ )

5. La vitesse est une fonction croissante, il faut veiller à ce que les valeurs restent compatibles avec l’hypothèse de la mécanique non relativiste...

On a alors l’évolution de la vitesse :

t v(t)