Pour tout T >0 on d´efinit CT :=eA T (|y0|+ 1), LT

Universit´e de Paris Dauphine Ann´ee 2004-2005

Equations diff´´ erentielles

4. Convergence du sch´ema num´erique ”Euler explicite”.

Fixonsy₀ ∈R^d et consid´erons l’approximation num´erique du probl`eme de Cauchy

(1) y⁰=f(y), y(0) =y₀

grˆace au sch´ema d’Euler explicite . Pour ∆ > 0 fix´e, on construit la suite (y_n) par r´ecurrence

y_n+1−y_n

∆ =f(y_n),

puis on posey_∆(t) =y_npour toutt∈[n∆,(n+1)∆]. On d´efinit de la sortey_∆:R₊→R^d une fonction constante par morceaux.

Th´eor`eme. On suppose f ∈C¹ et |f(y)| ≤A(1 +|y|) pour touty ∈R^d. La solution y associ´ee est donc globale. Pour tout T >0 on d´efinit

C_T :=e^{A T} (|y₀|+ 1), L_T := sup

u∈R^d,|u|≤CT

|∇f(u)|.

Il existe une constante A_T (on peut prendre A_T :=A(1 +C_T) + 2C_Te^{T LT}) telle que

∀∆>0 sup

t∈[0,T]

|y(t)−y_∆(t)| ≤A_T∆.

Ainsi, pour∆>0 petit, y_∆ est une bonne approximation de la solution exactey.

Etape 1.´ Posons u_n :=|y_n|. On a donc

u_n+1≤u_n+ ∆A(1 +u_n)≤e^∆Au_n+ ∆A ∀n∈N

Lemme (de Gronwall discret). Si (v_n) satisfait v_n+1≤(1 +θ)v_n+K ou seulement v_n+1≤e^θv_n+K pour tout n alors par r´ecurrence

v_n≤e^{n θ}v₀+K

n−1

X

k=0

e^{k θ} =e^{n θ}v₀+K e^{n θ}−1 e^θ−1

1

On d´eduit du lemme de Gronwall discret que u_n ≤e^n∆Au₀+ A∆

e^A∆−1(e^n∆A−1)≤e^n∆A(u₀+ 1),

et donc|y_∆(t)| ≤e^{A T}(|y₀|+ 1) pour toutt∈[0, T] et tout ∆>0. De la mˆeme mani`ere, en utilisant la version continue du Lemme de Gronwall il vient|y(t)| ≤e^{A T} (|y₀|+ 1) pour tout t∈[0, T].

Etape 2.´ On d´efinitε_n:=|y_n−y(n∆)|. On a pour tout ntel quen∆≤T

ε_n+1=

y(n∆) + ∆f(y(n∆)) +

Z (n+1)∆

n∆

[f(y(s))−f(y(n∆))]ds−y_n−∆f(y_n)

≤(1 +L_T∆)ε_n+η,

Z (n+1)∆

n∆

[f(y(s))−f(y(n∆))]ds≤∆²L_T(2C_T) =:η En appliquant le lemme de Gronwall discret il vient

ε_n ≤e^(n∆)LTε₀+ ∆²L_T (2C_T)e^n∆LT −1

e^LT∆−1 ≤∆ 2C_T e^n∆LT. On en d´eduit que pour toutt∈[0, T],

ε_∆(t) :=|y(t)−y_∆(t)| ≤ |y(t)−y(∆ [t/∆])|+ε_[t/∆]

≤

Z ∆ ([t/∆]+1)

∆ [t/∆]

f(y(s))ds+ε_[t/∆]

≤∆ (

sup

u∈R^d,|u|≤C^T

|f(u)|+ 2C_Te^{T LT} )

→ 0

lorsque ∆→ 0.

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