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Ecole Sup´erieure De Gestion et D’´economie Num´erique Kol´ea
Le 15/01/2020 Examen D’Alg`ebre 1`ere ann´ee Dur´ee 2h00 Exercice 1:(5 pts)
I)Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et donner leurs n´egations:
1. ∀x∈R∗, ∃y∈R∗, ∀z ∈R, z−xy = 0 2. ∀a ∈R, (a+16= 0)∨(a+ 46= 0) 3. ∃x∈R, ∀y∈R: x+y >0.
4. ∀x∈R, x2 >0⇒x >0
II) 5.Montrer par l’absurde que : si x∈Q?, y /∈Q=⇒xy /∈Q Exercice 2:(10 pts)
I) Dans l’ensemble des nombres r´eels, la relation: a ? b⇔a−b <1
Est-elle : r´eflexive?, sym´etrique?, antisym´etrique?, transitive?, justifier votre r´eponse.
II)Soit E={1,3,4,7}. On d´efinit la relation < dans E×E par:
∀(x, y)∈E×E, x<y⇔x−y+ 1 est pair D´eterminer le graphe de la relation <.
III)On munit R2 de la relation not´ee ? d´efinie par :
∀(x, y),(x0, y0)∈R2,(x, y)?(x0, y0)⇔(x≤x0 et y≤y0)
La relation ? est-elle une relation d’ordre sur R2?. Si oui, l’ordre est-il total?
Exercice 3:(5pts) Soit A={a∈Z;√
3≤a≤2π} et B ={x∈R;−1≤x≤3}
1.D´eterminer A (en donnant tous ses ´el´ements), puis d´eterminer les ensembles A∩ B, A-B, A4B.
(√
3'1,73, π= 3,14)
Bon Courage
