Exercice I. On d´ efinit l’ensemble

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Universit´ e Bordeaux 1, N1MA5012 Int´ egration

Devoir Maison I

Exercice I. On d´ efinit l’ensemble

C = {A ∈ B(R) tel que A = −A},

o` u −A = {−x, x ∈ A} d´ esigne l’ensemble des oppos´ es des ´ el´ ements de A.

1) Montrer que C est une sous-tribu de B( R ).

C est bien inclus dans B( R ), reste ` a v´ erifier que c’est une tribu.

∅ ∈ C.

Soit A ∈ C. On remarque que −A = A revient ` a dire que x ∈ A ⇔ −x ∈ A ce qui est

´

equivalent ` a l’assertion x 6∈ A ⇔ −x 6∈ A ou encore x ∈ A ^c ⇔ −x ∈ A ^c . Cela montre que −(A ^c ) = A ^c , soit A ^c ∈ C.

Soit {A _i , i ∈ I } une famille au plus d´ enombrable d’´ el´ ements de C alors

−

S

i∈I

A i

= S

i∈I

(−A _i ) = S

i∈I

A i et S

i∈I

A i appartient ` a C.

2) D´ ecrire les intervalles [a, b] qui appartiennent ` a C.

Tout intervalle est ´ el´ ement de la tribu des bor´ eliens de R et −[a, b] = [−b, −a]. D’o` u [a, b] est dans C si et seulement si b = −a.

3) D´ ecrire les ensembles {a, b} qui appartiennent ` a C.

De mˆ eme {a, b} ∈ B( R ) et −{a, b} = {−a, −b} = {a, b} si et seulement si a = −b.

4) Les fonctions suivantes sont-elles mesurables de ( R , C) dans lui mˆ eme ? f ₁ (x) = e ^x , f ₂ (x) = x ⁵ , f ₃ (x) = cos x f ₄ (x) =

x si x ∈ [−1, 1]

3x ² sinon

On peut commencer par remarquer que ces fonctions sont continues ou continues par morceaux donc l’image r´ eciproque d’un bor´ elien est un bor´ elien, il suffit de se concentrer sur l’´ egalit´ e f _i ⁻¹ (A) = −f _i ⁻¹ (A).

f ₁ n’est pas mesurable de ( R , C) dans lui mˆ eme, en effet f ₁ ⁻¹ ({−2, 2}) = {ln 2} qui n’est

pas un ´ el´ ement de C.

2

f 2 est mesurable de ( R , C) dans lui mˆ eme car c’est une fonction impaire. En effet a ∈ f ₂ ⁻¹ (A) ⇔ f 2 (a) ∈ A ⇔ f 2 (−a) = −f ₂ (a) ∈ −A = A ⇔ −a ∈ f ₂ ⁻¹ (A).

f ₃ est mesurable de ( R , C) dans lui mˆ eme car c’est une fonction paire. On peut remar- quer de plus que pour tout ensemble B bor´ elien f ₃ ⁻¹ (B) = −f ₃ ⁻¹ (B) car f 3 (−x) = f 3 (x).

f ₄ est mesurable, pour cela consid´ erons A ∈ C et a ∈ f ₄ ⁻¹ (A). Deux cas sont ` a distin- guer :

si a ∈ [−1, 1] alors f 4 (−a) = −f ₄ (a) ∈ −A = A et −a ∈ f ₄ ⁻¹ (A) ; si |a| > 1 alors f ₄ (−a) = f ₄ (a) ∈ A et −a ∈ f ₄ ⁻¹ (A).

On a bien −f ₄ ⁻¹ (A) = f ₄ ⁻¹ (A).

Exercice II. On consid` ere sur Ω = N la tribu T = P(N) et la mesure de comptage µ d´ efinie par :

µ(A) = le nombre d’´ el´ ements dans l’ensemble A.

(a) Montrer que µ d´ efinit bien une mesure sur (Ω, T ).

Il faudrait montrer que (1)µ(∅) = 0, vraie car ∅ contient 0 ´ el´ ements ; et (2) si (A n ) n∈ N

est une famille d´ enombrable d’ensembles deux ` a deux disjoints, alors µ(∪ _{n∈ N} A n ) = P

n∈ N µ(A _n ). S’il y a une nombre fini d’ensembles non-vide qui contient un nombre fini d’´ el´ ements dans la famille, ceci est ´ evident, et c’est aussi clair que, dans le cas ou il y a une infinit´ e d’ensembles non-vides, ou un ensemble qui contient une infinit´ e d’´ el´ ements, alors les deux cot´ es de l’´ equation sont ´ egal ` a ∞.

(b) Soit f : N → N d´ efinie par f (x) = 3x − 5.

(i) Justifier que f est mesurable de (Ω, T ) dans ( R , B( R )).

N’importe quelle fonction est mesurable quand l’espace de d´ epart Ω est muni de la tribu P (Ω) car l’image r´ eciproque de n’importe quel ensemble est n´ ecessairement dans la tribu.

(ii) Soit B = {2, 3, 4}. Calculer R

B f dµ.

L’int´ egrale sur B de f est ´ egale ` a l’int´ egrale sur Ω de f · χ B qui est une fonction ´ etag´ ee, qu’on peut ´ ecrire comme 1χ _{2} + 4χ _{3} + 7χ _{4} . Et, par d´ efinition,

Z

N

1χ _{2} + 4χ _{3} + 7χ _{4} dµ = 1µ{2} + 4µ{3} + 7µ{4} = 1 + 4 + 7 = 12.

Donc R

B f dµ = 12.

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Maintenant on d´ efinit pour tout A ∈ T , ν(A) =

Z

A

x ² dµ(x).

(c) Montrer que ν est une mesure positive sur (Ω, T ).

L’application ν est positive car ses valeurs sont des int´ egrales d’une fonction positive par rapport ` a une m´ esure positive. Par d´ efinition de l’int´ egrale ν(∅) = R

∅ x ² dµ(x) = 0, et l’additivit´ e de µ suit imm´ ediatement de l’additivit´ e de l’int´ egrale.

(d) Expliciter ν(A) pour tout A ∈ T .

Par la mˆ eme raisonnement que dans 1c ; on voit que ν(A) = P

k∈A k ² . (e) Expliciter R

Ω\{0}

1

x

dν(x). Cette int´ egrale est-elle finie ? Par le th´ eor` eme de convergence monotone on a

Z

Ω\{0}

1

x ⁴ dν(x) = lim

n→∞

Z

Ω\{0}

f · χ _{{1,2,···n}} dν = lim

n→∞

n

X

k=1

1

k ⁴ · k ² =

∞

X

k=1

1 k ² = π ²

6 < ∞.

Exercice III. 1) Soit f : ( R , B( R )) dans ( R , B( R )) une fonction int´ egrable.

a) Montrer que lim n→∞ R ∞

n f dµ = 0.

Posons pour tout entier n, f _n := f χ _[n,+∞[ , f _n est mesurable comme produit de deux fonctions mesurables et R +∞

n f dµ = R

R f n dµ. Nous allons utiliser le th´ eor` eme de conver- gence domin´ ee,

(f _n ) suite de fonctions mesurables ; pour tout r´ eel x, lim

n→+∞ f n (x) = 0 ;

pour tout entier n, |f _n | ≤ |f | et |f | int´ egrable sur R . On a avec le th´ eor` eme de convergence domin´ ee

n→∞ lim Z ∞

n

f dµ = lim

n→∞

Z

R

f _n dµ = Z

R

n→∞ lim f _n dµ = 0.

b)Montrer que {x ∈ R , f (x) > 0} est σ−fini.

L’´ enonc´ e aurait ici besoin d’ˆ etre pr´ ecis´ e. En effet on peut remarquer que cet ensemble

´

etant un ´ el´ ement de la tribu des bor´ eliens de R , il est σ−fini pour la mesure de Lebesgue.

Il faut comprendre ici que l’on a muni B( R ) de la mesure µ de la premi` ere question et alors R peut ne pas ˆ etre σ-fini pour cette mesure. Un raisonnement qui s’appliquerait quelque soit la tribu de d´ epart est le suivant

{x ∈ R , f (x) > 0} = [

n∈ N

{x ∈ R , f (x) > 1 n }.

Avec l’in´ egalit´ e de Markov µ

{x ∈ R , f (x) > 1 n }

≤ n Z

R

|f | dµ < +∞

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car f est int´ egrable.

{x ∈ R , f (x) > 0} est une union d´ enombrable d’ensembles de mesure finie, il est σ−fini.

Exercice IV. 1) Soit f _n la fonction d´ efinie par

f _n (x) = − 1

n χ _[0,n] (x).

1) Montrer que, pour tout n, la fonction f n est mesurable, et int´ egrable sur R pour la mesure de Lebesgue.

Pour tout entier non nul n, f n est une fonction ´ etag´ ee donc mesurable. De plus par d´ efinition de l’int´ egrale R

R |f _n | dλ = _n ¹ λ([0, n]) = 1 o` u λ d´ esigne la mesure de Lebesgue sur R . Donc f _n est int´ egrable sur R pour la mesure de Lebesgue.

2) Montrer que la suite (f n ) converge uniform´ ement sur R vers la fonction nulle. Cal- culer lim inf R

R f _n dx. Est-ce que le r´ esultat contredit le lemme de Fatou ? sup _R |f _n | = _n ¹ et lim

n→+∞

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n = 0 donc la suite (f n ) converge uniform´ ement sur R vers la fonction nulle.

Pour tout entier non nul n, R

R f n dλ = − ¹ _n λ([0, n]) = −1 donc lim inf R

R f n dλ = −1.

On a une suite de fonctions mesurables (f _n ) telles que R

R lim inf f _n dλ > lim inf R

R f _n dλ,

ceci ne contredit pas le lemme de Fatou car les fonctions f _n ne sont pas positives.