Chapitre 3: Intégrales Généralisées

Chapitre 3:

Intégrales Généralisées

Hamid Boua

Faculté pluridisciplinaire-Nador- Module: Analyse 2

SMP-SMC 26 mai 2021

Sommaire

1 Généralités

2 Critères de convergence pour les fonctions positives

Sommaire

1 Généralités

2 Critères de convergence pour les fonctions positives

→

Dans le chapitre précédent, on a défini et étudié la notion d’intégrale de Riemann d’une fonction bornée et définie sur un intervalle fermé et borné.

→

Dans ce chapitre, on cherche à étendre la notion d’intégrale aux fonctions non nécessairement bornée et définies sur des intervalles de la forme

[

a

,

b

[

;

[

a

,+∞[

,

]

a

,

b

]

,

] −

∞,b

]

,

]

a

,

b

[

,

] −

∞,

+∞[

.

Définition :

Soitf une fonction continue sur

[

a

,

b

[

oùa

∈

R^etb

∈

R^oub

= +∞

. Pour x

∈ [

a

,

b

[

, on poseF

(

x

) =

Z x a

f

(

t

)

dt. On dit que l’intégrale def sur

[

a

,

b

[

est convergente ou existe si lim

x→bF

(

x

)

existe et elle est finie.

Cette limite est appelée intégrale généralisée ou impropre def sur

[

a

,

b

[

, et on la note par

Z b a

f

(

t

)

dt.

−→

Si lim

x→bF

(

x

)

n’existe pas ou égale à∞, on dit que l’intégrale def sur

[

a

,

b

[

n’existe pas ou divergente.

Définition :

Soitf une fonction continue sur

]

a

,

b

]

oùb

∈

R^eta

∈

R^oua

= −∞

. Pour x

∈]

a

,

b

]

, on poseF

(

x

) =

Z b x

f

(

t

)

dt. On dit que l’intégrale def sur

]

a

,

b

]

est convergente ou existe si lim

x→aF

(

x

)

existe et elle est finie.

Cette limite est appelée intégrale généralisée ou impropre def sur

]

a

,

b

]

, et on la note par

Z b a

f

(

t

)

dt.

−→

Si lim

x→aF

(

x

)

n’existe pas ou égale à∞, on dit que l’intégrale def sur

]

a

,

b

]

n’existe pas ou divergente.

Exemples

1) Etudier la convergence de Z +∞

0

e^−tdt. Pourx ≥0 on a :

Z x

0

e^−tdt= [−e^−t]^x₀=−e^−x+1

x→+∞lim Z x

0

e^−tdt= lim

x→+∞1−e^−x =1. Donc Z +∞

0

e^−tdt est convergente et on a :

Z +∞

0

e^−tdt=1

Exemples

1) Etudier la convergence de Z +∞

0

e^−tdt. Pourx

≥

0 on a :

Z x 0

e^−tdt

= [−

e^−t

]

^x₀

= −

e^−x

+

1

x→+∞lim Z x

0

e^−tdt

=

lim

x→+∞1

−

e^−x

=

1. Donc Z +∞

0

e^−tdt est convergente et on a :

Z +∞

0

e^−tdt

=

1

2) Etudier la convergence de Z +∞

1

√

dt t et

Z 1 0

√

dt

t Pourx ≥1 on a : Z x

1

√dt t = [2

√

t]^x₁=2√

x−2→+∞, qdx→+∞. Donc Z +∞

1

√dt t diverge

Pourε>0 : Z 1

ε

√dt t = [2

√

t]¹_ε=2−2√

ε→2, qdε→0. Donc Z 1

0

√dt t est converge et on a

Z 1 0

√dt t =2 .

2) Etudier la convergence de Z +∞

1

√

dt t et

Z 1 0

√

dt

t Pourx

≥

1 on a : Z x

1

√

dt t

= [

2

√

t

]

^x₁

=

2

√

x

−

2

→ +∞

, qdx

→ +∞

. Donc Z +∞

1

√

dt t diverge

Pourε

>

0 : Z 1

ε

√

dt t

= [

2

√

t

]

¹_ε

=

2

−

2

√

ε

→

2, qdε

→

0. Donc Z 1

0

√

dt t est converge et on a

Z 1 0

√

dt t

=

2 .

Remarques

1) Sif est continue sur

[

a

,

b

[

et sic

∈ [

a

,

b

[

alors Z b

a

f

(

t

)

dt et Z b

c

f

(

t

)

dtsont de même nature. En effet :

Z x a

f

(

t

)

dt

=

Z c

a

f

(

t

)

dt

+

Z x

c

f

(

t

)

dt

lim

x→b

Z x a

f

(

t

)

dtexiste dansRsi et seulement si lim

x→b

Z x c

f

(

t

)

dt existe dansR

2) De même sif est continue sur

]

a

,

b

]

et sic

∈]

a

,

b

]

alors Z b

a

f

(

t

)

dt et Z c

a

f

(

t

)

dtsont de même nature.

Définition

Soitf une fonction continue sur

]

a

,

b

[

(

−∞ ≤

a

≤

b

≤ +∞

). On dit que l’intégrale def sur

]

a

,

b

[

est convergente s’il existec

∈]

a

,

b

[

tel que chacune des intégrales def sur

]

a

,

c

]

et sur

[

c

,

b

[

sont convergentes, et on pose

Z b a

f

(

t

)

dt

=

Z c

a

f

(

t

)

dt

+

Z b

c

f

(

t

)

dt

Le nombre Z b

a

f

(

t

)

dt est indépendant dec, et s’appelle l’intégrale généralisée def sur

]

a

,

b

[

.

Exemples

1) Etudier la convergence de Z +∞

−∞

1

1

+

t²dtPourx>0 : Z x

0

1

1+t²dt= [arctant]^x₀=arctanx→ π

2, qdx→+∞. Donc

Z +∞

0

1

1+t²dt =π 2 Pourx <0 :

Z 0 x

1

1+t²dt= [arctant]⁰_x =−arctanx→ π

2, qdx→ −∞. Donc

Z 0

−∞

1

1+t²dt= π 2 D’où

Z +∞

−∞

1 1+t²dt =

Z 0

−∞

1 1+t²dt+

Z +∞

0

1

1+t²dt=π 2+π

2 =π

Exemples

1) Etudier la convergence de Z +∞

−∞

1

1

+

t²dtPourx

>

0 : Z x

0

1

1

+

t²dt

= [

arctant

]

^x₀

=

arctanx

→

π

2, qdx

→ +∞

. Donc

Z +∞

0

1

1

+

t²dt

=

π 2 Pourx

<

0 :

Z 0 x

1

1

+

t²dt

= [

arctant

]

⁰_x

= −

arctanx

→

π

2, qdx

→ −∞

. Donc

Z 0

−∞

1

1

+

t²dt

=

π 2 D’où

Z +∞

−∞

1 1

+

t²dt

=

Z 0

−∞

1 1

+

t²dt

+

Z +∞

0

1

1

+

t²dt

=

π 2

+

π

2

=

π

2) Etudier la convergence de Z +∞

−∞

sin

(

t

)

dt Pourx>0 : Z x

0

sin(t)dt=−[cos(t)]^x₀=−cos(x) +1 n’a pas de limite qdx →+∞, donc Z x

0

sin(t)dtdiverge et par suite Z +∞

−∞ sin(t)dt diverge.

2) Etudier la convergence de Z +∞

−∞

sin

(

t

)

dt Pourx

>

0 : Z x

0

sin

(

t

)

dt

= −[

cos

(

t

)]

^x₀

= −

cos

(

x

) +

1 n’a pas de limite qdx

→ +∞

, donc Z x

0

sin

(

t

)

dtdiverge et par suite Z +∞

−∞ sin

(

t

)

dt diverge.

Définition :

1) Soitf une fonction continue sur

]

a

,

b

[

et sur

]

b

,

d

[

. On dit que Z d

a

f

(

t

)

dtest convergente si les deux intégrales

Z b a

f

(

t

)

dtet Z d

b

f

(

t

)

dtsont convergentes, et dans ce cas on pose :

Z d a

f

(

t

)

dt

=

Z b

a

f

(

t

)

dt

+

Z d

b

f

(

t

)

dt

2) Soita0

<

a1

< ... <

an, soitf une fonction continue sur

]

ai

,

ai+1

[

pour chaquei

∈ {

0

, ...,

n

−

1

}

. On dit que

Z an a0

f

(

t

)

dt est convergente si pour chaque i

∈ {

0

, ...,

n

−

1

}

,

Z ai+1 ai

f

(

t

)

dt est convergente et dans ce cas on pose

Z an a0

f

(

t

)

dt

=

n−1

∑

i=0

Z a_i+1 ai

f

(

t

)

dt

Exemple :

Z 10 0

e^t

t

(

t

−

1

)(

t

−

2

)

^dtconverge si et seulement si les 3 intégrales suivantes sont convergentes :

Z 1 0

e^t

t

(

t

−

1

)(

t

−

2

)

^dt

,

Z 2

1

e^t

t

(

t

−

1

)(

t

−

2

)

^dt

,

et Z 10

2

e^t

t

(

t

−

1

)(

t

−

2

)

^dt

Proposition ( Exemple de référence à retenir )

Soita

>

0 etα

∈

R

1

Z +∞

a

1

x^αdxconverge

⇐⇒

α

>

1,

2

Z a 0

1

x^αdxconverge

⇐⇒

α

<

1,

◦

L’étude de l’intégrale généralisée d’une fonctionf sur un intervalle

]

c

,

d

]

se ramène par le changement de variablet

= −

x à l’étude de l’intégrale généralisée de la fonctionx

−→

f

(−

x

)

sur l’intervalle

[−

d

,−

c

[

Z d c

f

(

t

)

dt

=

Z −c

−d

f

(−

t

)

dt

Dans la suite on va considérer seulement les intégrales généralisées sur des intérvalles de type

[

a

,

b

[

.

Sommaire

1 Généralités

2 Critères de convergence pour les fonctions positives

Proposition :

Soitf une fonction continue et positive sur

[

a

,

b

[

. Pour que l’intégrale Z b

a

f

(

t

)

dt soit convergente, il faut et il suffit, qu’il existeM

>

0 tel que

∀

x

∈ [

a

,

b

[

: Z x

a

f

(

t

)

dt

≤

M.

Proposition :

Soientf etgdeux fonctions positives continues

1 Si

Z b a

g

(

t

)

dtconverge alors Z b

a

f

(

t

)

dtconverge et dans ce cas on a : Z b

a

f

(

t

)

dt

≤

Z b

a

g

(

t

)

dt

2 Si

Z b a

f

(

t

)

dt diverge alors Z b

a

g

(

t

)

dtdiverge.

Exemple :

Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

1 e^x

+

1dx On a :∀x∈[0,+∞[, 0≤ ¹

e^x+1 ≤ ¹ e^x or

Z t

0

1 e^xdx=

Z t

0

e^−xdx= [−e^−x]^t₀=−e^−t+1→1qd t →+∞

Proposition :

Soientf etgdeux fonctions positives continues

1 Si

Z b a

g

(

t

)

dtconverge alors Z b

a

f

(

t

)

dtconverge et dans ce cas on a : Z b

a

f

(

t

)

dt

≤

Z b

a

g

(

t

)

dt

2 Si

Z b a

f

(

t

)

dt diverge alors Z b

a

g

(

t

)

dtdiverge.

Exemple :

Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

1 e^x

+

1dx On a :

∀

x

∈ [

0

,+∞[

, 0

≤

¹

e^x

+

1

≤

¹ e^x Z t 1 Z t

−x

= [−

^{−x t}

−

^−t

→ →

Donc Z +∞

0

1

e^xdxconverge, d’où Z +∞

0

1

e^x

+

1dxconverge.

Définition :

Deux fonctionsf etgdéfinies à gauche deb

∈

R, sauf peut être enb(resp. au voisinage de

+∞

) sont équivalentes à gauche deb(resp. au voisinage de

+∞

) s’il existe une fonctionεdéfinie à gauche debsauf peut être enb(resp. au voisinage de

+∞

) telle quef

(

x

) =

g

(

x

)(

1

+

ε(x

))

avec lim

x→b−ε(x

) =

0 (resp.

x→+∞lim ε(x

) =

0).

Théorème :

Soienta

∈

R^{etbtel quea}

<

b

≤ +∞

.f etgdeux fonctions positives, continues sur

[

a

,

b

[

.

1 Sif etgsont équivalentes à gauche deb(resp. au voisinage deb

= +∞

) alors

Z b a

f

(

t

)

dtet Z b

a

g

(

t

)

dt sont de même nature.

2 Si lim

x→b−

f

(

x

)

g

(

x

) =

0, alors Z b

a

g

(

t

)

dt converge

= ⇒

Z b

a

f

(

t

)

dt converge

3 Si lim

x→b−

f

(

x

)

g

(

x

) = +∞

, alors Z b

a

g

(

t

)

dt diverge

= ⇒

Z b

a

f

(

t

)

dtdiverge

Exemples

1) Etudier la convergence des intégrales Z 1

0

e^x

−

1 x^3/2 dxet

Z +∞

1

√

x

x⁵

+

1dx.

• ^e

x−1

x^3/2 ∼₀ ^x

x^3/2 = ¹ x^1/2 or

Z 1 0

1

x^1/2dxconverge donc Z 1

0

e^x−1

x^3/2 dxconverge.

• √ ^x

x⁵+1 = ^x

x^5/2 q

1+_x¹5

= ¹

x^3/2 q

1+_x¹5

∼ ¹ x^3/2

Or Z +∞

1

dx

x^3/2 converge donc Z +∞

1

√ x

x⁵+1dxconverge.

2) Etudier la convergence de Z 1

0

dt sint On a 1

sint ∼₀ ¹ t et

Z 1 0

1

tdtdiverge, donc Z 1

0

dt

sintdtdiverge.

Exemples

1) Etudier la convergence des intégrales Z 1

0

e^x

−

1 x^3/2 dxet

Z +∞

1

√

x

x⁵

+

1dx.

•

^e

x

−

1 x^3/2

∼

₀ ^x

x^3/2

=

¹ x^1/2 or

Z 1 0

1

x^1/2dxconverge donc Z 1

0

e^x

−

1

x^3/2 dxconverge.

• √

^x

x⁵

+

1

=

^x

x^5/2 q

1

+

_x¹5

=

¹

x^3/2 q

1

+

_x¹5

∼

¹ x^3/2

Or Z +∞

1

dx

x^3/2 converge donc Z +∞

1

√

x

x⁵

+

1dxconverge.

2) Etudier la convergence de Z 1

0

dt sint On a 1

sint ∼₀ ¹ t et

Z 1 0

1

tdtdiverge, donc Z 1

0

dt

sintdtdiverge.

Exemples

1) Etudier la convergence des intégrales Z 1

0

e^x

−

1 x^3/2 dxet

Z +∞

1

√

x

x⁵

+

1dx.

•

^e

x

−

1 x^3/2

∼

₀ ^x

x^3/2

=

¹ x^1/2 or

Z 1 0

1

x^1/2dxconverge donc Z 1

0

e^x

−

1

x^3/2 dxconverge.

• √

^x

x⁵

+

1

=

^x

x^5/2 q

1

+

_x¹5

=

¹

x^3/2 q

1

+

_x¹5

∼

¹ x^3/2

Or Z +∞

1

dx

x^3/2 converge donc Z +∞

1

√

x

x⁵

+

1dxconverge.

2) Etudier la convergence de Z 1

0

dt sint On a 1

sint

∼

₀ ¹ t et

Z 1 0

1

tdtdiverge, donc Z 1

0

dt

sintdtdiverge.

Corollaire

Soitf une fonction positive et continue sur

[

a

, +∞[

aveca

>

0, on a :

1 Sif

(

x

) ∼

_{+∞ x}^C_α

(

C

6=

0

)

alors Z +∞

a

f

(

x

)

dxet Z +∞

a

1

x^αdxsont de même nature, donc

Z +∞

a

f

(

x

)

dxconverge si et seulement siα

>

1

2 Si lim

x→+∞x^αf

(

x

) =

0 etα

>

1 alors Z +∞

a

f

(

x

)

dxconverge.

3 Si lim

x→+∞x^αf

(

x

) = +∞

etα

≤

1 alors Z +∞

a

f

(

x

)

dxdiverge.

Exemples

Etudier la nature des intégrales Z +∞

0

e^−t2dt, Z +∞

1

logt t dt,

Z +∞

1

logt t² dt.→

t→+∞lim t²e^−t2=0 et 2>1 alors Z +∞

0

e^−t2dtconverge.

→ lim

t→+∞tlogt

t = lim

t→+∞logt= +∞et 1≤1 alors Z +∞

1

logt

t dt diverge.

→ lim

t→+∞t^3/2logt t² = lim

t→+∞

logt

t^1/2 =0 et3

2 >1 donc Z +∞

1

logt

t² dtconverge.

4On remarque qu’on n’obtient rien si on multiple logt

t² partou part²en effet :

t→+∞lim t²logt t² = lim

t→+∞logt= +∞maisα=2>1.

logt

= ^logt = = ≤

Exemples

Etudier la nature des intégrales Z +∞

0

e^−t2dt, Z +∞

1

logt t dt,

Z +∞

1

logt t² dt.

→

t→+∞lim t²e^−t2

=

0 et 2

>

1 alors Z +∞

0

e^−t2dtconverge.

→

lim

t→+∞tlogt t

=

lim

t→+∞logt

= +∞

et 1

≤

1 alors Z +∞

1

logt

t dt diverge.

→

lim

t→+∞t^3/2logt t²

=

lim

t→+∞

logt

t^1/2

=

0 et3

2

>

1 donc Z +∞

1

logt

t² dtconverge.

4On remarque qu’on n’obtient rien si on multiple logt

t² partou part²en effet :

t→+∞lim t²logt t² = lim

t→+∞logt= +∞maisα=2>1.

Exemples

Etudier la nature des intégrales Z +∞

0

e^−t2dt, Z +∞

1

logt t dt,

Z +∞

1

logt t² dt.

→

t→+∞lim t²e^−t2

=

0 et 2

>

1 alors Z +∞

0

e^−t2dtconverge.

→

lim

t→+∞tlogt t

=

lim

t→+∞logt

= +∞

et 1

≤

1 alors Z +∞

1

logt

t dt diverge.

→

lim

t→+∞t^3/2logt t²

=

lim

t→+∞

logt

t^1/2

=

0 et3

2

>

1 donc Z +∞

1

logt

t² dtconverge.

4

On remarque qu’on n’obtient rien si on multiple logt

t² partou part²en effet :

t→+∞lim t²logt t²

=

lim

t→+∞logt

= +∞

maisα

=

2

>

1.

logt

=

^logt

= = ≤

Définition

Soitf une fonction continue sur

[

a

,

b

[

oùa

<

b

≤ +∞

. L’intégrale Z b

a

f

(

x

)

dxest dite absolument convergente si

Z b a

|

f

(

t

)|

dt converge

Théorème :

Une intégrale absolument convergente est convergente.

Z b a

|

f

(

t

)|

dtconverge

= ⇒

Z b

a

f

(

t

)

dt converge

Exemple

Etudier l’intégrale généralisée Z +∞

1

2 sint

−

3 cost

t² dt∀t∈[1,+∞[on a

|^{2 sint}−3 cost

t² |≤ ⁵

t²

or Z +∞

1

1

t²dtconverge donc Z +∞

1

5

t²dt converge d’où Z +∞

1

|^{2 sint}−3 cost

t² |dtconverge.

D’où Z +∞

1

2 sint−3 cost

t² dt converge.

Exemple

Etudier l’intégrale généralisée Z +∞

1

2 sint

−

3 cost

t² dt

∀

t

∈ [

1

,+∞[

on a

|

^{2 sint}

−

3 cost

t²

|≤

⁵

t²

or Z +∞

1

1

t²dtconverge donc Z +∞

1

5

t²dt converge d’où Z +∞

1

|

^{2 sint}

−

3 cost

t²

|

dtconverge.

D’où Z +∞

1

2 sint

−

3 cost

t² dt converge.

Théorème : Intégration par parties

Soientf etgdeux fonctions de classeC¹sur

[

a

,

b

[

(a

<

b

≤ +∞

). Si

xlim→bf

(

x

)

g

(

x

)

existe dansRalors les intégrales Z b

a

f

(

t

)

g⁰

(

t

)

dtet Z b

a

f⁰

(

t

)

g

(

t

)

dt sont de même nature, et en cas de convergence on a :

Z b a

f

(

t

)

g⁰

(

t

)

dt

=

lim

x→bf

(

x

)

g

(

x

) −

f

(

a

)

g

(

a

) −

Z b

a

f⁰

(

t

)

g

(

t

)

dt

Exemple

Etudier la nature de Z +∞

1

sint

t dt Posons g=¹

t, g⁰=−¹ t² f =−cost, f⁰=sint

x→+∞lim cosx

x =0 donc Z +∞

1

sint t dt et

Z +∞

1

cost

t² dt sont de même nature, or

|^cost t² | ≤ ¹

t² et Z +∞

1

dt

t²dt converge donc Z +∞

1

cost

t² dtconverge d’où

Z +∞

1

sint

t dt converge.

Exemple

Etudier la nature de Z +∞

1

sint

t dt Posons g

=

¹

t

,

g⁰

= −

¹ t² f

= −

cost

,

f⁰

=

sint

x→+∞lim cosx

x

=

0 donc Z +∞

1

sint t dt et

Z +∞

1

cost

t² dt sont de même nature, or

|

^cost t²

| ≤

¹

t² et Z +∞

1

dt

t²dt converge donc Z +∞

1

cost

t² dtconverge d’où

Z +∞

1

sint

t dt converge.