Mathématiques – cours : Chap 26 : Séries et intégrales généralisées
1
Chap 26 : Séries et intégrales généralisées
= ou
I. Séries
0
( ) .
( )
Une série de terme général est la donnée d'une suite On la note Les sommes partielles de la série sont
n n n n
r
n r
n
u u u
S u n
=
∈ ∈
=
Σ
∑
∈
0 1
) ( lim
On dit que la série converge si la suite des sommes partielles converge
On note la somme de la série, et les restes de la série
n n n
n n n n
n n
n r
r
S
u S
S u S R S u
+∞ +∞
= →+∞ = +
∈
= − = Σ
=
∑
=∑
Si on change un nombre fini de termes, on ne change pas la nature de la série
1 1
( ) ( ) 0 ( )
Supposons un ∈ + ⇒ Sn+ −Sn =un+ ≥ Sn n est donc croissante Théorème de convergence : On considère à termes positifs
Soit les sommes partielles sont majorées, alors la série converge Soit
n
n n
u
S →+∞
Σ
−
− →+∞
1 1
1 converge si Séries de Riemann :
diverge si nα
α α
>
≤
∑
Preuve : On travaille par inégalités avec l’intégrale correspondante (sur [n, n+1]) 1
1 (ln )
1, 1
Séries de Bertrand : converge oussi nα n β
α α β
>
= >
∑
Preuve : Pourα ≠1, on se ramène à des O avec des séries de Riemann (pour majorer ou minorer) Pour α =1, on compare à l’intégrale (voir Bertrand) (on trouve du ln(ln(x)) si β =1)
( (
,
) ) ( )
( ) ( )
~
Théorème de comparaison : et
et converge converge converge converge converge converge
co et
et
nverge
n n n
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
u v
n N u v v u
u v v u
u v v u
u v v ss
o
+
→+∞
→+∞
→+∞
− ∀ ≥ ≤ Σ ⇒ Σ
− Σ ⇒ Σ
− Σ ⇒ Σ
− Σ
∈
=
=
⇒
converge i uΣ n
Preuve : séparer la somme en 2 (avant et après N), majorer
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2
) ) )
) (
( ( (
( (
( ))
)
) ( (
,
Théorème de comparaison des restes et sommes partielles : et
diverge (d'où aussi)
sont les sommes partielles de celles de
n n n n
n n n
n n n n n
n n n n
res
u v
u o v i
p v
u v S o r
S u v
S S
+
Σ →∞
∈
=
Σ ⇒ =
(
(
))
( ) ( (
) ( ( ))
) ( ))
, converge (d'où aussi) sont les restes de ceux de
n n
n n n
n n n n n n n
n n n n
esp
u o v
ii u R o resp
R
S
resp v
v R R
u R v
→∞
→∞ →∞
= Σ ⇒ =
Σ
, ( ) ~ ~
con ~ div
verg erge
e
n n n
n n n n
n n n
u S
u
u
v u v S
R R
+ ⇒
Σ ⇒
∈ ⇒
Σ
) 1
( converge 0 LA RECIPROQUE EST FAUSSE
n n n n n n
u ∈ + Σu ⇒u =S −S − →∞→ − =l l
Idée générale pour l’étude d’une série de terme général positif : on cherche un équivalent / maj / min de type série de Riemann / Bertrand
Ce qui précède n’est valable que pour les séries de terme général POSITIF
II. Séries de terme général quelconque
(un)∈ (= ou ) La suiteΣun converge ssi la suite (Sn n) converge )
( 0 lim
Pas d'équivalence avec majorée
converge LA RECIPROQUE EST FAUSSE
n n n
n n
S
u u
Σ ⇒ →+∞ =
1
)
( est de 0, / ,
converge Cauchy p
n n k
k q
ss
u ssi S i ε N p q N u ε
= +
∀ > ∃ ∀ ≥ ≥ ≤
Σ
∑
(un)∈n Σun est absolument convergente si Σ|un | converge
absolument convergente convergente ( de Cauchy) LA RECIPROQUE EST FAUSSE
n n
u u Mq
Σ ⇒ Σ
) ( )
0
, ( 1) 0
(
Théorème des séries alternées : où
, avec : converge
est décroissante
n n n n
n n n n
n n n
v u
n v u u v
u
→+∞
∈
≥
∀ ∈ = − → ⇒ Σ
Preuve : Mq (S2n n) et (S2n+1)n sont adjacentes
2 2 1 1 1
( 1) : , | | | |
a le signe de n
n n n n n n
S −S − S ≥S S + ≤S S−S ≤u + = v +
)
{(un n∈ tel que Σun converge est un } sev de
( 1) 2 1
/!\ PAS UNE ALGEBRE : un n CV mais pas un
n n
Σ =
∑
− Σ =∑
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III. Intégrales généralisées (ou impropres)
{ } ( { }) ( , ) 2
[ , ] [ , [( ) ] , ] ] , [( )
est un intervalle quelconque : , b , a ou a b
I I = a b a b ∈∪ +∞ a b ∈∪ −∞ a b ∈
0
0
0
[ , [ ( , )
( ) ( )
( ) ( )
) )
( (
On a équivalence entre : a une limite finie quand est majorée sur
primitive de , admet une limite finie quand
, n
a
n n x
n
I a b f I
I
i F x b
x f t dt
ii F I
iii F f F x b
iv b I b
+ +
→
= ∈
→ →
∀
∈
→
∀
∫
C
( )
( )
( )
( ) ( ( )
( ) li )
admet une limite finie
, et admet une limite finie
Dans ce cas, on dit que est intégrable sur (l'intégrale converge), et on pose
n
n
b a b
n a
n n n
a n
b n
b f t dt
v b b b f t dt
f I
I
f t dt
+∞
→+∞
→ ⇒
∃ →
=
∈
∫
∫
∫
m x ( )
x a a f t dt
→
∫
Preuve : ( )v ⇒( ) : utiliser la croissance de pour majoreri F ] , [ ( )
( ) lim ( )
, est appelée intégrale partielle (que soit intégrable sur ou non) Si l'intégrale converge, est appelée reste de l'intégrale
x a
b y
x y b x
x a b f t dt f I
f t dt f t dt
→
∀ ∈
=
∫
∫ ∫
0 )
[ , [ ( [ , [), ( ) ( ) (
[
) (
, [ ( ,
(
)
( ) ( )) ( )
( )
( ) ( ( ))
et converge conve
Théorème de comparaison : et
et converge et
rge converge
b b
a a
b
x b a
x
a
b
b
x c b c a b f x g x g t d
I a b f g I
t f t dt
f x g x g t dt f t d
o g x
t f x
+
→
→
− ∀ ∈ ∈ ≤ ⇒
− =
−
= ∈
⇒
=
∫ ∫
∫
∫
C
( )
( ) ~
( )
( ) ( ) ( )
converge conver
converge
converge ge
b a
b
b a b
x b a a
g t dt g
f t dt
f x → x g t dt ssi f t dt
−
⇒
⇒
∫
∫
∫
∫
[ , [ ] , ]
] , [ ] , [ ] , ] [ , [
Tout ce qui précède sur s'adapte de manière immédiate sur
Pour , on prend et on s'intéresse d'un côté à et de l'autre à
I a b I a b
I a b c a b a c c b
= =
= ∈
1 1 0
2 1/2 0
1 1
1 1 1
(ln )
1 1 1
| ln |
converge Intégrales de Riemann :
converge
converge ou et Intégrales de Bertrand :
converge ou et
dx ssi
x
dx ssi
x
dx ssi
x x
dx ssi
x x
α
α
α β
α β
α α
α α β
α α β
+∞
+∞
>
<
> = >
< = >
∫
∫
∫
∫
Preuves : Riemann : regarder la limite de l'intégrale Bertrand : se ramener à Riemann ou intégrer
0 0
1 1
0 0
| | | |
Si Si α e dxαx α e dxαx
α α
+∞
<
∫
= >∫
−∞ =Mathématiques – cours : Chap 26 : Séries et intégrales généralisées
4 0( , ) (ou ) intervalle queconque On dit que est intégrable sur si | | converge
f ∈C I I f I
∫
I f0
( , 0
[ , [ ) ( )
(ou ) intégrable x ( ) admet une limite b quand
a a
I
I a b f F f t dt x b
x f t dt I
→
= ∈ ⇒ →
∫ ∫
C
| ( ) | 0
Si diverge, n'est pas intégrable sur , mais si admet quand même une limite en , on dit que est pseudo intégrable sur
b
a f t dt f I F b
f I
∫
1+∞ f t dt( ) CV ⇒
∫
xlim f x( ) 0→+∞ =
IV. Comparaison série / intégrale
0( , )
lim
( ( ) 0
) converge ( ) conve
décroissante rge
n a a x
f
f n ssi f t dt
f
f x
+ +
→+∞
+∞
≥
∈
⇒
=
∑ ∫
C
Preuve : [ , 1], ( 1) ( ) ( ) ( 1) n 1 ( ) Sommation majorations
t n n f n f t f n f n n+ f f n
∀ ∈ + + ≤ ≤ ⇒ + ≤
