Planche 3 : intégrales généralisées

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif

PC Planche 3

Intégrales généralisées

approfondissement

Exercice 1

Montrer la convergence et calculer l’intégrale :





0 1

x dx

x









Exercice 2

1. Montrer la convergence de l’intégrale ₂

0

ln 1

x dx x









2. Calculer à l’aide d’un changement de variable : ₂

0

ln 1

x dx x









Exercice 3

On note pour tout 𝑛𝜖ℕ,

𝐼_𝑛= ∫ 𝑡^𝑛𝑒^−𝑡𝑑𝑡

+∞

0

1. Montrer, pour tout ℕ , l’existence de 𝐼_𝑛

2. Etablir, pour tout 𝑛𝜖ℕ^∗, une relation de récurrence entre 𝐼_𝑛 et 𝐼_𝑛−1 3. En déduire une expression explicite de 𝐼_𝑛 en fonction de 𝑛

Exercice 4 :

Soit α et β deux réels tels que α < β,

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction 𝑥 ⟼ ¹

√(𝛽−𝑥)(𝑥−𝛼) de variable 𝑥 ∈ ℝ 2. Montrer en utilisant le théorème de comparaison la convergence de l’intégrale :

∫ 1

√(𝛽 − 𝑥)(𝑥 − 𝛼)

𝛽 𝛼

𝑑𝑥

3. Former un changement de variable affine 𝜑 ∶ ]−1,1[ ⟶ ]𝛼, 𝛽[

4. Calculer à l’aide de ce changement de variable :

∫ 1

√(𝛽 − 𝑥)(𝑥 − 𝛼)

𝛽 𝛼

𝑑𝑥

Exercice 5

1. Monter que tout entier naturel non nul n,





x

x est intégrable sur





2. Calculer pour tout entier naturel n,





0 1

n n

I dx

x



 



