Devoir d’entraînement 3 Intégrales généralisées

Université Paris VI LM260 - Séries et intégrales

Année 2012-2013 23 oct. 2012

Devoir d’entraînement 3 Intégrales généralisées

Exercice 1

Soient(a, b)∈ R² etf_a,b : x�−→ _xaln^1b(x).

1) Justifier que pour tous (a, b)∈ R²,f_a,best intégrable sur tout intervalle fermé [2, c], avecc >2.

(On dit quef_a,b est localement intégrable sur[2,+∞[.)

2) On supposea >1etb∈ R.Montrer que l’intégrale généralisée�+∞

2 f_a,b(x)dxconverge.

3) On supposea <1etb∈ R. Montrer que l’intégrale généralisée �_+∞

2 f_a,b(x)dx diverge.

4) On supposea= 1 etb∈ R. Montrer que pour tout y >2,

� _y

2

1

xln^bxdx=

� _lny

ln2

1 t^bdt.

En déduire, selon les valeurs de b, la nature de l’intégrale généralisée�+∞ 2

1 xln^bxdx.

Exercice 2

Étudier, selon les valeurs du réel a, la nature de l’intégrale généralisée �^π₂

0 (tanx)^adx.

Exercice 3 Exercice 4

On souhaite calculer l’intégrale généralisée I =

� _+∞

0

arctan(x) x³² dx.

1) Montrer que cette intégrale généralisée converge.

2) Montrer que l’intégrale généralisée�_+∞

0 dx

x²+√

2x+1 est convergente et que celle-ci vaut ^π√₄². 3) Décomposer en éléments simples sur R la fraction rationnelle _1+x¹4 et montrer que�+∞

0 dx

1+x⁴ = ^π

2√ 2. (Pour cela, on admettra que�_+∞

0 dx

x²−√

2x+1 = ^3π₄^√2.) 4) Montrer queI = 2�+∞

0 √ dx

x(1+x²) et en déduire sa valeur.

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