Programme d’électricité Filière SMIA (S2)

(1)

Programme d’électricité Filière SMIA (S2)

Ch.0: Outils mathématiques pour l’électrostatique

1 ère partie: Électrostatique du vide

Ch.1: Charges électriques et forces électrostatiques

Ch.2: Champ électrostatique (Calcul direct & Théorème de Gauss) Ch.3: Potentiel & Energie électrostatique

Ch.4: Conducteurs en équilibre électrostatique

2 ^ème partie : Électrocinétique

Ch.1: Courant électrique et Loi d’Ohm Ch.2: Générateurs et récepteurs

Ch.3: Réseaux linéaires en régime permanent.

Prof. Boubker FARES/Module Physique –Electricité 1/SMIA- 2020

(2)

Prof. Boubker FARES/Module Physique –Electricité 1/SMIA - 2020

(3)

Intégrales Scalaires

1. Intégrale simple

A

B

x

→ Soit y = f(x) définie et y

continue sur [a,b]

Si n →  ,  → x

i

0 ➔ S(a,b) est l’intégrale définie de f(x) entre les bornes a et b .

et

n

i i

i 1

f(x ) x

=

   admet une limite:

→ =

=

_n



ⁿ ⁱ

 

ⁱ

=  

1

b i a

a ve S(a,b )

S(a,b) li m f ( x ) x c f(x ) d x

(a = x ₁ , b = x _n )

→ Aire S

_i

= f(x )

_i

  x

_i

x _i = x _i+1 − x _i

A

B

x y

a b

On veut calculer l'aire aABb [a,b] divisé en n intervalles

x _i infiniment petits:

S _i

x _i x _i+1 f(x _i )

(4)

2. Intégrale curviligne (sur une courbe)

Soit f(M) fonction de point à valeur scalaire définie sur (C) :

A B

(C)

i i

M  (C) → f(M ) _M

i+1

M

_i

dl

i

→ Si (C) découpée en n éléments  = l

_i

MM

_i _{i 1}₊

,

alors la somme admet une limite si n →  :

=



ⁿ ⁱ

 

ⁱ

i 1

f(M ) l

→ =

  



ⁿ ⁱ ⁱ



AB n i 1

lim f(M ) l = f(M) dl

c’est l’intégrale curviligne de la fonction f(M) le long de l’arc de la courbe (C). AB

=  

AB

dl = longueur d

f(M ) 1 e l 'ar c AB



(5)

(S)

x y

i i i i

M  (S) → f(M ) = f(x , y ) 3. Intégrale double (de surface) Soit (S) est une surface plane

S

_i

M

_i

→ (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface S _i

→ =

  



ⁿ ⁱ ⁱ



S

n i 1

lim f(M ) S = f(M) dS Alors :

c’est l’intégrale double de la fonction f(M) sur la surface (S).

S

dS surface

tot

f(M) = 1   = ale de (S).



S

f(M) dS

S

f(x,y) dx

S dx d y  = d y

 =      

 Surface plane en coordonnées cartésiennes :

dx dy

(6)

4. Intégrale triple (de volume)

On découpe (V) en n éléments infiniment petits, centrés en M _i , de volume v _i .

n

i i V

n i 1

lim f(M ) v f(M) dv

→ =

  

 ⁼ 

Alors :

c’est l’intégrale triple de la fonction f(M) sur le volume (V).

V

dv volu

me to

f( M ) = 1   = tal de (V).



V

f(M) d

V

v d x dy dz v f(x,y,z) dx dy dz

 =      =    

 En coordonnées cartésiennes:

→ (V) volume défini dans l’espace

i i i i i

M  (V) → f(M ) = f(x , y ,z )

(V)

v _i M _i

(7)

Champ scalaire / Champ vectoriel

● Un champ scalaire est une fonction de plusieurs variables reliée à une propriété à laquelle on peut

associer une valeur unique en chaque point de l'espace Exemples : champ de température , champ de pression

● Un champ vectoriel est une fonction de

plusieurs variables reliée à une propriété à laquelle on peut associer un vecteur unique en chaque

point de l'espace.

Exemples : champ des vitesses dans un liquide en mouvement, champs électriques et magnétiques...

Représentation graphique 2D d'un champ vectoriel

Champ de scalaire et champ de vecteurs

● Un champ uniforme (scalaire/vecteur):

→ Champ scalaire: f (M) = cste

→ Champ de vecteurs : (module, direction et sens)

● Un champ invariant (scalaire/vecteur): Indépendant du temps.

V(M) = Cste

→ Surfaces de niveau: lieu des points M tels que

f(x,y,z) = C

^te

(8)

→ Ligne de champ : courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ.

Ligne de champ / Tube de champ

→ Tube de champ : ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.

(9)

Lignes équipotentielles

Surfaces équipotentielles

(10)

Opérateurs différentiateurs

(11)

1. Opérateurs scalaire

Différentielle de f(x,y,z):

Opérateurs différentiateurs

- caractérise une variation d'une grandeur physiqu e

( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) f x y z f x y z f x y z

grad f i j k

x y z

  

= + +

  

. ( . )

f f f

df dx dy dz grad f dl coord cartésiennes

x y z

  

= + + = →

  

Où dl = dx i + dy j + dz k vecteur déplacement élémentaire : . . .

( ) , 0 .

Si → f M = Cste df = = grad f dl  grad f ⊥ dl

Le gradient est perpendiculaire aux surfaces de valeurs constantes du champ scalaire (surfaces équipotentielles).

Laplacien de f(x,y,z): est un opérateur d’ordre deux, il mesure les irrégularités dans les valeurs d'une fonction.

² ² ²

2 2 2

.

f f f

f f

x y z

  

 = + + =  

  

(12)

Opérateurs différentiateurs

2. Opérateurs vectoriels

( ) ^F

^z

^F

^y

^F

^x

^F

^z

^F

^y

^F

^x

rot F F i j k

y z z x x y

 

         

=   =    −    +    −    +    −   

(13)

2. Opérateurs vectoriels

Opérateurs différentiateurs

( ) ^. ^F

^x

^F

^y

^F

^z

div F F

x y z

  

=  = + +

  

(14)

Intégrales vectorielles

1. Circulation d’un vecteur

=  =  

C C

C dC A(M) dl



→ dC = A(M) dl  = circulation élémentaire

M (C)

A(M) dl

→ le point d’application de décrit la courbe (C). A(M)

● Si (c) est fermée → = 

C

C A(M).dl

● Si est à circulation conservative =  =

C

C A(M).dl 0 A(M)

(15)

 Si est un champ de gradient ( ), la circulation du gradient d'un point A à un point B est égale à la variation du champ entre A et B:

= 

A^B

 = 

A^B

=

^B

−

A

C grad U d l dU U U

B M

grad U A dl

A(M) _A ₌ _gradf

: Indépendant du chemin suivi.

Propriétés de la circulation

Intégrales vectorielles

Exemple :

Champ électrostatique :

= = −

A E gradV

 Si A ⊥ dl  A.dl =  0 dC = 0

 Si tangent à dl ^A(M)  A.dl = A.dl  dC = A.dl

(16)

2. Flux d’un champ de vecteurs

Intégrales vectorielles

a. Orientation de surface

(S) dS

n

▪ Surface ouverte (S) :

Orienter (S) = choisir un sens  à la normale :

→ règle du " tire-bouchon "

n

→ vecteur-surface: dS =  n dS vecteur unitaire normal à dS.

n

▪ Surface fermée : orientée de l'intérieur vers l'extérieur.

(V)

dS

n

(17)

2. Flux d’un champ de vecteurs

Intégrales vectorielles

b. Définition du flux

Prof. Boubker FARES/Module Physique –Electricité 1/SMIA - 2020 AS

0 A(M) dS

 =  ⊥



 Si : est à flux conservatif (flux entrant = flux sortant)

( )

. 0

S fermée

A ds =

 ^A

→

_A

= flux élémentaire

S

d  = A(M) dS 



^A

= 

S

 = 

S



S

A(M) dS A.dS.cos



→ (S) surface orientée quelconque.

(18)

3. Théorèmes intégraux

Intégrales vectorielles

a. Théorème de Stockes / Champ conservatif

→ (C) courbe fermée orientée.

(C)

→ (S) surface quelconque s'appuyant sur (C).

dS (S) n

(C)

A(M) dl  =

(S)

rot A(M) dS 

  ^M _dl ^A(M)

Champ à circulation conservative :

= 

(C)

 = 

C A(M) dl 0 (C) fermée

alors: ^→ rot A = 0

→ Si A = grad U  rot A = 0

un champ de gradient est un champ à

circulation conservative

(19)

Intégrales vectorielles

b. Théorème de Green-Ostrogradsky

S surface fermée quelconque entourant un volume V .

AS S V

A ds div A dv

 =   =  

champ de vecteurs.

A(M)

→ Champ à flux conservatif: 

^AS

= 

S

 = A ds 0

alors: → div A = 0

→ le flux est le même à travers toute section d'un

tube de champ.

(20)

Programme d’électricité Filière SMIA (S2)

Programme d’électricité Filière SMIA (S2)

Ch.0: Outils mathématiques pour l’électrostatique

1 ère partie: Électrostatique du vide

Ch.1: Charges électriques et forces électrostatiques

Ch.2: Champ électrostatique (Calcul direct & Théorème de Gauss) Ch.3: Potentiel & Energie électrostatique

Ch.4: Conducteurs en équilibre électrostatique

2 ème partie : Électrocinétique

Ch.1: Courant électrique et Loi d’Ohm Ch.2: Générateurs et récepteurs

Ch.3: Réseaux linéaires en régime permanent.

Intégrales Scalaires

1. Intégrale simple

A

B

x

→ Soit y = f(x) définie et y

continue sur [a,b]

Si n →  ,  → x

0

➔ S(a,b) est l’intégrale définie de f(x) entre les bornes a et b .

et

f(x ) x

   admet une limite:

=



 

=  

a ve S(a,b )

S(a,b) li m f ( x ) x c f(x ) d x

(a = x 1 , b = x n )

→ Aire S

= f(x )

  x

x i = x i+1 − x i

A

B

x y

a b

On veut calculer l'aire aABb [a,b] divisé en n intervalles

x i infiniment petits:

S i

x i x i+1 f(x i )

2. Intégrale curviligne (sur une courbe)

Soit f(M) fonction de point à valeur scalaire définie sur (C) :

A B

(C)

M  (C) → f(M ) M

M

dl

→ Si (C) découpée en n éléments  = l

MM

,

alors la somme admet une limite si n →  :



 

f(M ) l

  





lim f(M ) l = f(M) dl

c’est l’intégrale curviligne de la fonction f(M) le long de l’arc de la courbe (C). AB

=  

dl = longueur d

f(M ) 1 e l 'ar c AB



(S)

x y

M  (S) → f(M ) = f(x , y ) 3. Intégrale double (de surface) Soit (S) est une surface plane

S

M

→ (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface S i

  





lim f(M ) S = f(M) dS Alors :

c’est l’intégrale double de la fonction f(M) sur la surface (S).

dS surface

tot

f(M) = 1   = ale de (S).



2 ^ème partie : Électrocinétique

(a = x ₁ , b = x _n )

x _i = x _i+1 − x _i

x _i infiniment petits:

S _i

x _i x _i+1 f(x _i )

M  (C) → f(M ) _M

→ (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface S _i

On découpe (V) en n éléments infiniment petits, centrés en M _i , de volume v _i .

 ⁼ 

v _i M _i