PHYSIQUE CHIMIE

BCPST 2

PHYSIQUE CHIMIE

EXERCICES

INCONTOURNABLES

I. CÔTE | C. CARLIER | L. LEBRUN | N. SARD | M. DÉCOMBE VASSET

BCPST 2

PHYSIQUE CHIMIE

EXERCICES

INCONTOURNABLES

2 ^e édition

Conception graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations

©Dunod,2018

11ruePaulBert,92240Malakoff www.dunod.com ISBN978-2-10ȬŖŝŝşśŝȬŚ

Sommaire

Partie 1 : Thermodynamique

1 Travail des forces pressantes 7

2 Description des syst` emes ferm´ es de composition constante 21 3 Description des syst` emes ferm´ es de composition variable 37

4 Changement d’´ etat d’un corps pur 57

5 Changement d’´ etat d’un m´ elange 71

6 Grandeurs standard de r´ eaction et variance 87 7 Les principes appliqu´ es ` a la r´ eaction chimique 97

8 D´ eplacement d’´ equilibre 111

9 Complexation 121

10 Pr´ ecipitation 141

11 Oxydor´ eduction 162

12 Diagrammes potentiel-pH 178

Partie 2 : Ph´ enom` enes de transport

13 Conduction ´ electrique 197

14 Conduction thermique 208

15 Diffusion de particules 229

16 Transport de masse et d’´ energie par convection 243

Partie 3 : Signal et rayonnement

17 Oscillateurs libres amortis 259

18 R´ egime sinuso¨ıdal forc´ e 272

19 Analyse de signaux 293

Partie 4 : M´ ecanique des fluides

20 Statique des fluides 309

21 Introduction ` a la dynamique des fluides 322

22 Dynamique des fluides parfaits 330

23 Dynamique des fluides r´ eels 34

©Dunod.Toutereproductionnonautoriséeestundélit.

Partie 5 : M´ ecanique

24 Conditions d’´ equilibre d’un solide 36 25 Forces conservatives. ´ Energie potentielle 38

Partie 6 : Chimie organique

26 R´ eactions d’addition-´ elimination 39 27 Cr´ eation de liaisons C-C et C=C par substitution ou addition

nucl´ eophiles 41

28 Chimie radicalaire 44

Avant-propos

Cet ouvrage est destin´e aux ´etudiants de BCPST2 et a pour but de les aider `a pr´eparer

`

a la fois les ´ecrits et les oraux des nouveaux concours BCPST.

Les exercices (dont le niveau de difficult´e est rep´er´e par une `a plusieurs ´etoiles) s’ins- pirent de sujets de concours r´ecents mais la plupart ont ´et´e adapt´es pour s’inscrire dans l’esprit du nouveau programme de BCPST2. Les exercices sont progressifs et permettent aux ´etudiants de v´erifier qu’ils maˆıtrisent compl`etement chaque chapitre.

Nous avons choisi de r´epartir les chapitres selon l’ordre du programme officiel. Les tableaux donn´es en d´ebut de chapitre donnent des capacit´es exigibles du programme ainsi que d’autres capacit´es que nous avons jug´ees utiles pour aborder sereinement toutes les notions n´ecessaires `a la r´eussite des ´ecrits et oraux des concours.

Certains exercices demandent des connaissances du programme de premi`ere ann´ee, que les ´etudiants doivent maˆıtriser. Au sein d’une mˆeme partie, les chapitres sont organis´es de telle sorte que les m´ethodes d´evelopp´ees dans un chapitre doivent ˆetre assimil´ees avant d’aborder le suivant.

Nous proposons parfois des applications num´eriques tr`es d´etaill´ees puisque, dans cer- tains sujets de concours, la calculatrice est interdite : il est ainsi conseill´e aux ´etudiants de s’entraˆıner le plus possible au calcul de tˆete et `a la v´erification des formules par analyse dimensionnelle.

Dans les chapitres sur les transports, les termes!permanents"et!stationnaires"sont confondus (car ils conduisent `a la mˆeme r´esolution math´ematique).

Nous tenons `a remercier Anne Vidal pour sa relecture avis´ee.

Pour bien utiliser cet ouvrage :

: Signale une proposition de r´edaction.

: Met en avant un pi`ege ou une erreur `a ´eviter.

Point m´ethode: Met en avant une m´ethode qu’il convient de maˆıtriser.

Remarque: Donne des pr´ecisions suppl´ementaires.

Explication: D´etaille un d´eveloppement qui peut se r´ev´eler d´elicat.

Rappel: Donne des notions vues en cours.

Point math´ematique: D´etaille des r´esolutions math´ematiques qui ne sont pas indispensables dans la r´edaction.

Bon travail, bon courage et bonne chance pour les concours ! Les Auteurs

!La chance ne sourit qu’aux esprits bien pr´epar´es". Louis Pasteur

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Partie 1

Thermodynamique

1

CHAPITRE

Travail des forces pressantes

Capacit´es `a acqu´erir Exercices

Etablir un bilan de forces exerc´´ ees sur la paroi d’un piston mobile.

Interpr´eter la condition d’´equilibre m´ecanique. 1.1

Calculer le travail par d´ecoupage en travaux ´el´ementaires et sommation sur un che-

min donn´e (monobare, isobare, isotherme d’un gaz parfait). 1.1, 1.2, 1.4 et 1.5 Interpr´eter g´eom´etriquement le travail des forces de pression dans un diagramme de

Clapeyron. 1.1, 1.3 et 1.4

Point m´ethode :Pour exprimer le travail lors d’une transformation, si la trans- formation est irr´eversible, on part deδW P_extdV, on regarde comment varie P_ext (nature de la transformation, par exemple monobare, P_ext est constante) puis on int`egre. Si la transformation est r´eversible, le travail ´el´ementaire s’´ecrit : δW P dV, on utilise l’´equation d’´etat pour trouver l’expression de P, on int`egre en ne faisant sortir de l’int´egrale que les grandeurs constantes (nature de la transformation : par exemple, isotherme,T est constante et pourra sortir de l’int´egrale).

On imagine un cylindre aux parois diathermanes (perm´eables `a la chaleur), ferm´e par un piston. Le piston, de masse n´egligeable, peut glisser sans frot- tement entre 2 cales A et B, sa section est S. Dans l’´etat initial, le piston est en A, le cylindre renferme un volume V<sub>A</sub> d’air suppos´e gaz parfait, `a la temp´erature de l’ext´erieurT₀, pressionP₀, (gaz dans l’´etat 0 : P₀,V_A, T₀).

On place une masse m sur le piston et on chauffe tr`es doucement le gaz par un moyen appropri´e, non repr´esent´e sur le sch´ema, jusqu’`a ce que le piston d´ecolle juste de la caleA (gaz dans l’´etat 1 :P₁,V_A, T₁). Puis, on maintient le chauffage jusqu’`a ce que le piston arrive juste enB (gaz dans l’´etat 2 :P<sub>2</sub>, V<sub>B</sub>,T<sub>2</sub>), le chauffage est alors arrˆet´e. On ˆotemet on laisse refroidir l’ensemble jusqu’`a ce que le piston d´ecolle juste deB (gaz dans l’´etat 3 :P₃,V_B,T₃). On

Exercice 1.1 : Masse, piston et gaz parfait (ENSTIM) **

7

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Partie 1Thermodynamique

laisse toujours refroidir jusqu’`a la temp´eratureT₀, alors, le piston revient en A (gaz dans l’´etat 0), le cycle est termin´e.

Donn´ees:V_B1,0 L,V_A330 mL,T₀300 K,P₀1,0 bar,m10 kg, S 100 cm²,g10 N.kg¹, R8,3 J.K¹.mol¹.

1. Quelle est la caract´eristique commune `a toutes les transformations ? 2. Quelle est la nature de la transformation de 0 `a 1 subie par le gaz ? 3. Exprimer la pression P₁ et la temp´erature T₁ en fonction de P₀, T₀,m, g, S. Faire l’application num´erique.

4. Quelle est la nature de la transformation 1 `a 2 subie par le gaz ?

5. Exprimer la temp´erature T₂ en fonction deT₁,V_A,V_B. Faire l’application num´erique.

6. Exprimer le travailW₁²re¸cu par le gaz au cours de cette transformation en fonction deP₁,V_B et V_A.

7. Quelles sont les natures des transformations 2 `a 3 et 3 `a 0 subies par le gaz ?

8. Exprimer les travauxW₂³et W₃⁰ en fonction deP₀,V_B etV_A.

9. Exprimer le travailW ´echang´e par le syst`eme avec l’ext´erieur, au cours du cycle, en fonction de m, g, V_A, V_B, S. Faire l’application num´erique. Com- menter le signe.

10. Tracer l’allure du diagramme de Clapeyron d’un cycle.

11. Retrouver, d’apr`es le diagramme, le travailW calcul´e pr´ec´edemment.

1. Le piston se d´eplace sans frottement, les transformations se font lentement.

On peut donc supposer qu’elles sont toutes r´eversibles.

2. La transformation 0 `a 1 subie par le gaz est isochore r´eversible.

La transformation n’est pas monobare : la pression ext´erieure n’est pas constante : lorsque le piston est en contact avec les cales, la r´eaction de celles-ci joue dans la pression ext´erieure puis lorsque le piston d´ecolle, la r´eaction n’entre plus dans le bilan des forces s’exer¸cant sur le piston : la pression ext´erieure est alors diff´erente.

3. Dans le r´ef´erentiel d’´etude suppos´e galil´een, on traduit l’´equilibre du piston dans l’´etat 1, ° ÝÝÑF_ext ÝÑ0, ce piston ´etant soumis `a son poids et aux forces pressantes dues `a l’air enferm´e dans le cylindre et `a l’atmosph`ere. Lorsque l’on projette sur l’axe vertical ascendant, on a :

P₁SmgP₀S0.

On obtient ainsi : P₁P0

mg

S 1,010⁵ 1010

10010⁴ 1,110⁵Pa Utilisons la loi des gaz parfaits dans l’´etat 0 et dans l’´etat 1 :

P₀V_AnRT₀ et P₁V_AnRT₁

8

Chapitre 1Travail des forces pressantes

En faisant le rapport membre `a membre, nous obtenons :

T₁T₀P₁ P₀ T₀

1 mg

SP₀

300

1 1010

10010⁴1,010⁵

330 K

4. La transformation 1 `a 2 est r´eversible donc `a chaque instant, la pression du gaz vautP₁. La transformation est donc isobare r´eversible. On a ainsiP₂P₁. 5. Appliquons l’´equation d’´etat des gaz parfaits `a l’´etat 2 :P₁V_B nRT₂. On a de plus P₁V_AnRT₁ donc T₂

T₁ V_B

V_A doncT₂T₁V_B V_A T₂330 1

0,330 1000 K

6. La transformation est r´eversible, δW P dV, et isobare, la pression du syst`eme vautP₁ donc :W₁² P₁pV_BV_Aq.

7. La transformation 2 `a 3 est isochore r´eversible. La transformation 3 `a 0 est r´eversible et `a chaque instant, la pression du syst`eme vautP₀donc la transfor- mation 3 `a 0 est isobare.

8.W₂³ 0 Jcar la transformation est isochore. Par analogie avec la question 5 :W₃⁰ P₀pV_AV_Bq.

9. Le travail sur tout le cycle est la somme des travaux des diff´erentes transfor- mations :W W₀¹ W₁² W₂³ W₃⁰.

W P₁pV_BV_Aq P₀pV_AV_Bq pP₁P₀qpV_AV_Bq mg

S pV_AV_Bq W 1010

10010⁴p0,3301,0q 10³ 6,7 J

Le travail est n´egatif : le syst`eme c`ede du travail au milieu ext´erieur, c’est un moteur.

10. Le cycle est constitu´e de deux isochores et de deux isobares : P

V P0

P1

VA VB

1

0 3

2

9

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Partie 1Thermodynamique

11. Le cycle est d´ecrit dans le sens des aiguilles d’une montre, il est donc moteur.

Le travail est l’oppos´e de l’aire du cycle :

W pP₁P₀qpV_BV_Aq pP₁P₀qpV_AV_Bq On retrouve bien la mˆeme expression que pr´ec´edemment.

On consid`ere un dispositif exp´erimental constitu´e d’un cylindre vertical ou- vert dans l’atmosph`ere (la pression atmosph´erique sera suppos´ee constante), aux parois ind´eformables, de section S, dans lequel deux pistons de masse et d’´epaisseur n´egligeables peuvent se d´eplacer librement. Ces deux pistons, not´es π₀ et π₁, d´efinissent deux compartiments ´etanches dans le cylindre. Le pistonπ₀est le piston inf´erieur (voir figure ci-dessous). On utilisera le symbole 0 pour rep´erer les grandeurs relatives au compartiment inf´erieur et le symbole 1 pour rep´erer les grandeurs relatives au compartiment sup´erieur. On appel- lera longueur du compartiment 0 la distance qui s´epare le fond du cylindre du piston π₀, et longueur du compartiment 1 la distance qui s´epare les deux pistons.

On supposera dans toute la suite que les frottements lors du d´eplacement des pistons sont totalement n´egligeables du point de vue ´energ´etique.

Par ailleurs, un syst`eme m´ecanique permet de bloquer ou de d´ebloquer le mou- vement de chacun des pistons sans modifier la g´eom´etrie du syst`eme.

Le compartiment inf´erieur contient du dioxyg`ene assimil´e `a un gaz parfait.

Le compartiment sup´erieur contient du diazote ´egalement assimil´e `a un gaz parfait. Les parois du cylindre et le pistonπ<sub>1</sub>sont perm´eables `a la chaleur. Le pistonπ₀est calorifug´e.

Donn´ees: Section du cylindre : S1,0 cm²; acc´el´eration de la pesanteur : g 10 m.s²; pression atmosph´erique : P_atm 1,010⁵ Pa ; constante des gaz parfaits : R8,3 J.K¹.mol¹.

On bloque le piston π₀. Le pistonπ₁peut se d´eplacer librement. Le dispositif exp´erimental est alors dans l’´etat d’´equilibre not´eA.

Le dioxyg`ene contenu dans le compartiment 0 est caract´eris´e par une pression P₀^A1,010⁵Pa et une temp´eratureT₀^A300 K. La longueur du compar- timent 0 est alors d^A₀ 0,20 m.

Le diazote contenu dans le compartiment 1 est caract´eris´e par une pression

Exercice 1.2 : Transformations coupl´ ees (CCP) **

10

Chapitre 1Travail des forces pressantes

P₁^A1,010⁵Pa et une temp´eratureT₁^A300 K. La longueur du compar- timent 1 est alors d^A₁ 0,15 m.

On place alors le cylindre au contact d’une source (thermostat) `a la temp´erature T<sub>S</sub> 600 K. Chacun des sous-syst`emes, constitu´e par chacun des gaz (rep´er´e comme les compartiments par 0 et 1), atteint un nouvel ´etat d’´equilibre (B).

On note T₀^B, P₀^B et d^B₀ respectivement la temp´erature du dioxyg`ene (gaz 0), la pression du dioxyg`ene et la hauteur du compartiment 0 dans cet ´etat d’´equilibre.

De la mˆeme fa¸conT₁^B,P₁^B etd^B₁ repr´esentent la temp´erature du diazote (gaz 1), la pression du diazote et la hauteur du compartiment 1 dans son nouvel

´etat d’´equilibre.

1. Calculer la quantit´e de mati`eren<sub>0</sub>de dioxyg`ene contenue dans le comparti- ment 0 et la quantit´e de mati`eren₁de diazote contenue dans le compartiment 1.

2. Caract´eriser la transformation subie par le dioxyg`ene. En d´eduireT₀^B,P₀^B et d^B₀.

3. Caract´eriser la transformation subie par le diazote. En d´eduireT₁^B,P₁^B et d^B₁.

4. Calculer la quantit´e d’´energie re¸cue par transfert m´ecanique (travail) par le dioxyg`ene (W_AÑB⁰ ), et par le diazote (W_AÑB¹ ) au cours de la transformation.

1. Le pistonπ₀ est bloqu´e. Les compartiments 0 et 1 sont des syst`emes ferm´es.

D’apr`es la loi des gaz parfaits :

n₀ P₀^AV₀^A

RT₀^A P₀^BV₀^B RT₀^B n₁ P₁^AV₁^A

RT₁^A P₁^BV₁^B RT₁^B

Dans l’´etatA, le compartiment 0 a pour volume : V₀^A d^A₀ S ( V₀^B, le pistonπ₀´etant bloqu´e, le volume du compartiment 0 reste constant autour de la transformation).

Dans l’´etatA, le compartiment 1 a pour volume :V₁^Ad^A₁ S.

En remplac¸ant dans les relations pr´ec´edentes, il vient :

n₀ P₀^Ad^A₀S

RT₀^A 1,010⁵0,201,010⁴

8,3300 8,010⁴mol n₁ P₁^Ad^A₁S

RT₁^A 1,010⁵0,151,010⁴

8,3300 6,010⁴mol 2. PourO₂, dans le compartiment 0, le volume est constant, la transformation est isochore.

V₀^AV₀^B ô d^A₀ S d^B₀ S ô d^A₀ d^B₀

Le syst`eme est au contact d’un thermostat `a la temp´erature T_S et, les pa- rois du cylindre permettant les ´echanges thermiques, `a l’´equilibre en B on a :

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Partie 1Thermodynamique

T₀^B T_S 600 K.

Ainsi d’apr`es la loi des gaz parfaits : P₀^AV₀^A

RT₀^A P₀^BV₀^B

RT₀^B ô P₀^BP₀^AT₀^B T₀^A P₀^B 1,010⁵600

300 2,010⁵Pa

3. Pour N₂, dans le compartiment 1, le piston π₁ est libre de se mou- voir et la pression ext´erieure est ´egale `a la pression atmosph´erique donc P_extP_atm cste. La transformation est monobare. Quand on traduit l’´equilibre m´ecanique dans l’´etatAet dans l’´etatB, nous avons :

P₁^AP₁^B1,010⁵Pa

Le syst`eme est au contact d’un thermostat `a la temp´eratureT_S et, les parois du cylindre et du pistonπ₁permettant les ´echanges thermiques, `a l’´equilibre en B on a :T₁^BT_S600 K.

Enfin d’apr`es la loi des gaz parfaits : P₁^AV₁^A

RT₁^A P₁^BV₁^B

RT₁^B ô P₁^Ad^A₁S

RT₁^A P₁^Bd^B₁S RT₁^B d^B₁ d^A₁T₁^B

T₁^A 0,15600

300 0,30 m 4. Expression du travail lors de la transformationAÑB :

W_AÑB

»_B

A P_extdV

PourO₂dans le compartimentπ₀la transformation est isochore doncV₀cste et ainsidV00 :

W_AÑB⁰ 0 J

Pour N₂, dans le compartimentπ₁, la transformation est monobare donc : P_extP_atm cste

W_AÑB¹

»_B

A

P_extdV₁ P_atm

»_B

A

dV₁ W_AÑB¹ P_atmpV₁^BV₁^Aq W_AÑB¹ P_atmSpd^B₁ d^A₁q

W_AÑB¹ 1,010⁵1,010² p0,300,15q 150 J

12

Chapitre 1Travail des forces pressantes

La circulation du sang dans l’organisme est assur´ee par le cœur, qui joue le rˆole de pompe. Le cycle cardiaque, repr´esent´e dans un diagramme de Watt (P,V) concerne le ventricule gauche du cœur, principale partie active du cœur du point de vue m´ecanique ; ce cycle est repr´esent´e sur le graphe ci-dessous, qui d´ecrit l’´evolution de la pression et du volume du sang circulant dans ce ventricule :

A B C

D

V P

0

V_A V_B 150 cm³; V_CV_D 90 cm³; P_AP₀ P_DP₀10 mmHg ; P_BP₀80 mmHg ;P_CP₀120 mmHg

o`uP₀760 mmHg repr´esente la pression atmosph´erique.

On rappelle que 760 mmHg 1,013 10⁵ Pa. On admettra qu’on peut consid´erer le cycle comme ´etant d´ecrit de mani`ere r´eversible.

1. Pr´eciser, en justifiant rapidement la r´eponse, dans quel sens le cycle est d´ecrit. La pressionP₀joue-t-elle un rˆole dans le raisonnement ?

2. D´eterminer litt´eralement, en fonction deV_A, V_C, P_A, P_B et P_C le travail fourni par le cœur au cours de chaque cycle.

3. D´eterminer num´eriquement le travail fourni par le cœur au cours de chaque cycle.

4. Pour un cœur d´ecrivant 70 cycles par minute, quelle est la puissance fournie par le cœur ?

Exercice 1.3 : Cœur et puissance m´ ecanique (Agro-V´ eto) *

1. Le syst`eme ´etudi´e est le sang dans le cœur, il s’agit d’un syst`eme r´ecepteur, qui rec¸oit du travail afin de pouvoir circuler. Le cœur est une pompe qui permet au sang de circuler. Le cycle est donc r´ecepteur, il est d´ecrit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. La pression atmosph´erique n’a aucun rˆole dans le rˆole jou´e par le cœur car elle n’intervient pas dans le cycle d´ecrit !

2. Comme les transformations sont r´eversibles, le travail rec¸u par le sang est

´

egal `a l’aire du cycle.

Ce raisonnement n’est vrai que si les transformations sont r´eversibles.

Le travail est donc ´egal `a :

W pP_BP_AqpV_AV_Cq 1

2pP_CP_BqpV_AV_Cq

13

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Partie 1Thermodynamique

Explication :L’aire a ´et´e d´ecompos´ee en aire du rectangle et aire du triangle :

A B C

D

V P

0 H

W pV_AV_Cq

pP_BP_Aq 1

2pP_CP_Bq

3. L’´enonc´e donne des pressions diff´erentielles, avec lesquelles on peut exprimer le travail :

W pV_AV_Cq

pP_BP₀P_A P₀q 1

2pP_CP₀P_B P₀q

W p15090q10⁶

p8010q 1

2 p12080q

1,01310⁵

760 0,72 J Bien mettre les pressions en Pa et les volumes en m³ pour avoir un travail en joule.

4. La puissance fournie par le cœur en 1 minute est ´egale `a : P nombre de cycles W

Δt 700,72

60 0,84 W La dur´ee Δt s’exprime en seconde.

Le compresseur `a piston est constitu´e d’un cylindre, muni de deux soupapes S<sub>1</sub>etS<sub>2</sub>, dans lequel coulisse un piston dont la face externe est soumise `a une pression ext´erieure constanteP₀.

A l’´etat initial, le piston est contre le fond du cylindre.`

Dans le compresseur, de l’air d´ecrit une transformation cyclique pouvant se d´ecomposer en plusieurs ´etapes :

Exercice 1.4 : Compresseur ` a piston (ENGEES)*

14

Chapitre 1Travail des forces pressantes

Phase d’entr´ee ou d’admission:S₁ouverte,S₂ferm´ee. Du gaz est inject´e dans le cylindre `a la pressionP<sub>1</sub>et `a la temp´eratureT₁constantes jusqu’au volumeV₁ du cylindre (´etatA) ;

Phase de compression : S₁ ferm´ee, S₂ ferm´ee. Le gaz admis est alors comprim´e, de mani`ere infiniment lente, `a la pressionP₂et `a la temp´erature T₂jusqu’au volume V₂ du cylindre (´etatB) ;

Phase de refoulement ou de sortie : S₁ ferm´ee, S₂ ouverte. Le gaz, `a la pressionP<sub>2</sub> et `a la temp´eratureT₂ , s’´echappe, le piston revient dans sa position initiale.

Phase de commutation : S₁ ouverte, S₂ ferm´ee. On revient dans l’´etat initial (entr´ee du gaz dans le compresseur).

Admission V1

P1

S2

S₁

Compression V2

P2

S2

S₁

Refoulement S2

S₁

1. Repr´esenter le diagramme de Watt donnant la pression P du gaz dans le cylindre en fonction du volume V du cylindre qui lui est offert pour un cycle (aller-retour) du piston.

2. Calculer le travailW₀de la pression ext´erieure.

3. Pour chacune des phases de fonctionnement du compresseur, exprimer le travail re¸cu par le fluide.

On appelle travail de transvasement W_tr, le travail total re¸cu par le gaz lors d’un aller-retour du piston.

4. En utilisant l’int´egration par partie de

»_B

A

dpP Vq, montrer que le travail de transvasement s’´ecrit : W_tr

»_B

A V dP.

5. Quel est le signe de ce travail ? Comment peut-on le d´eterminer graphique- ment ?

1. Les phases d’admission et de refoulement correspondent `a des phases iso- bares.

Remarque :Le diagramme de Clapeyron donne la pression du fluide en fonction du volume du fluide pour un syst`eme ferm´e (de masse constante). Ici, dans le cylindre, la masse de fluide varie : le syst`eme est ouvert et on raisonne alors avec le diagramme de Watt.

Le gaz n’a pas effectu´e un cycle contrairement au piston qui a effectu´e un aller-retour.

15

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Partie 1Thermodynamique

P₁ P₂

V₂ V1

P

V Wtr

A B

0

2. Le travail de la pression ext´erieure est nul sur un aller-retour du piston : W₀ P₀pV₁0q P₀pV₂V₁q P₀p0V₂q

W₀0 J

3. Pour la phase d’admission, la pression du gaz reste constante et vaut P₁. L’expression du travail rec¸u par le gaz est :

W_adm P₁pV₁0q P₁V₁

Pour la phase de compression, la transformation est r´eversible, la pression du gaz varie `a chaque instant et on aP_extP.

L’expression du travail rec¸u par le gaz est :

W_comp

»_V2

V₁

P dV

Remarque :Lors de la phase de compression, le syst`eme est ferm´e.

Pour la phase de refoulement, la pression du gaz reste constante et vaut P₂. L’expression du travail rec¸u par le gaz est :

W_ref P₂p0V₂q P₂V₂ 4. Calculons le travail totalW_tr rec¸u par le gaz :

W_trW_adm W_comp W_ref W_tr P₁V₁

»_B

A

P dV P₂V₂

Notons que P₂V₂P₁V₁

»_B

A dpP Vq, ainsi l’expression pr´ec´edente du travail de transvasement devient :

W_tr

»_B

A dpP Vq

»_B

A P dV On utilise l’int´egration par parties suivante :

»_B

A dpP Vq

»_B

A V dP

»_B

A P dV

16

Chapitre 1Travail des forces pressantes

Le travail de transvasement a alors pour expression :

W_tr

»_B

A

V dP

5. Ce travail est positif puisqu’on somme des aires positives (dP ¡ 0), il est donc rec¸u par le gaz.

Graphiquement il correspond `a l’aire du cycle du piston dans le diagramme de Watt (voir diagramme dans la question 1).

Le sch´ema suivant repr´esente, en coupe, un r´eservoirR, un cylindreC (leurs parois sont diathermanes, c’est-`a-dire perm´eables `a la chaleur) et un pistonP dont la course est limit´ee par le fond Aet la caleB.

Extérieur P0 , T0

B

P

A Robinet

Réservoir R Volume V0

S1

S2

Tige

Cylindre C

Quand le piston est enB, le volume du cylindre est V_B.

Le syst`eme est, de plus, muni de deux soupapes :S<sub>1</sub>permettant le passage du gaz uniquement de C vers l’ext´erieur,S<sub>2</sub> uniquement deR versC, et ce, d`es queS₁ est ferm´ee.

Le cylindre est reli´e, par un tube de volume n´egligeable devant les autres vo- lumes du syst`eme, au r´eservoirRde volumeV<sub>0</sub>, tr`es sup´erieur `aV_B, contenant de l’air, suppos´e gaz parfait, dans lequel on souhaite « faire le vide ».

Dans l’´etat initial, le piston est en B, le cylindre et le r´eservoir contiennent de l’air `a la pression atmosph´eriqueP<sub>0</sub> et `a la temp´eratureT₀. On pousse le piston jusqu’en A exactement contre le fond (on consid`ere qu’ici V<sub>A</sub> 0) et on le ram`ene enB assez lentement pour que la temp´erature resteT₀.

1. Expliquer les diff´erents transferts de gaz au cours de cet aller-retour. Mon- trer que la pressionP₁ dansRquand le piston revient enB est :

P₁P₀ V₀ V₀ V_B.

2. Exprimer le travail n´ecessaire pour cet aller-retour en distinguant le travail

`

a l’aller et le travail au retour.

Exercice 1.5 : Pompe ` a vide (ENSTIM)***

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Partie 1Thermodynamique

3. Si les transferts de gaz s’effectuent encore de la mˆeme fa¸con, exprimer litt´eralement la pressionP₂apr`es un deuxi`eme aller-retour du piston.

4. Exprimer le travail n´ecessaire pour effectuer ce deuxi`eme aller-retour.

5. Donner, dans ce cas, la forme g´en´erale de P_n apr`es le n-i`eme aller-retour.

Quelle est la limite deP_n quandnÑ 8?

6. Quel est, en supposant disposer d’une pompe id´eale (V_A 0), le travail th´eorique minimum n´ecessaire pour faire le vide parfait dans R?

On donne

¸8 n0

V₀ V₀ V_B

_n

1 V₀ V_B.

7. En r´ealit´e, quand le piston est en A, le volume V_A entre le piston et le fond n’est pas nul. La limite th´eorique pr´ec´edente ne peut pas ˆetre atteinte.

Pourquoi ? D´eterminer la v´eritable limite th´eorique de cette pompe `a vide.

Pourquoi appelle-t-onV_A le!volume nuisible"?

1. Lorsqu’on pousse le piston jusqu’en A, la totalit´e de l’air pr´esent dans le cylindreC s’´echappe par la soupapeS₁.

Quand on ram`ene le piston en B, une partie du gaz du r´eservoir va dans le cylindre grˆace `a la soupapeS₂.

On peut consid´erer alors que le gaz contenu dans l’ensemble {cylindre + r´eservoir} constitue un syst`eme ferm´e. Ce gaz est alors soumis `a une d´etente isotherme (T₀) r´eversible passant de la pression P₀ `a la pression P<sub>1</sub> dans un volume V<sub>0</sub> `a un volumeV₀ V_B. On peut donc ´ecrire :

P₀V₀P₁pV₀ V_Bq P₁ P₀V₀

V₀ V_B

2. `A l’aller, la transformation est irr´eversible car de l’air s’´echappe parS₁. Le travail ´el´ementaire s’exprime alors par la relation :δW_aller P_extdV avec P_extP₀.

SoitW_aller P₀p0V_Bq P₀V_B.

Au retour, la transformation est isotherme r´eversible dans le syst`eme ferm´e {cylindre + r´eservoir}. Le gaz passe de la pression P<sub>0</sub> `a la pression P₁ et la quantit´e de mati`ere de gaz dans le syst`eme ferm´e reste constante et vaut P₀V₀

RT₀. Le travail ´el´ementaire rec¸u par le gaz s’´ecrit :

δW_retour P dV δW_retour P₀V₀

RT₀ RT₀ V dV En int´egrant l’expression on trouve :

W_retour P₀V₀

»_{V0 VB}

V₀

dV

V P₀V₀ln

V₀ V_B V₀

Le travail de l’aller-retour a pour expression :

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Chapitre 1Travail des forces pressantes

Waller-retourW_aller W_retour Waller-retourP₀

V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

3. Si les transferts de gaz s’effectuent de la mˆeme fac¸on que pr´ec´edemment, on raisonne de la mˆeme mani`ere qu’`a la question 1. En consid´erant le syst`eme ferm´e{cylindre + r´eservoir} :

P₂ P₁V₀

V₀ V_B soit : P₂P₀ V₀

V₀ V_B 2

4. Par un raisonnement analogue `a la question 2., on trouve :

W_allerP₁V_B et W_retour P₁V₀

»_{V0 VB}

V₀

dV

V P₁V₀ln

V₀ V_B V₀

W₂ealler-retourP₁

V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

W₂ealler-retourP₀ V₀

V₀ V_B V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

5. Par r´ecurrence de l’expression trouv´ee au 3. on peut ´ecrire :

P_nP₀ V₀

V₀ V_{B n}

CommeV₀ V₀ V_B, lorsquenÑ 8on a lim

nÑ8P_n0: la pression `a l’int´erieur du r´eservoir tend vers0(on vide enti`erement le contenu du r´eservoir).

6. En s’appuyant sur le r´esultat trouv´e aux questions 2. et 4., lorsque le r´eservoir sera enti`erement vid´e, le travail rec¸u par le gaz aura donc pour expression :

W_total ¸⁸

n0

P_n

V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

W_total

V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

¸₈

n0

P_n

Or ¸8

n0

P_nP₀

¸8 n0

V₀ V₀ V_B

_n P₀

1 V₀

V_B

Ce qui conduit `a :

W_totalP₀

1 V₀

V_B V_BV₀ln

V₀ V_B V₀

7. Lorsque le piston est enA, il reste toujours n P₀V_A

RT₀ mol de gaz dans le cylindre.

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