HAL Id: jpa-00249712
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Submitted on 1 Jan 1997
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Étude et modélisation des mécanismes complexes en conception assistée par ordinateur
K. Satori, B. El Kihel
To cite this version:
K. Satori, B. El Kihel. Étude et modélisation des mécanismes complexes en conception assistée par ordinateur. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (11), pp.2211-2223. �10.1051/jp3:1997253�.
�jpa-00249712�
J. Phys. III FYance 7 (1997) 2211-2223 NOVEMBER1997. PAGE 2211
#tude et mod41isation des m4canismes complexes en conception
assist4e par ordinateur
K. Satori (~'*) et B. El Kihel (~)
(~) Ddpartement de &Iaths et d'Informatique. Facultd des Sciences Dhar &fehraz, BP- 1796 Atlas FAS, Maroc
(~) icole Sup6rieure de Technologie, Laboratoire de Mdcamque et Productique, FAS, Maroc
(Repu le 26 mars 1997, rdvisd le 27 juin 1997, acceptd le 17 juillet 1997)
PACS.68 45.Kg Dynamics: vibration
PACS.68.35.ja Surface and interface dynamics and vibrations
R4sumd. La conception des systAmes mdcamques devient trAs automatisde dans 1e cadre de la Conception Mdcanique Assistde par Ordinateur (C M A-O ). La moddlisation gdom6trique est efiectude de plus en plus avec l'aide deslogiciels de Dessm Assistd par Ordinateur ID A-O ). La moddlisation des structures et la simiilation num4rique s'efiectuent gdndralement par la Mdthode des (laments Finis (M.E.F.) Le couplage de ces deux techniques permet de donner une image
concrAte et rAa1iste des rAsultats de calcul issus des m6thodes de discr6tisation (concentration
des contraintes, rdpartition des charges, etc. L'application qu'on prdsente concerne une boite de vitesse h arbres para1lA1es, comporte deux dtages de r6ductions (r6ducteur de vitesse) La chaine
cin6matique est constitu6e d'arbres d'engrenages h dentures droites et de pahers h roulements h billes et h rouleaux qm r6ahsent la liaison avec le carter. Le problAme posd dans cette application
consiste h quantifier1e comportement dynamique et vibratoire afin de qualifier la conception du rdducteur.
Abstract. The conception of the mechanical systems becomes very automated
m the setting of the Mechanical Computer Aided Design (M.C A-D-) Actually the geometric modelisation
involves Computer Aided Design (C.A D ). Particularly, the numerical analysis is the origin of Finite Element Methods (F.E.&f.) These two techniques give a real image of calculation results;
this is due to the discretization methods (stress concentration, loads assignation, ..) The aim of this work is to study the gear box with parallel shafts (reducer of speeds), it includes two
steps of reductions The kinematic chain is constituted by shafts, gears with right denture and
bearings (ball and cylindricali. who achieve the link with the box. The mean problem is to
quantify the dynamic and vibratory behaviour m order to qualify the conception of gear box.
1. Introduction
La conception des SystAmes M6caniques devient trAs automatisde dans le cadre de la Conception MAcanique AssistAe par Ordinateur Si, des modAles globaux de comportement des systAmes mAcaniques sont AlaborAs. Il n'en demeure pas moins qu'il taut aussi dAfinir avec prAcision le comportement de chaque AlAnient du systAme AtudiA. Le formidable ddveloppenient des ma- tAriels et des techniques informatiques a rAcemment entrainA une dvolution rapide, il a donnA
(*) Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance
@ Les #ditions de Pliysique 1997
2212 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
naissance h de nouveaux dAveloppements scientifiques et h de
~uvelles
applications mdca- niques. La moddlisation g#omAtrique est effectuAe de plus en plu~ avec l'aide de logiciels de
Dessin AssistA par Ordinateur ID-A-O-). La modAlisation et la simulation numA-
rique s'effectuent gAnAralement par la mAthode des dlAments fini Le couplage de ces deux techniques permet de donner une image concrAte et rdaliste rdsultats de calcul issus des mAthodes de discrdtisation (concentration des contraintes, des charges, etc.).
Une conception du mdcanisme optimale consiste h poser le simultandment en terme de gdomdtrie des carters (dpaisseur, formes, nervures, etc. et en de choix technologiques
de conception (gdomdtrie des engrenages, types et gdomdtrie des h roulement, etc.). Les hypothAses de rigidit# infinie pour un certain nombre de piAces que les arbres, les carters et les pignons ne sont plus acceptables dans un certain nombre de cas pratiques, et ne peuvent plus Atre adoptdes pour l'analyse des problAmes de comportement njdcanique dans les contextes
technologiques actuels.
L'ambition de notre approche a consistd d'une part, h ddvelopperjdes 61dments sp6cifiques de moddlisation, et h fournir d'autre part, des conditions aux limites rialistes
pour une dtude fine d'optimisation des composants de mdcanismes complexes tels que les boites de transmissions de puissance, les boites de vitesses, etc. La totalitd des travaux h dtA effectuAe pour des gdo-
mAtries ddfinies en trois dimensions (3D). Six degrds de libertd son( associds h chaque noeud
trois translations et trois rotations (TX, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz). En (erme d'efforts entre pi@ces
ou torseurs d'efforts intemes, six composantes sont dgalement conliddrdes (Fz, Fy, Fz, Mz, My, Mz).
2. Description d'un m4canisme
D'une maniAre gdndrale, Atudier le comportement dynamique d'un mdcanisme, consiste h r6- soudre le systAme reprdsentd par l'dquation suivante :
[MllXl + felt)llXl + lKlt)llXl
= lilt)I. Ii)
Avec
(F(t)) : le vecteur h l'instant t des efforts sur la structure, de dimeision
n.
jXj : le vecteur de dimension n des d4placements des noeuds de la[structure,
(X) et (I) la vitesse et l'accdldration
[Ml, [C(t)] et [Kit)], les matrices de masse, d'amortissement et de rigjditd de dimensions in x n)
avec n le nombre de degrds de libertAs de mAcanisme.
,
La rdsolution du systAme (i) de n dquations h n inconnues, ne s'eiectue qu'aprAs la prise
en
compte des conditions aux limites sur les d4placements, de faqon h diiminer les singularitds des matrices [M], [C(t)] et [K(t)].
On distingue deux types des conditions aux limites les conditions aux limites externes et les conditions aux limites internes.
2.I. CONDITIONS Aux LIMITES EXTERNES. Elles sent Atablies par des "liaisons au blti" ou liaison au r6fdrentiel fixe Deux cas ont dtd pris en compte et ddveloppds suivant des mdthodes
approprides.
i~~ cas Le noeud est encastrd et aucun d6placement n'est possible par rapport au repAre global d'Atude
2~~~ cas Certains ddplacements d'un noeud, correspondant aux degrds de libertd expri- mds dans le repAre global, sont interdits.
N°11 fITUDE ET MODfILIBATION DES MtCANIBMEB EN CA O. 2213
Domaine £tudi£ :" M£canisme "
Sous-domaine: " Fidces "
Conditions aux limites externes
" Liaisons au bkti "
Conditions aux limites intemes
" Liaisons "
Fig. 1 Pr6sentation des deux types de condition aux limites.
[Show of the two types limit of conditions.]
2.2. CONDITIONS Aux LIMITES INTERNES. Elles sent les r6sultats des relations de d4pen- dances sur les ddplacements entre deux noeuds de sous-domaines diffdrents piAces ou groupes
de piAces). Elles sont localisdes sur les frontiAres des sous-domaines dtudides et assocides h la notion de liaison de mdcanismes [3] (Fig. 1).
2.3. lf#THODE DE cALcuL. Lorsqu'un mAcanisme est compos4 de plusieurs A14ments
connectAs les uns aux autres par des liaisons quelconques (boite de vitesse, boite de trans-
mission, ...), le systAme Ii) h rAsoudre est souvent de taille tr@s importante. Pour rAduire la taille du systAme numdrique, on a utilisd la mdthode des sous-structures [4], car une mdthode de rdsolution it6rative directe Iii, prend un temps considdrable.
3. Application h un r4ducteur de vitesse h deux dtages de r4ductions
3.I. INTRODUCTION. L'application 4tud14e, correspond h une transmission de puissance comportant un rdducteur h deux stages de r6duction. La chaine cin6matique est constitude d'arbres, d'engrenages h denture droite, et de paliers h roulement h billes et h rouleaux, qui
rdalisent la liaison avec le carter. Le problAme posd dans cette application consiste h quantifier le comportement dynamique et vibratoire afin de qualifier la conception du rdducteur (Fig. 2).
3.2. DISCRLTISATION Du MLCANISME. Les deux principaux 414ments constituant le m4ca- nisme sent le carter (carter et les deux flasques) et la chaine cindmatique.
Le carter est discrdtisd avec 340 dldments, dent 272 dldments de plaque (coque mince), c'est
l'dldment triangulaire de membrane h trois noeuds et deux degrds de libertd h chaque noeud
avec l'addition de la rotation autour de l'axe orthogonal au plan de l'dldment [7] de plus, 16 A14ments de poutres trAs rigides mod41isent chaque flasque. Pour diminuer la taille numdrique
du systbme, le carter a 4td trait4 par la m4thode des sous-structures [4]. Le carter et les deux flasques d4sign4s par la suite "ensemble carter" constituent la sous-structure principale de la structure globale "boite", qui est constitu4e 4galement par la chaine cin4matique. Le calcul de la sous-structure carter est effectu4 de faqon h conserver 32 noeuds principaux. 6 noeuds num4rot4s (17, 18, 19, 20, 21 et 22 (Fig. 3a)) servent pour la connexion avec la chaine cin6- matique avec des A14ments raideurs moddlisant les paliers [3], et 26 noeuds correspondants aux
noeuds de base du carter, sent bloqu4s dans le fichier principal pour simuler la'fixation de la boite sur sa base Iii. Les masses assocides h chaque flasque sont considdrdes concentr6es aux
2214 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
z
Carter
Flasque Paiier (Pi)
Paiier (Pz)
~~b~~ d'entrde
Faber (P~) Paiier (P4)
-+
X Palier (q)
Arbre de sort>e Pal;er (P6)
Fig 2 Vue sch6matique du r6ducteur
[Schematic view of the reducer.]
.Noeud~d~b»e
a) b)
Fig 3 Discr6tisation de l'ensemble carter. al Structure du carter b)
ositions
des masses concen-
trdes du flasque.
[Discretization of the box al Structure of the box. b) Positions of the condensed mass of the flask
noeuds reprAsentants le flasque (Fig. 3b). Ces masses sont calculdes, en fonction de la distance par rapport au centre de gravitd du flasque et en fonction des inerties par rapport aux axes du
repAre global Iii.
La chaine cindmatique (Fig. 4) est constitude d'engrenages, paliers et arbres (poutres). Les engrenages sont modAlisds par un dldment de liaison, qui permet de simuler la transmission
du mouvement du pignon h la roue en tenant compte de la gdomdtrie des engrenages et de
la variation de la rigiditd d'engrAnement Iii. Le calcul de la rigiditd d'engrAnement ddpend de
N°11 #TUDE ET MODkLISATION DES MtCANISMES EN C A-O 2215
z f
68,nm 19m'n 80 3mm 70 3mm 39m~n 68mm
4 >ko< 4* £4* >k %J
'
p P2
5
Lmeon
43mn
- it
-j __
_ x
LJaiwn ~(~
'~~~~~'~'~
P6
- 14 17
Fig 4. Vue d6velopp6e du modAle de la chine cin6matique.
[Developed view of the kinematic chain's model.]
Tableau I. Premiires jrdquences propres du carter.
[The first frequencies of the box-j
Frdquence valeur en (Hz) Frdquence valeur en (Hz)
1902 5 3785
2 2716 6 4100
3 3391 7 4809
4 3418 8 5320
plusieurs facteurs conditions d'engrAnement, nombre de dents en contact, position de contact, charge transmise, erreur de profil et ddplacements angulaires des corps de pignon et de la roue,
provoquAs par l'Acrasement des contacts [6].
La rigiditA des paliers est moddlisde par des ressorts en translation qui Atablissent la liaison entre le centre de l'arbre et la bague int4rieure de la structure. Les valeurs des rigiditAs sont
en gAnArale estimAes h partir d'un calcul statique [3].
L'dlAment de poutre choisi pour cette Atude aura une section constante qui tiendra compte des effets de torsion, des effets de flexion, et des effets de traction-compression il tient Agalement
compte des deux effets secondaires de flexion, de l'effet d'inertie de rotation et de l'effet de cisaillement.
3.3. D#TERMINATION DES FR#QUENCES ET MODES PROPRES DU CARTER SEUL. Les 8
premiAres frAquences propres calculdes pour l'ensemble carter (carter et flasques) sont donnAes dons le tableau I. De mAme, la schdmatisation des 4 premiers modes propres du systAme est
fournie par la figure 5.
Le premier mode flexion du carter dons la direction X (direction axiale), est dilessentiel- lement aux conditions aux limites imposAes (encastrement de la base) Il est lib h la prdsence
2216 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
a) Mode i (f
= 1902 Hzl. b) Mode 21(f
= 2716 Hz).
c) Mode 3 if
= 3391 Hz) d) Mode 4'(f
= 3418 Hz).
Fig. 5. Les 4 premiers modes propres du carter.
[The 4 first order natural modes of the box-j
des masses importantes constituAes par les flasques. Ce mode Atre excit6 dAs que les
efforts axiaux sur les arbres existent. Dans le cas 4tud14 de droite, ces forces sont thdoriquement nulles. Par contre pour des dentures hAlicoidales, axiales peuvent Atre
importantes.
Le deuxiAme mode flexion du carter dans la direction Y radiale), peut Atre excitA par des forces radiales. Ces forces radiales, ne sont d'ailleurs pas dans cette boite.
Le troisiAme mode, entraine une ddformation remarquable de la supdrieure du carter dans la direction Z, qui permet un ddplacement des flasques en opjosition de phases.
Pour le quatriAme mode, on observe une dAformation en torsion du carter. Cette dAformation provoque un dAsalignement des arbres de la chaine cinAmatique.
3.4. CALCUL PR#PARATOIRE, FR#QUENCES ET MODES PROPRES DU SYST#ME COMPLET.
Le calcul des premiAres fr6quences et modes propres du systAme global (chaine cindmatique et ensemble carter) donne les valeurs prAsentAes au tableau II. Les conditions imposdes sont la fixation du carter sur sa base et le blocage en rotation du noeud dej sortie ii?) (Fig. 3).
Les rAsultats montrent que les frAquences propres calculdes pour le carter seul n'apparaissent
N°11 tTUDE ET MOD#LIBATION DES MfICANISMES EN C-A-O 2217
Tableau II. Les 20 premiires jrdquences propres du systdme complet.
[The 20 first frequencies of the complete system.]
Frdquence valeur en (Hz) Frdquence valeur en (Hz)
1 234 II 1049
2 655 12 1060
3 760 13 1490
4 780 14 1513
5 800 15 1823
6 878 16 1880
7 916 ii 2219
8 1015 18 2258
9 1026 19 2354
10 1038 20 2486
pas. (videmment, elles se trouvent ici modifides par la liaison avec les autres piAces. Une dtude des ddformdes propres de l'ensemble de systAme permet d'associer la 17~~~ hdquence propre (2219 Hz) h la premiAre hdquence du carter et la 26~~~ frdquence h la deuxiAme frdquence du
carter.
Les premiAres hdquences propres du systAme complet (chaine cindmatique et carter) sont
beaucoup plus faible que les premiAres du carter seul, ce qui prouve que les premiers modes de vibration du systAme, sont les modes de vibration des arbres de la chaine cindmatique, ainsi les deux premiAres h4quences propres correspondent au mode de flexion des arbres dans les directions radiale et tangentielle du plan normal (Fig. 6). Les autres modes correspondent h divers modes de flexion des arbres de la chaine cindmatique.
L'importance de la prise en compte du carter dans cette dtude intervient au niveau d'exci- tation avec des hdquences hautes telles que les frdquences d'engrAnement des deux dtages et leurs multiples (Tfi
= 2850 Hz, Tf2
= 1875 Hz) (paragr. 3.7).
3.5. R#PONSE DU SYST#ME GLOBAL I UNE FORCE EXT#RIEURE (R#GIME FORC#). Le
couplage de la sous-structure carter h la chaine cin4matique, est effectu4 par l'interm4diaire des rigidit4s assoc14es aux paliers, calcu14es en fonction des efforts appliqu4s [3]. La raideur
d'engrAnement variable h 4td introduite dans le modAle [6]. Les conditions aux limites im-
pos4es, correspondent h la fixation de la boite sur sa base Le chargement est un couple de
7,03 x 10~ daNmm appliqu4 h l'entr4e en 4chelon, la sortie Atant bloquAe en rotation. Avec ces conditions aux limites, et en tenant compte de la variation de rigidit4 d'engrAnement, l'excita- tion du systAme par un couple dchelon, permet de tester l'influence des masses des engrenages et des arbres, sur la r4ponse du systAme carter et la chaine cin4matique. Le carter a une rigidit4
trAs importante, sa plus petite frdquence propre est de l'ordre de 1950 Hz. Ainsi les premiAres frdquences de vibration du systAme globale sont dues h la flexion des arbres.
On remarque que la charge dynamique entrdelinter (premier dtage) (Fig. 7) est influencde par le mode radial qui correspond h la hdquence fl (fl
= 234 Hz), de mAme l'apparition de mode tangentiel f2
= 655 Hz) (effet de couplage de ces deux modes sur l'allure de variation de la charge). Ces deux modes correspondent h ceux de la flexion des poutres (Fig. 5).
Pour la variation de la charge dynamique sur la denture inter/sortie (deuxiAme dtage) (Fig, 8), on observe une dominance du mode radial, et quelques pertes de contact dues
2218 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
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b)
Fig. 6. Les premiers modes propres du systAme. a) Mode radial (fl 234 Hz). b) Mode tangentiel
(f2 = 655 Hz)
[The first order natural modes of the complete system a) Radial mode in
= 234 Hz). b) Tangential mode (f2
= 655 Hzi.]
essentiellement h la condition de blocage de sortie en rotation et le faible amortissement du modAle Iv
= 0,7).
Les deux charges dynamiques sun la denture entrAelinter et irtter/sortie tendent vets les
charges statiques avec l'augmentation de l'amortissement et du teilps. Ces charges prAsentent
des amplitudes irrAguliAres h cause de l'effet des masses des arbres it des
engrenages.
L'analyse des FFT nous a permet de remarquer, l'apparition dis hdquences de vibration
du systAme d'ordre trAs dlevd. Ce sont les frdquences d'engrAnemer~t et leurs multiples (Tfi
premier 4tage, Tf2 deuxiAme dtage).
N°11 iTUDE ET MODELISATION DES MECANISMES EN CA O. 2219
0 16 32 48 64 67
TEMPS EN SECONDE
&
El 61
fl 2T<2 3Tj,
~ Ti,
~ T>1
2Ti~ 3Tj~
<
42
0 2 4 6 8 In 12 14 16
b) FREOUENCE EN HZ
Fig 7. Charge dynainique sur la denture entr4e/inter. a) Charge dynamique (entr4elinter), b) FFT charge dynamique (entr4e/inter),
[Dynamic tooth load (input/inter) a) Dynamic load (input/inter) b) Dynamic load (inputlinter) FFT.]
On remarque aussi une dominance de la frAquence d'engrAnement T fi (2850 Hz) et ses mul-
tiples et en mAme temps l'apparition de la h4quence d'engrAnement inter /sortie Tf2 (1875 Hz)
et ses multiples pour la charge dynamique entr4elinter. La mAme chose pour la charge dyna- mique inter /sortie, une dominance de T f2, une pr4sence de T fi et en particulier. la pr4sence
des bandes lat4rale due h la superposition des multiples de la fr4quence d'engrAnement Tf2
hautes et la premiAre fr4quence du systAme Ii faible (234 Hz).
3.6 INFLUENCE DE L'ALLURE DE LA VARIATION DE RIGIDITL D'ENGRkNEMENT. Un test
pour une raideur d'engrAnement extrapo14e h partir de la forme de variation de la raideur d'engrAnement calcu14e par la m4thode des prismes finis [6] (Fig. 9) h 4t4 r4alis4 pour estimer l'influence de la variation de rigidit4 d'engrAnement sur la charge dynamique de la denture d'engrenage. Les corrections des dentures permettent d'agir sur cette pente. D'autre part, il
s'agit ici de quantifier la finesse du modAle de variation de rigidit6 optimum dans une Atude
2220 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
~~E2
Zi
~
~
$Z
I
0 16 32 48 64 67
~) TEMPS EN SECONDE
w
4Tt~
a
j ~
t2
2Tr~
5Tt2 2Tjt
3Tf
0 2 4 6 8 10 12 14 16
b) FREQUENCE EN HZ
Fig. 8. Charge dynamique sur la denture inter/sortie. a) Charge dyriamique inter/sortie. b) FFT
charge dynamique inter/sortie.
[Dynamic tooth load (inter/output) a) Dynainic load (inter/output ).
)~Dynarnic
load (inter/output) FFT.j
globale de ce type.
et inter /sortie
xtrapo14es avec la pente infinie, et avec les deux p(ntes correspondants
rrections de 6 % et 12 % des pas de base ou des pAriodes Ti
vement. ~
Les s
'engrAnement sur la
rAponse au niveau du argement namiqle sur la enture. Ainsi la
diminution de ente diminue la force du choc au
cours de l'engrA(ement, et par crAtes de charge dynamique ximale sur la denture pour les deux
d(ages
de
rdduction.
Un test
avec imination des pignons qui ne rticipent pas h la
transmissioq
du uvement, a
montrA
que cet effet de orrection a plus
d'influencesur la diminution de chargement sur
la denture des deux Atages.
