Modes de vibration des cristaux correspondants à des points de symétrie de la zone de Brillouin

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Modes de vibration des cristaux correspondants à des points de symétrie de la zone de Brillouin

H. Poulet

To cite this version:

H. Poulet. Modes de vibration des cristaux correspondants à des points de symétrie de la zone de

Brillouin. Journal de Physique, 1965, 26 (11), pp.684-688. �10.1051/jphys:019650026011068400�. �jpa-

00206336�

MODES DE VIBRATION DES CRISTAUX

CORRESPONDANTS A DES POINTS DE

SYMÉTRIE

DE LA ZONE DE

BRILLOUIN

Par H.

POULET,

Laboratoire des Recherches Physiques, ^{Sorbonne, Paris.}

Résumé. - On donne une méthode qui permet d’évaluer facilement aux points ^de symétrie ^de

la zone de Brillouin les caractères ^de la représentation ^définie par les mouvements des atomes d’un cristal.

Abstract. 2014 A method is given ^{to determine}

easily,

^{for the} symmetry points ^{of the Brillouin}

zone, the characters of the

representation

^{which are described} by the motions of the atoms in a

crystal

^lattice.

PHYSIQUE 26, 1965,

1. Introduction. ^-

L’interprétation

^des

spectres

de Raman ou

d’absorption infrarouge

^d’ordre

sup6-

rieur des

cristaux,

^{a l’aide des}

regles

de selection

[1]

concernant l’interaction entre le

champ

de rayon- nement et les vibrations des r6seaux sera f acilitee si l’on

dispose

d’une m6thode

qui permet

^{de d6ter-}

miner

syst6matiquement

^a

quelles representations

irr6ductibles _{du groupe}

d’espace

^{du cristal etudie}

correspondent

les divers modes de

vibration, lorsque

1’extrémité du vecteur d’onde k se trouve

en un

point

^de

symetrie

^{de l a zone} de Brillouin.

Ces

points

^de

sym6trie

sont souvent des

points

^cri-

tiques,

^ou la fonction de distribution des

frequences

de vibration tend vers l’infini ou subit une discon- tinuit6.

Nous allons montrer que, par ^une

simple

^exten-

sion aux cristaux de methodes

employés

^{dans les}

cas

mol6culaires,

^on

peut

^atteindre le but vise

lorsque

^les tables de caracteres n6cessaires sont

disponibles.

2.

Representation

^des groupes

d’espace [2].

^-

Soit 9 _{le groupe}

d’espace

^des

operations ^de

^recou-

vrement d’un

cristal, qui peuvent

^{etre mises}

gene-

ralement ^sous la forme

(R,

^{t +}

^,i)

ou .R decrit

une rotation

(propre

^ou

impropre),

^{t une transla-}

tion du reseau

(t

⁼

t1 a1 + t2

a2 +

t3

a3, ai, a2, a3 les vecteurs

primitifs

^du

reseau)

^{et rR une trans-} lation fractionnaire. Soit ^{k un} vecteur d’onde défini dans le reseau

r6ciproque

^{construit sur les trois}

translations

primitives b1, b2, bs,

telles que

aa.b;

⁼

03B4ij.

On

appelle

^{groupe du vecteur d’onde}

Ie groupe {Jk

compose

^de 1’ensemble des

operations (R,

^t

+ rp)

due 8 dont la

partie qui

^{decrit une}

rotation .R laisse k invariant ou le transforme en un vecteur

equivalent,

c’est-a-dire Rk ⁼ k

+ Ka

ou

Ke

⁼ q,

bl

+ q2

b2 +

f 3

b3 (?i,

Q2, q3

entiers)

est un vPPtPur du ^reseau

reciproque.

^{Soit b le}

sous-groupe ^invariant ab6l-len des translations

(E, t)

dont ^lps

representations,

^toutes

unidimensionnelles,

ont pour

expression

exp

(i2-m

^k.

t).

Dans les groupes

symmorphiques (sans

^trans- lations

f ractionnaires)

^on sait que les caract6res des

representations

irr6ductibles de gk :

xJcm>(R, t)

s’expriment

par :

ou

Xm){R)

^{est le caractere de la mfème}

represen-

tation irr6ductible du groupe

ponctuel gk compose

par les

operations (R, 0)

^{de gk. Les} caracteres des

representations ^{de Oj7,}

^{sont connues}

lorsque

^l’on

connait celle de gk.

bans

Ie cas des groupes

poss6dant

^{des trans-}

lations

fractionnaires,

^{on sait}

qu’a

l’int6,rieur de la

zone de Brillouin

(1)

^reste

valable,

^avec

remplac6

par

(R, TR) ;

mais si 1’extr6mit6 de k ^est a la surface de la _zone, on doit

considerer,

^{au lieu} de gk, ^un groupe d’ordre

plus

6lev6 : le groupe facteur

0w J%k,

ou bk ^est un sous-groupe du groupe des ^trana- lations

compose

^des

operations (E, t)

telles que exp

(i27t k. t)

⁼ 1. Les caracteres associ6s a ces

translations dans une

representation quelconque

de gk sont les memes que le caractere associ6 à

l’op6ration

^identite

(E, 0).

^{On n’a} donc besoin que des tables de caracteres

xk ’(R,

^{t +}

TR)

du groupe facteur

Sk 1i3k.

^{Elles sont connues} pour ^un certain nombre de groupes.

Dans les deux _cas, si

Xk(R,

^{t +}

Tx)

^{est le carac-}

t6re de la

representation

r6ductible de gk definie par les vibrations des ^atomes du cristal

pilot6es

par le ^vecteur d’onde

k,

la reduction de la

repre-

sentation en ses

composantes

irr6ductibles sera

donn6e par la formule usuelle :

("I)

^est le nombre de fois ou la

nel-I representation

irreductible

^de gk

apparait

^{dans la}

decomposition, gN

^l’ordre du groupe gk.

(Dans

les groupes sym-

morphiques,

^{g sera l’ordre}

^{de gk}

^et lV l’ordre du groupe ^des

translations.)

^Le

prob]6me

^{b r6soudre}

est le calcul des caracteres

x(R,

^{t + rR).}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019650026011068400

685

3. Mdthode de calcul des caract6res. ^- Pour calculer le caractere associ6 6

l’operation (R,

^t +

rR)

^{de 9,, dans la}

representation

^r6due-

tible d6finie par les oscillations

atomiques pilatecs

par le ^vecteur d’onde

k,

^nous

exprimerons

^{les d6-}

placements

^{des atomes} par leurs coordonn6es cart6- siennes et nous consid6rerons 1’eff et d’une

op6ra-

tion de

sym6trie

^{sur ces}

d6placements,

^tel

qu’il

^est

defini dans les

probl6mes

mol6culaires

[3].

La

position

instantanee d’un atome du cristal

est reperee

^a

partir

^d’une

origine

donn6e par la

somme des trois vecteurs : xl + xi +

u!?&7 qui, qui

donnent

respectivement

^la

position

de la maille _m, la situation a

1’equilibre

^de

I’atome i

^{dans la maille}

et

1’elongation ^u7

^a

partir

^{de la}

position d’6quilibre

Si une

operation

^de

sym6trie (R,

^{t +}

ra)

^trans-

porte

^la

position

moyenne

xF

^{de I’atome}

mj

^{sur ]a}

position

moyenne

xim

^de l’atome

MJ,

^{on a :}

d’ou

On posera par definition :

R est la matrice

(3

^X

3)

associ6e a la rotation R.

En

d6veloppant

En

dynamique cr!staUine,

^les

d6placements atomiques

^sont

développés

^{en series}

trigonom6- triques

^et l’on pose :

ou la somme

porte

^{sur les N vecteurs d’onde}

permis,

. à l’int6rieur et 4 la surface de la zone de

Brillouin, lorsque

^{le cristal 6tudi6 est}

assujetti

^{aux conditions}

cycliques.

^{N est}

6gal

^{au nombre}

^de

mailles du

cristal,

^{ny est la masse} de 1’atome

j.

La formule

(6) peut

^{etre invers6e en}

(7) :

On sait

qu’avec

^{ces nouvelles variables}

Wa(k),

^les

equations

^{du mouvement se}

s6parent

^en N sys-

t6mes,

^un pour

chaque

^valeur

permise

^de

k ;

^elles

conduisent a la resolution

d’6quations

seculaires de dimensions

3n,

^{si n est} le nombre d’atomes dans la maille

primitive,

^et

qui

^{donnent 3n}

fr6quences

w,(k)

^non xncessairernent toutes distinctes

[4].

Nous sommes ainsi amenes a étudier l’effet d’une

operation

^de

symetrie

du milieu cristallin sur les 3n variables introduites par

(7).

^Si

l’op6ration

^trans-

porte

^la

position mj

^{sur la}

position

^MJ

en tenant

compte

^de

(3)

^{et de}

(5).

^{Les sornmes}

sur M ou m sont

6quivalentes,

^{car elles}

portent

sur les N mailles du volume

générateur

^{du cristal}

cyclique.

(8) peut

^{s’6crlre :}

puisque

^Ie

produit

^{scalaire k. Rx}

peut

^s’6crire.

R-1 k. x ;

^{d’où :}

Le r6sultat obtenu en

(9) sugg6re

que ^{nous atta-} chions une attention

particuli6re

^aux

operations (R,

^{t +}

Tj,)

^{dont la}

partie (R, 0)

^{conserve le}

vecteur k ou le transforme en un vecteur

equivalent

k +

Kq ;

elles forment le groupe

flk pr6c6demment

d6fini.

Dans le groupe

gk,

les 3n variables

Wa(k),

^ou

J ⁼

1,

^{2 ... n et ot}

=1, 2, 3,

^se transforment les

unes dans les autres et d6finissent une

représen.

tation de ^ce groupe. En

particulier,

^{on voit} que

1’operation (E, t)

du groupe des translations trans- f orme

Wa

^{en :}

ce

qui

^montre que les nouvelles variables _appar- tiennent a la

representation

irr6ductible.

rk

du

groupe des translations.

Les

Wa peuvent

^Atre

dispos6es

^{en matrice}

colonne ;

^les

R£j

^sont les elements d’une matrice

(3n

^X

3n)

foim6s de blocs

R’’(3

^X

3)

^{et seules}

sont differentes de zero les sous-matrices RJ1

qui correspondent

pour

l’op6ration (R,

^{t +}

rn)

^au

transport

^{de la}

position moyenne i

^{sur la}

position

moyenne ^J.

Enfin, d’apr6s (7),

^on

voitlque,

^si

puisque

Connaissant 1’effet d’une

operation

^{de gk sur les}

variables

Wa(k),

le caractere associ6 a

1’operation (R,

^t +

TR) de gk

s’obtient ais6ment. II convient

de, distinguer

^{deux cas :}

a)

^A l’int6rieur de la zone de Brillouin .R_1 k ⁼ k.

/

II suffit alors de

compter,

pour ^une

operation (R,

^t

⁺ iR)

^de

gk,

le nombre

U R

de

positions i qui

^{restent des}

positions j,

^de

multiplier

^ce

^nombre

par

(:1:

¹ + ^{2 cos}

cpB) qui repr6sente

^{la trace de}

la sous-matrice

Rjj

^{et enfin de}

multiplier

^{le r6sul-}

tat par exp

[i27t k. (t + Tn)],

^{d’ou :}

Xk(R,

^{t + ’t"R)}

b)

^A la surface de la zone de Brillouin.

Pour certaines

operations

^de

gk,

^on

peut

^{avoir :}

.R"1 k ⁼

k + Ka ; alors,

^{a cause} du facteur

supple-

mentaire _exp

(i2Tc Kq.X1) qui

s’introduit pour ^ces

operations,

^et

qui depend

^de

j,

^{on ne}

peut

^con-

denser le calcul du caractere dans une formule

analogue

^a

(11).

^{Il f aut} considerer les

positions j qui

^{restent des}

positions j

^et utiliser la formule

(9).

4.

Application.

^- Nous allons illustrer ce

qui precede

^en effectuant la reduction de la

repr6sen-

tation d6finie par des modes de vibration d’un cristal de blende ZnS

(groupe Td2, F43rn)

^sans

translations

fractionnaires, lorsque

1’extrémité du vecteur d’onde ^se trouve aux

points r, X, L,

^W

de la ^zone de Brillouin.

Les

figures 1

^{et 2}

repr6sentent respectivement

^la

rnaille

cubique

^{et la}

disposition

^{des atomes dans la}

maille,

^la

figure

^{3 ]a zone} de Brillouin.

FIG. 1.

Si d est la

longueur

du cote de 1 a maill e

cubique,

les

translations primitives

du reseau direct ont pour

composantes

^{dans le}

syst6me

de coordonnQes

Celles du reseau

r6ciproque

^{sont :}

FIG. 3.

Les coordonnees des

points r, X, L,

^{W dans lr}

reseau

r6ciproque sont,

^en

prenant 1 fd

pour unite :

r(O, 0, 0), X(l, 0, 0), L(1/2, 1j2,112), W(l, 1/2, 0).

a)

DETERMINATION DES GROUPES gk.

r : gr ⁼

Td.

X : gx

= D2d ;

^{X est} invariant par l’identit6

E,

la rotation de 1t autour de l’ axe

C,01,

la reflexion

sur les deux

plans

^6d

qui

^se

coupent

suivant la droite rX et bissectent les octants

x2Üxa, X20XS ;

X est transform6 en X

+-K,

^avec

par les reflexions rotatives

S41

^et

S4

^{et les rota}

tions

C,’22, C,4.

^·

L : gz ⁼

C3v ;

^{L est invariant} par ^toutes les .

operations

du groupe.

W :

gw = S4 ;

W est invariant par E seutement.

S"2

le transforme en W +

Ka

^avec

1

S:

^donne

A

b)

^{CALCUL DES} CARACTERES. ^- Dans Ie groupe

ponctuel Td,

tous les elements du groupe laissent invariant un

point

que ^nous

prendrons

^comme

origine

des coordonn6es. L’atome de soufre de la maille

primitive origine

^est

place

^{a cette}

origine,

687

I’atome de zinc a pour coordonn6es

d(1/4, if4, 1/4).

Les deux atomes de la maille sont situ6s en des sites de

sym6trie ^Td.

Nous donnons le detail du calcul des caracteres

aux

points

^{X et}

W ; puisque

nous avons affaire à

un groupe

symmorphique,

^{il suffit} de considerer les groupes gk

correspondants.

10 k ⁼ X : les caracteres des

representations

irr6ductibles du _groupe

D2d

^sont donn6s dans le tableau I

TABLEAU I

Les

operations

^du groupe laissent les

positions j

en

position j ; ⁱ

^{- 1}

correspond

^{a 1’atome}

S, j =

^{2 a l’atome}

Zn ;

^{Xl =}

0,

^{x2 = d}

(1/4,1/4,1/4).

Les

contributions aux caract6res de la

repre-

sentation r6ductible

apport6es

par les variables

Wa(X)

^et

Wa(X)

^{avec u. =}

1, 2, 3,

^{sont donnees}

respectivement

dans les 2eet 3e

lignes

^{du tableau II}

TABLEAU II

A 1’aide de

(2)

^{on effectue} la reduction de ]a

representation

^et l’on obtient :

Si l’on calcule

s6par6ment

^les

representations

irr6ductibles d6finies

respectivement

par les 2e et 3e

lignes

^{du tableau}

II,

^{on voit} que ^{les atomes S}

participent

^{a des} mouvements de

type X3

^et

X5,

les atomes de Zn

participent A

^des mouvements

X_,

TABLEAU III

et

X5*

^{Les modes}

X,

^et

X.

^{sont des modes}

longi- tudinaux, X5

^{un mode} transversal.

Dans le mode

X.,

^{seuls les atomes de soufre se}

d6p]acent

^{et les atomes de zinc restent au} repos.

Dans le mode

X1,

^{c’est le contraire.}

20 k ⁼ W : Les caractères des

representations

irr6ductibles sont donn6s dans le tableau III et les contributions _aux caract6res de la

representation

r6ductible

apport6es

par les variables

Wa(Wj, Wa(Wj

^sont rassembl6es dans les 2e et 3e

lignes

^du

tableau IV.

TABLEAU IV

La

representation

^se

decompose

^{en :}

Les atomes de soufre

participent

^{a des mouve-}

ments de

type W2, W3, W4,

^ceux de zinc bL des mouvements de

type Wl, W2

^et

W4.

Au

point

^{k = - W on} obtiendrait les

repré-

sentations

conjugu6es.

30 Au

point r,

^{il est bien connu} que la

repre-

sentation se

decompose

^en

2rl5.

^Au

point L,

^on

trouve :

2L, + 2L3.

5. Influence du choix de

1’origine.

^{- Nous avons}

choisi,

pour d6finir le groupe

d’espace

^du

cristal,

les elements de

sym6trie qui passent

^tous par

l’origine,

^{situ6e a}

1’empiacement

^{d’un atome de}

soufre. Nous aurions _pu aussi bien

prendre

^1’en-

semble des elements

qui passent

par l’atome de zinc et choisir ce

point

pour

origine,

^{l’atome de}

soufre

ayant

^alors pour coordonn6es

d(- 1/4,

-

1/4, 1/4).

On trouverait alors

qu’au point X,

les atomes de zinc

participent

^{a des mouvements}

de

type X.

^et

X5,

^{les atomes} de soufre a des mou-

vements

X,

^et

X5. Ainsi,

^{Ie mouvement}

longitu-

dinal des atomes de soufre est decrit _par

X.

^si

1’origine

^{se trouve au}

point occupe

^{par l’atome de}

zinc ; cependant

^{la nature}

physique

^{du mouve-}

ment n’est pas

chang6e.

^On

peut

^{donc en conclure}

que, pour ^une

origine fix6e,

^{les modes}

X,

^et

X3 repr6sentent

^des oscillations de meme

allure ;

^seule

la nature

chimique

^{des atomes} concern6s par ^ces modes

diff6re ;

il s’ensuit que si la valeur de la

fr6quence

des modes de vibration au

point

^{X est}

d6termin6e,

pour la

part

^la

plus importante,

par les interactions entre

plus proches voisins, X.

^est

un mode

optique (L. 0.)

^et

X,

^{un mode}

acoustique (L. A.)

^si

l’origine

^est a l’atome de

soufre, puisque

la masse du soufre est inférieure à celle du zinc.

Discussion

M. COWLEY. - The

symmetry

of the q ⁼ 0 modes cannot be

easily

determined

by symmetry.

The additional

splittings

^{have to be located}

by considering

the effect of the

macroscopic field,

ⁱⁿ

splitting

^{some of the}

representations

^{of the} q ⁼ 0

group. ^,

M. POULET. ^-

Lorsque

q ⁼

0,

^la

sym6trie

^totale

du cristal est

conserv6e,

les modes

longitudinaux

et transversaux sont confondus.

Lorsque

q gr

0,

^il

faut considerer le groupe

G,IT, qui

laisse q inva- riant.

M. COWLEY. - It is not

only

^{essential to con-}

sider the choice of

origin

of the space group repre- sentation as

suggested by

^Dr.

Poulet,

^{but also to}

, state the choice of

planes

^{of the elements of the}

points

groups.

M. BURSTEI1V. ^- I would like to raise the _ques- tion of the

symmetry oi q j

⁰

plasma

oscillations

(plasmons)

ⁱⁿ

_solids, particularly

^{in the}

homopolar crystals having

^{the diamond} structure. The

plasma

oscillations are

longitudinal

^{modes. In}

the case of

polar crystals the q N

⁰

plasmon couple

^with

the g N

^{0 L} 0 modes of vibration.

For the zinc-blende

structure,

^the

coupled

^modes

have associated with them a

macroscopic

^electric

field and ^we may

expect

^{them to} show up in ^a first order Raman

scattering experiment

^{with an}

appreciable contribution

^{to the}

intensity arising

from the

electro-optic

^effect

by

^{the Poulet mecha-}

nism. At

high

^electrons concentrations the cou-

pled

^mode which appears ^at

(C02

+

C02 )1/2

Cop

/

C02 4?c ne2

where ^w2p

⁼

) ;

the mode is

largely

^elec-

tronic and the direct

change

ⁱⁿ

polarizability by

the

plasmon,

other than

through

the electric

field,

is very

likely

^{small. In the case of diamond}

type structures,

^the

depolarization

^{field of the}

plasmons

does not contribute to the

scattering intensity

since the structure has a center of

symmetry.

^The

question

that I wish to raise

specificaly

^{is : " How}

does ^one treat the

symmetry

^{of the}

plasmon

ⁱⁿ

crystal

lattice ? " This is

important

^{in esta-}

blishing

the " selection ^" rules for Raman ^scat-

tering.

^For

example,

^{would a}

plasmon

^{exhibit a}

first order

scattering

^{in a NaCI}

type cristal,

presu-

mably

^{via a} first order A2

interaction,

rather than

by

^a second order p . A interaction ?

BIBLIOGRAPHIE

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