Exercices sur la règle de chaine

Exercices sur la règle de chaine

Calcul différentiel – Automne 2020 – Yannick Delbecque

Dérivée de fonctions composées

Question 1

Soient les fonctionsz=g(y)=y³ety=f(x)=x²+x+1.

a) Évaluerg⁰(f(x))f⁰(x).

b) Évaluer dz dyetdy

dx et vérifier que le produit dz

dy dy dz.

donne le même résultat qu’en a) si on exprime le résultats en fonction dex.

Question 2

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) y= x³−17

b) f(t)=

3x²−x+15

c) f(t)=(2x+1)⁹⁹ d) g(t)=

1−5t⁴10

e) y=

5x²−3x+2⁷₂ f) f(x)= p

x⁵+1 g) f(x)=5 ³

√ 8−x h) y=(2−x)⁵(7x+3)

i) y=x²+√ 3x−1 j) y=x²

√ 3x−1 k) y=5p³

2x²+5x+7 l) g(x)= x+1

x−1

!3

m) y=7 x²+4 x²−4

!

n) x(t)= r mt

1+t (mest une constante)

Question 3

Soit les fonctions définies parz=1 y,y=√

xetx=6t²−5t. Cal- culer les dérivées suivantes.

a) dx dt et dx

dt _t=2 b) dz

dyet dz dy _y=−3 c) dx

dt et dx dt _t=2

d) dz dyet dz

dy _y=−3 e) dy

dt et dy dt _t=−1 f) dz

dxet dz dx _x=1

9

Question 4

Calculer la dérivée des fonctions suivantessans utiliser la règle de Leibnitz ou du quotient.

a) y=17(x−2)¹⁰ b) f(x)= 5

2(3x−1)¹⁰

c) y= −17 3 x²−x+6

d) y= 4

√3

x²+4x+2

Question 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) y=

x³+2x4

+3x 5

b) y=(3x+4)¹⁴

x²−218

c) f(t) = q

(2t+π)³(2−5t)

d) y=

2x³+13

√ x+3 e) f(x)=

q x²+√

3x+1

Question 6 Siy= √

x²+1, que vaut ^dy_dx

_x=2? Déterminer l’équation de la droite tangente à la fonctionyenx=2.

Question 7

Soit la fonction f(x)=(4x−9)²+3. Déterminer la ou les valeurs deatelles que la droite tangente à la courbe def enx=aet les axes forment un triangle isocèle.

Question 8

Soientz=y³etyune fonction dexnon spécifiée, mais telle que

dy

dx =5 quandy=2. Déterminer ^dz_dx quandy=2 à en utilisant la règle de chaine :

dz dx=dz

dy dy dx.

Question 9

On a observé que la massem(en kilogrammes) d’un poisson d’une certaine espèce dépend de sa longueurL(en mètres) par la fonctionm=4L². Supposons que le taux de croissance de la longueur par rapport au temps (en années) est de (0,3−0,2L)^m/an.

a) Trouver l’expression de dm

dt en fonction deL. Indiquer les unités.

b) Évaluer dm dt

_m=4

et interpréter le résultat obtenu dans le contexte donné.

Question 10

En utilisant la formule de la dérivée d’un produit de deux fonc- tions, montrer que







 f(x) g(x)









0

= f⁰(x)g(x)−f(x)g⁰(x) (g(x))² .

2 Exercices sur la règle de chaine

Question 11

Nous avons montré en classe que (xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹ était valide lorsquenest un entier naturel.

a) En utilisant la formule de la dérivée du quotient, montrer que cette formule est valide lorsquenest négatif (donc sin=−k

aveckpositif.)

b) En utilisant la dérivée implicite, montrer que cette formule est valide lorsquenest une fraction du type¹_k, avecknaturel.

c) Montrer ensuite à l’aide de la dérivée d’une fonction com- posée que la formule est valide lorsquenest une fraction^a_b, aveca,b∈Z.

Solutions

Question 1

a) Commeg⁰(x)=3x², on a queg⁰(f(x))=g⁰(x²+ x+1)=3(x²+x+1)². Commef⁰(x)=2x+1, on a enfin que

g⁰(f(x))f⁰(x)=3(x²+x+1)²(2x+1) b) dz

dy=3y²etdy

dx=2x+1. Le produit est donc dz

dy dy

dx=(3y²)(2x+1) Commey=x²+x+1, on a que

dz dy

dy

dx=(3(x²+x+1)²)(2x+1).

Question 2 a) dy

dx=21x² x³−16

b) f⁰(t)=5

3x²−x+14

(6x−1) c) f⁰(t)=99 (2x+1)⁹⁸(2)=198 (2x+1)⁹⁸ d) g⁰(t)=−200t³

1−5t⁴9

e) dy dx=7

2

5x²−3x+2⁵₂ (10x−3) f) f⁰(x)= 5x⁴

2

√ x⁵+1 g) f⁰(x)= −5

3p³ (8−x)² h) dy

dx=(2−x)⁴(−42x−1) i) dy

dx=2x+ 3 2√

3x−1 j) dy

dx=15x²−4x 2

√ 3x−1 k) dy

dx= 20x+25 3³

q

2x²+5x+72

l) g⁰(x)=−6(x+1)² (x−1)⁴ m) dy

dx= −112x x²−42

n) x⁰(t)= m 2(1+t)²

r1+t mt =1

2 r m

t(1+t)³

Question 3 a) dx

dt=12t−5 et dx dt _t=2=19 b) dz

dy=−1 y² et dz

dy _y=

−3

=−1 9

c) dx

dt=12t−5 et dx dt _t=2=19 d) dz

dy=−1 y² et dz

dy _y=−3=−1

9 e) dy

dt = 12t−5 2

√ 6t²−5t

et dy dt

_t=−1=− 17 2√

11 f) dz

dx=− 1 2x√

xet dz dx _x=1

9

=−27 2

Question 4 a)

y⁰=

17(x−2)¹⁰0

=17 (x−2)¹⁰0

=17

10(x−2)⁹ (x−2)⁰

=170(x−2)⁹

b) f⁰(x)=₅

2(3x−1)⁻¹⁰0

=−⁵⁰₂(3x−1)⁻¹¹(3)=

− ¹⁵⁰

2(3x−1)¹¹

c) dy

dx= 34x−17 3 x²−x+62

d) dy

dx= −8(x+2) 3³

q

x²+4x+24

Question 5 a) dy

dx=5

x³+2x4

+3x 4

4 x³+2x3

3x²+2 +3

b) dy

dx=6 (3x+4)¹³ x²−217

25x²+24x−14

c) f⁰(t)=







6−20t−5π 2







 s

2t+π 2−5t d) dy

dx=

2x³+12

34x³+108x²−1 2p

(x+3)³ e) f⁰(x)= 1

2 q

x²+√ 3x+1







2x+ 3 2√

3x+1









Question 6

dy dx= 1

2

√ x²+1

x²+10

= 1 2

√

x²+1(2x)

= x

√ x²+1

On a donc que dy dx

_x=2= 2

√

x²+1= 2

√ 5 .

L’équation de la droite tangente est de la forme y= 2

√ 5x+b.

Enx=2,y=√

5 et la droite tangente passe par le point

2,√ 5

. On détermineb:

√ 5= 2

√ 5(2)+b, donc

b=√ 5− 4

√ 5

=

√ 5

√ 5−4

√ 5

=5−4

√ 5

= 1

√ 5 et l’équation de la droite est

y= 2

√ 5

x+ 1

√ 5.

Question 7 a=71

32oua=73 32.

Question 8

Comme^dz_dy=3y², on a que dz dx=3y²dy

dx. Quandy=2, on a que

dz

dx=3(2)² dy dx

_y=2=12·5=60.

Question 9 a) dm

dt=dm dL

dL

dt=8L(0,3−0,2L)

b) Au moment où la masse du poisson est de 4 kg, celle-ci augmente à un taux de 0,8^kg/^an.

Calcul différentiel – 201-NYA – Automne 2020

Exercices sur la règle de chaine 3

Question 10

Laissé à l’étudiant. Indice : Démontrer avec la règle de chaine que

1 g(x)

!0

= (g(x))⁻¹0

=− g⁰(x) (g(x))² et transformer le quotientf(x)

g(x)en produitf(x) ₁

g(x)

.

Question 11

a) Voir preuve dans notes de cours b) Voir preuve dans notes de cours

c) x^a/b0

= x^1/ba0

=a x^1/ba−1

x^1/b0

=ax^a−1b 1 bx¹b−1

=a bx^a−b¹x¹b−1

=a bx^{a−1b +1b−1}

=a

bx^{ab−1b+1b−1}

=a bx^ab−1

Calcul différentiel – 201-NYA – Automne 2020