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Universit´e Claude Bernard–Lyon I

CAPES de Math´ematiques : Arithm´etique Ann´ee 2006–2007

D´ enombrements

I Quelques calculs : permuter les P 1^◦ On fixe n ∈ N, n ≥ 1. Calculer

n−1

X

i=0 n−i

X

j=1

1 i + j et

n

X

k=0

k · k!.

2^◦ Soit E un ensemble fini. Calculer X

X⊂E

|X|, X

X,Y⊂E

|X ∩ Y |, X

X,Y⊂E

|X ∪ Y |.

Indication : Ecrire |X| =P

x∈Eδ_x∈X, o`u δ_x∈X vaut 1 si x ∈ X et 0 sinon.

3^◦ Pour n ∈ N, n ≥ 1, on note D(n) le nombre de diviseur de n.

a) Montrer que

n

X

k=1

D(k) =

n

X

d=1

jn d

k, o`u ⌊·⌋ est la partie enti`ere.

b) En d´eduire que Pn

k=1D(k) est ´equivalent `a n ln n lorsque n tend vers l’infini.

c) En passant, montrer que si m et n sont premiers entre eux, D(mn) = D(m)D(n).

II Quelques formules avec des coefficients binomiaux

Rappelons que le coefficient binomial se note ⁿ_k
et pasC^k_n, et vaut 0 si l’on n’a pas 0 ≤ k ≤ n.

Pour chaque identit´e, on tˆachera de donner une preuve “alg´ebrique” et une preuve “bijective”.

1^◦ Les relations ´evidentes –et `a connaˆıtre !

n k



=

 n n − k



, n

k



=n − 1 k



+n − 1 k − 1

 ,

n

X

k=0

n k



= 2ⁿ. 2^◦ D’autres relations

n

X

k=0

n k

2

=2n n



, p

k

n p



=n k

n − k p − k

 ,

p

X

k=0

n k

n − k p − k



= 2^pn p

 .

n

X

j=0

 j k



=n + 1 k + 1

 ,

k

X

j=0

n + j j



=n + k + 1 k



, 1 +

k−1

X

j=0 n−k−1

X

i=0

i + j j



=n k

 .

X

k∈Z

 r m + k

 s n − k



= r + s m + n



(formule dite de Vandermonde).

III Nombres de Catalan 1^◦ Parenth´esages

On note pn le nombre de fa¸cons de parenth´eser de n lettres. (Par convention, p0= 0 et p1= 1.) Voici sur deux exemples ce qu’on entend par “parenth´esage de 4 lettres” :

(• •) (• •) ,



(• •) •

•



a) Calculer pn pour n = 2, 3, 4, 5 et d´emontrer que pn≤ 4ⁿ⁻¹ pour tout n.

Indication : On ´ecrit 2(n − 1) parenth`eses, chacune s’ouvrant ou se fermant.

b) D´emontrer que

∀n ≥ 1, p_n= X

k+ℓ=n

p_kp_ℓ.

c) Pour tout n ∈ N, on pose : pn= c_n−1. Ecrire la relation de r´ecurrence correspondante.

2^◦ La s´erie g´en´eratrice a) On pose f (t) =P

n≥0cntⁿ. Montrer que cette s´erie a un rayon de convergence non nul.

1

b) Montrer que l’on a, pour t dans le domaine de convergence : t f (t)²− f (t) + 1 = 0.

c) En d´eduire une expression de f (t), puis la valeur de cn. 3^◦ Triangulations

Soit n ∈ N, n ≥ 3. On note t_n le nombre de triangulations d’un poygone r´egulier `a n cˆot´es. Par exemple, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 5 :

a) Calculer t6.

b) Exprimer tn en fonction des tk, k ≤ n − 1. On devrait obtenir la mˆeme relation que pour les cn, avec indices d´ecal´es.

IV D´erangements

Un d´erangement est une permutation sans point fixe, c’est-`a-dire dont la d´ecomposition en cycles disjoints ne comporte que des cycles de longueur ≥ 2. Pour n ∈ N^∗, on note dn le nombre de d´erangements dans le groupe sym´etrique sur n lettres. Par convention, d0 = 1.

1^◦ Premi`ere approche : r´ecurrence et ´equation diff´erentielle

a) Montrer que pour tout n on a : dn+1 = n(dn+ d_n−1). (Consid´erer la d´ecomposition d’un d´erangement t en cycles : si n + 1 apparaˆıt dans un cycle de longueur 2, on a n fa¸cons de choisir son image et d_n−1 fa¸cons de d´eranger les n − 1 autres lettres ; sinon, on a n fa¸cons de choisir son image et on obtient un d´erangement de n lettres en effa¸cant n + 1.)

b) On pose bn= dn/n!. Minorer le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP bnxⁿ et montrer que sa somme g(x) est solution de : (1 − x)y^′− xy = 0.

c) En d´eduire une expression simple de g(x), puis que

(§) ∀n ∈ N, dn= n!

n

X

k=0

(−1)^k k! .

d) Puisqu’on en est l`a, v´erifier que dn= nd_n−1+ (−1)ⁿ, et trouver lim_n→+∞dn/n!.

2^◦ Deuxi`eme approche : par partition

On partitionne le groupe sym´etrique selon le nombre de points fixes de ses ´el´ements : pour k ∈ {0, . . . , n}, si C_k est l’ensemble des permutations ayant k points fixes, la famille (C_k)_k=1,...,n est une partition.

a) V´erifier que pour tout k, on a : card Ck= ⁿ_k
d_n−k. b) En d´eduire que (1 − x)⁻¹= e^xg(x). Retrouver ainsi (§).

3^◦ Troisi`eme approche : par inclusion-exclusion

a) Principe d’inclusion-exclusion ou formule du crible

Soit E un ensemble et (Ai)i=1,...,n une famille de parties. Prouver par r´ecurrence sur n :

card

n

[

i=1

Ai =

n

X

k=1

(−1)^k−1 X

{i₁<···<ik}⊂{1,··· ,n}

card

k

\

ℓ=1

Aiℓ

=

n

X

i=1

card A_i− X

i₁<i₂

card(A_i1 ∩ A_i2) + · · · + (−1)ⁿ⁻¹card(A1∩ · · · ∩ A_n).

b) Application aux d´erangements

Pour i ∈ {1, . . . , n}, on note Bi l’ensemble des permutations qui ne fixent pas i et Ai son compl´ementaire. Avec le principe d’inclusion-exclusion, d´emontrer directement (§).

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V Exercices suppl´ementaires

1^◦ Quelques mains de poker : calculs bateaux

Question r´ecurrente `a l’oral, quand il est question de d´enombrements (dans les le¸cons de d´enombrements ou de probabilit´es) : “Pourquoi y a-t-il un signe de multiplication ?”

La r´eponse est, en g´en´eral, soit que l’on calcule le cardinal d’un produit cart´esien d’ensembles, soit que l’on utilise le lemme des bergers. Voici quelques exemples concrets, dans le cadre ludique du poker. Est-il besoin de rappeler qu’on joue au poker avec un paquet de 52 cartes, r´eparties en 4 couleurs, chacune faisant apparaˆıtre 13 hauteurs (R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, As) ? Une main, c’est 5 cartes sans ordre d´etermin´e.

Calculer le nombre a) de mains ;

b) de mains contenant au moins une paire ; c) de mains contenant une paire ;

d) de mains contenant un brelan, mais pas un carr´e ;

e) de fulls (un brelan et une paire, de hauteurs diff´erentes bien sˆur).

NB : Vu les r`egles du jeu, il n’est pas tr`es utile de consid´erer que toutes les mains sont ´equiprobables : en effet, le joueur peut changer des cartes dans la main qu’il r´ecup`ere au d´ebut, et la donn´ee importante, c’est la main qu’il a apr`es ces changements.

2^◦ Compositions d’un entier

Pour n, r ∈ N^∗, on appelle composition d’un entier n en r parts une suite finie d’entiers stricte- ment positifs (k1, . . . , k_r) telle que n = k1+ · · · + k_r. Calculer le nombre de compositions b_n,r de n en r parts en fonction de n et r. En d´eduire le nombre de compositions an de n, ainsi que les s´eries g´en´eratrices

∞

X

n=1

antⁿ et

∞

X

n=1 n

X

r=1

bn,rx^rtⁿ.

Source des exercices suivants : D. Piau@Grenoble 3^◦ Surjections

A titre d’application de la formule d’inclusion-exclusion, montrer que le nombre de surjections d’un ensemble `a n ´el´ements sur un ensemble `a p ´el´ements est

pⁿ−p 1



(p − 1)ⁿ+p 2



(p − 2)ⁿ+ · · · + (−1)^p−1

 p p − 1



=

p

X

k=1

(−1)^p−k

 p p − k

 kⁿ.

4^◦ Parties emboˆıt´ees

Soit E un ensemble. Calculer le nombre de couples (A, B) form´ees de parties emboˆıt´ees l’une dans l’autre : A ⊂ B ⊂ E.

Pour r ≥ 1, calculer le nombre de p-uples de parties emboˆıt´ees A1⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ Ar⊂ E.

5^◦ Partitions d’un ensemble

On pose a0= 1 et, pour n ∈ N^∗, on note a_nle nombre de partitions d’un ensemble `a n ´el´ements.

D´emontrer que l’on a :

∀n ≥ 0, a_n+1 =

n

X

k=0

n k

 a_n−k.

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