Mécanique et électricité

Mécanique et électricité

Equations du second ordre à coefficients constants en mécanique et en électricité

LYCÉECARNOT(DIJON), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Introduction : mécanique et électricité Année 2020 - 2021 1 / 19

Sommaire

1 Mécanique

2 Electricité

3 Analogie mécanique/électricité

Mécanique

Sommaire

1 Mécanique

Système masse ressort

Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

2 Electricité

3 Analogie mécanique/électricité

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Mécanique Système masse ressort

Système masse ressort

k m

#»y

l(t)

h(t)

#» L g

Mécanique Système masse ressort

Pour commencer, partons d’un système masse-ressort. La masse vaut met le ressort a pour constante de raideurk et pour longueur à videl₀.

Isolons la masse. Elle est soumise à:

• l’action de la gravitation : #»

Fg=−m.g.#»y

• l’action du ressort : #»

F_r =k.(l(t)−l₀).#»y

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Mécanique Système masse ressort

Pour commencer, partons d’un système masse-ressort. La masse vaut met le ressort a pour constante de raideurk et pour longueur à videl₀. Isolons la masse. Elle est soumise à:

• l’action de la gravitation : #»

Fg=−m.g.#»y

• l’action du ressort : #»

F_r =k.(l(t)−l₀).#»y

Mécanique Système masse ressort

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la massemdans le repère galiléen lié au bâti:

X

i

F#»i=m.#»a(t) =m.d²h

dt².#»y ⇒ m.d²h

dt².#»y =k.(l(t)−l0).#»y −m.g.#»y

⇒ m.d²h

dt² =k.(L−h(t)−l0)−m.g

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Mécanique Système masse ressort

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

Posons alors y(t) = h(t)−h(t_equi). Cette fonction traduit la différence d’altitude entre la position de la masse mà l’instantt et sa position au repos. L’équation différentielle devient:

m.d²h

dt² =k.(L−h(t)−l₀)−m.g ⇒ m.d²y

dt² +k.y(t) =0

Mécanique Système masse ressort

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

Posons alors y(t) = h(t)−h(tequi). Cette fonction traduit la différence d’altitude entre la position de la masse mà l’instantt et sa position au repos. L’équation différentielle devient:

m.d²h

dt² =k.(L−h(t)−l₀)−m.g ⇒ m.d²y

dt² +k.y(t) =0

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Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

k λ

m

#»

l(t)

h(t) L

#»g #»

Fe(t)

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

Isolons la masse. Elle est soumise à:

• l’action de la gravitation : #»

Fg=−m.g.#»y

• l’action du ressort : #»

F_r =k.(l(t)−l₀).#»y

• l’action du frottement visqueux : #»

F_f =−λ.dh dt.#»y

• l’action d’une force d’excitation : #»

Fe=F(t).#»y

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Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la massemdans le repère galiléen lié au bâti:

X

i

#»F_i=m.#»a(t) =m.d²h

dt².#»y ⇒ m.d²h

dt².#»y =k.(l(t)−l₀).#»y−m.g.#»y−λ.dh

dt.#»y +F(t).#»y

⇒ m.d²h

dt² =k.(L−h(t)−l0)−m.g−λ.dh dt +F(t)

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

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Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

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Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même.

En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Introduction : mécanique et électricité Année 2020 - 2021 11 / 19

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

Mécanique Système masse-ressort-amortissement visqueux-régime forcé

A l’équilibre, sans excitation (Fe(t_equi) =0), la position de la masse est fixe.

Ainsi dh dt _t=t

equi

=0 et d²h dt²

_t=t

equi

=0.

m.

d²h

dt² .#»y =k.(l(t)−l₀).#»y −m.g.#»y −λ.

dh

dt.#»y +F(t).#»y

L’équilibre de ce système se traduit par :k.(L−h(t_equi)−l₀)−m.g =0 soith(t_equi) =L−l₀−m.g

k .

La position d’équilibre est donc la même. En reprenant les notations précédentes, nous obtenons donc:

m.d²y

dt² +λ.dy

dt +k.y(t) =F(t)

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Electricité

Sommaire

1 Mécanique

2 Electricité Dipôles R L C Circuit R-L-C série Circuit R-L-C série

3 Analogie mécanique/électricité

Electricité Dipôles R L C

Dipôles R L C

Voici les relations liant la tension u(t)et l’intensité i(t)aux bornes des dipôlesR,LetC, en convention récepteur :

Dipôle RésistanceR InductanceL CondensateurC

Symbole

i(t) R u(t)

i(t) L

u(t)

i(t) C u(t)

Equation u(t) =R.i(t) u(t) =L.di(t)

dt i(t) =C.du(t) dt

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Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C série

Loi des mailles

R

C

L

u(t) s(t)

i(t)>

u_R(t) u_C(t) u_L(t)

⇒ u(t) = u_R(t) +u_C(t) +u_L(t)

= R.i(t) +s(t) +L.di dt

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C série

Loi des mailles

R

C

L

u(t) s(t)

i(t)>

u_R(t)

u_C(t) u_L(t)

⇒ u(t) = u_R(t) +u_C(t) +u_L(t)

= R.i(t) +s(t) +L.di dt

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Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C série

Loi des mailles

R

C

L

u(t) s(t)

i(t)>

u_R(t) u_C(t)

u_L(t)

⇒ u(t) = u_R(t) +u_C(t) +u_L(t)

= R.i(t) +s(t) +L.di dt

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C série

Loi des mailles

R

C

L

u(t) s(t)

i(t)>

u_R(t) u_C(t) u_L(t)

⇒ u(t) = u_R(t) +u_C(t) +u_L(t)

= R.i(t) +s(t) +L.di dt

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Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C série

Loi des mailles

R

C

L

u(t) s(t)

i(t)>

u_R(t) u_C(t) u_L(t)

Electricité Circuit R-L-C série

Puisquei(t) =C.ds dt

alors

u(t) =R.C.ds

dt+s(t)+L.C.d²s

dt² d’où L.d²s

dt² +R.ds dt+1

C.s(t) = 1

C.u(t)

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Electricité Circuit R-L-C série

Puisquei(t) =C.ds dt alors u(t) =R.C.ds

dt+s(t)+L.C.d²s

dt² d’où L.d²s

dt² +R.ds dt+1

C.s(t) = 1

C.u(t)

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C parallèle

Loi des noeuds

R

L

C

u(t)

i(t)>

u_R(t) u_L(t) u_C(t)

⇒ u(t) = u_R(t) =u_C(t) =u_L(t) i(t) = iR(t) +i_C(t) +iL(t)

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Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C parallèle

Loi des noeuds

R

L u(t) C

i(t)>

u_R(t) u_L(t) u_C(t)

⇒ u(t) = u_R(t) =u_C(t) =u_L(t) i(t) = iR(t) +i_C(t) +iL(t)

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C parallèle

Loi des noeuds

R

L u(t) C

i(t)>

u_R(t) u_L(t) u_C(t)

⇒ u(t) = u_R(t) =u_C(t) =u_L(t) i(t) = iR(t) +i_C(t) +iL(t)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Introduction : mécanique et électricité Année 2020 - 2021 16 / 19

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C parallèle

Loi des noeuds

R

L u(t) C

i(t)>

u_R(t) u_L(t) u_C(t)

⇒ u(t) = u_R(t) =u_C(t) =u_L(t) i(t) = iR(t) +i_C(t) +iL(t)

Electricité Circuit R-L-C série

Circuit R-L-C parallèle

Loi des noeuds

R

L u(t) C

i(t)>

u_R(t) u_L(t) u_C(t)

⇒ u(t) = u_R(t) =u_C(t) =u_L(t) i(t) = iR(t) +i_C(t) +iL(t)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Introduction : mécanique et électricité Année 2020 - 2021 16 / 19

Analogie mécanique/électricité

Sommaire

1 Mécanique

2 Electricité

3 Analogie mécanique/électricité Analogie

Résumé

Analogie mécanique/électricité Analogie

Le comportement des circuits électriquesR,L,C linéaires et celui des systèmes mécaniques masse, ressort avec frottements visqueux sont représentés par des équations différentielles semblables.

Il est possible d’établir une analogie entre un circuit électrique série et un système mécanique en assimilant :

• Une masse avec une inductance

• Un frottement visqueux à une résistance linéaire

• La raideur d’un ressort à l’inverse d’une capacité.

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Analogie mécanique/électricité Résumé

Termes Inertie Dissipatif Raideur

Symboles

m L

λ R

k 1 C

Noms

masse/

inductance

frottement visqueux/

raideur/

inverse de la