DM 11 Étude d’un système masse-ressort
À rendre pour le jeudi 7 janvier
AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
• Commencer à chercher le devoirdès le soir de la distribution.
• S’aider ducourset desexercices.
• Chercher en groupe. La rédaction sera cependant personnelle.
• Si vous êtes bloqué,posez des questions.
• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;
- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;
- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;
- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.
• Après avoir reçu la correction, reprendre votre copie et le corrigé pour comprendre les erreurs, lire les conseils...
Soit un référentiel galiléen muni du repèreR(O,~ux,~uy,~uz) . Un point matérielM de massemse déplace sans frottement le long d’un demi cercle de rayona. Ce point est de plus attaché à un ressort dont l’autre extrémité est fixée enO0.
OO0=a.
Le ressort possède une raideurket une longueur au repos`0. Le point matériel est repéré par l’angleθ.
O x
y
O0
M θ
α
~ ux
~ uy
~ ur
~ uθ
Étude d’équilibres possibles
Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base mobile.
MPSI Devoir maison 11 - Étude d’un système masse-ressort 2020-2021 1 Donner l’expression du vecteur−−−→
O0Men fonction deaetθ.
2 Donner l’expression de la norme de−−−→
O0Men fonction deaetθ(ou mieux, de θ2).
3 Donner l’expression de la force de rappelT~du ressort en fonction dea,k,`0etθ(ou mieux, deθ2).
4 Soit~F la résultante des forces extérieures appliquées à la masseM. On noteRN la norme de la réaction normale surM. Donner l’expression deF~en fonction dea,g,k,`0,m,RNetθ.
5 Donner l’expression de la vitesse~vdeMdans (R) en fonction deaet de la dérivée temporelle convenable deθ.
6 Donner, en fonction dea,g,k,`0,m,θ, ˙θet, l’expression du produit scalaireP =~F·~v.
7 En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l’exception deθ, l’expression de l’énergie potentielleEp
dont dérive la force~F
8 Écrire l’expression de l’énergie mécanique totaleEmdu système.
9 En déduire, lorsque le mouvement deMa lieu, son équation différentielle en fonction dea,g,k,`0,m,θet ses dérivées convenables.
10 Déterminer l’expression des positions d’équilibreθ=θienvisageables pour le système.
11 On veut imposer l’existence d’une position d’équilibre pour une valeurθ16=0 deθcomprise entre 0 et π2 (ce qui implique par symétrie une position équivalente−θ1). Écrire les inégalités que cela implique sur les paramètres du problème. Donner une interprétation physique de ces conditions.
12 Les conditions ci-dessus étant réalisées, étudier la stabilité des équilibres ainsi obtenus.
Étude d’un cas particulier
On se donne ici les relations entre paramètres suivants :a=2mgk et`0=p 3¡
a−mgk ¢ .
13 Vérifier que les conditions établies à la question 11 sont réalisées. Expliciter les positions d’équilibre. Don- ner, pour ces positions, les valeurs numériques du facteur 1
ka2 d2Ep
dθ2 et valider les conclusions de la question 12.
14 Pour étudier les petits mouvements autour de la position d’équilibreθ1, on poseθ=θ1+ε. Établir l’équation différentielle linéaire enεde ces petits mouvements. On poseraω0=
qk
m, oùω0est la pulsation naturelle intrinsèque du système masse-ressort libre.
15 Donner l’expression de la solution de l’équation ci-dessus pour les conditions initiales suivantes :
ε(0)=0, ε˙(0)= s
ka−mg 2ma
Applications numériques
Soient les valeurs numériques :g=9, 81 m.s−2,k=1, 0 · 103N · m−1, 1, 0 kg.
16 Calculer la constantek0du ressort donnant la même pulsation naturelle en régime de vibrations libres que celle obtenue à la question 14. Interpréter physiquement.
17 Calculer la longueurLdu pendule simple synchrone équivalent. Interpréter le rôle dea.
2/2 December 15, 2020
