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Submitted on 1 Jan 1932
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Sur une explication possible de la différence de masse entre le proton et l’électron
Al. Proca
To cite this version:
Al. Proca. Sur une explication possible de la différence de masse entre le proton et l’électron. J. Phys.
Radium, 1932, 3 (2), pp.83-101. �10.1051/jphysrad:019320030208300�. �jpa-00233085�
SUR UNE EXPLICATION POSSIBLE DE LA DIFFÉRENCE DE MASSE ENTRE LE PROTON ET L’ÉLECTRON
Par AL. PROCA.
Institut Henri-Poincaré, Paris.
Sommaire, 2014 L’auteur estime que ce qu’on mesure actuellement sous le nom de
« masse au repos » de l’électron ou du proton est en réalité une grandeur qui ne dépend
pas uniquement de la particule considérée. Cette « masse » peut s’écrire A + e B pour le proton et A 2014 e B pour l’électron e étant la charge de la particule. A est un coefficient
caractéristique de la particule qu’on peut appeler sa masse vraie : elle est la même pour le proton et pour l’electron. B est un terme qui dépend du champ électromagnétique mis en jeu dans toutes les mesures de la « masse », telles qu’on les réalise actuellement; c’est un
terme lentement variable et qui dépend du type d’expérience envisagée.
Ces résultats découlent de l’introduction, dans la théorie du champ électromagné- tique et du rayonnement. d’un elément caractéristique nouveau, invariant par rapport au groupe de Lorentz et qui semble nécessaire en toutes circonstances, pour définir le champ.
L’auteur étudie son interprétation physique et la manière dont les résultats classiques
sont influencés par sa présence; les modifications introduites sont simples et il semble
qu’une vérification expérimentale des hypothèses de base ne présente pas des difficultés insurmontables.
Pour un coup d’0153il rapide, le lecteur aura avantage à commencer par le paragraphe 12,
en admettant provisoirement la nouvelle loi de force (50). Il lui sera aisé ensuite de retourner en arrière et étudier à lo sir l’introduction du nouvel invariant dans la théorie du champ électromagnétique, ainsi que les conséquences qui s’en déduisent
1. Considérations préliminaires. - Le problème de la différence des masses du
proton et de l’électron n’est pas encore résolu; bien plus, on ne voit pas comment on pour- rait l’aborder. Le présent article suggère la possibilité d’une explication et indique une voie, qui semble présenter au moins un avantage : celui de permettre des vérifications expéri-
mentales très étendues.
Une pareille circonstance est particulièrement désirable dans ce cas. En effet, ainsi
que nous le verrons, la tentative d’explication proposée exige, d’une façon assez inattendue d’ailleurs, la modification de la théorie classique du rayonnement, c’est-à-dire des équa-
tions de Maxwell. Le changement est minime; néanmoins la nécessité d’un pareil chan- gement paraît bien improbable dans l’état actuel de la théorie et il est évident qu’il faut
avancer avec beaucoup de prudence. Il est nécessaire d’ailleurs d’être d’autant plus cir- conspect que ce n’est pas la première fois qu’on propose une pareille modification des
équations de Maxwell : les nouvelles équations ont déjà été publiées en effet par Lanczos (1).
Il semble qu’on ne leur ait pas accordé l’attention qu’elles méritaient, d’abord parce que (1) LA.NCZOS, Thèse (19t9), Szeged, et Z Physik, 57 (t9t9), pp. ~j~’1, 4 i4, 48t. Voir aussi D. lw et
NUWLSKY; Z. Physilt’., 63 (f930), p. 129 ; Y. Amer. Math. Soc., 27 (192a). y. 106.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019320030208300
la manière de les établir paraissait arbitraire et ensuite parce qu’on répugne tout natu- rellement à modifier la théorie de Maxwell sans raison valable (1).
Dans ces conditions, ce qu’il y a de plus raisonnable à faire c’est de montrer qu’il y a
etfectivel1lent un avantaqe à la modifier : celui d’entrevoir une possibilité d’explication pour la différence des masses du proton et de l’électron. Nous laisserons donc de côté pour le moment le développement systématique de la théorie et nous nous attacherons à établir d’abord ce premier point. Une fois ceci fait, on pourra poursuivre les conséquences de la
théorie pour voir si l’on arrive à une contradiction, ou mieux, on pourra utiliser une des multiples différences d’avec la théorie classique pour essayer de la confirmer - ou l’infirmer - expérimentalement.
2. Hypothèses fondamentales. - Ces hypothèses sont exprimées par les équations fondanîentales (1:f) et (20) qui renlplacent celles de Maxwell. On est amené à poser ces
hypothèses par un raisonnement d’analogie qui suit le procédé utilisé par Dirac pour établir son équation relativiste de l’électron. Ce procédé est arbitraire, comme d’ailleurs
le choix de tout hamiltonien en mécanique quantique, mais il est en quelque sorte justifié parle prodigieux succès de l’équation de Dirac. L’idée de l’appliquer au rayonnement n’est
pas nouvelle (2), mais la manière dont on l’a utilisé peut ne pas sembler irréprochable.
Nous allons donc considérer le rayonnement comme constitué par des photons et traiter
leur mouvement par la mécanique quantique; l’équation d’onde ainsi obtenue décrira le
champ du photon, donc le champ électromagnétique. On peut dire qu’une tentative de ce
genre s’impose à l’heure actuelle. En effet, la mécanique du point matériel a pu faire d’énormes progrès grâce à l’introduction et à l’emploi de notions propres à l’Optique. En
retard sur cette dernière jusqu’à l’apparition de la mécanique ondulatoire, elle l’a aujourd’hui dépassée. On peut espérer alors qu’en faisant profiter inversement l’Optique
des nouveaux développements de la mécanique, on puisse arriver à des résultats nouveaux
et intéressants (3).
En un mot la mécanique ondulatoire traitait un point matériel comme une onde et lui appliquait les lois de l’Optique; inversement nous allons essayer de traiter un photon comme
un point matériel et lui appliquer les lois de la nouvelle rnécanique.
Il va sans dire que ces considérations n’invoquent qu’un principe d’analogie et, par
conséquent, ne prouvent rien du tout, ou plutôt elles cessent de prouver quoi que ce soit là où l’analogie entre un photon et un électron fait défaut. Nous les indiquons simplement
pour montrer comment on est arrivé à écrire les équations (19), (20) d’une façon tout à
fait indépendante du problème particulier que nous devons traiter plus loin ; en aucun cas
elles ne doivent être considérées comme une démonstration de ces équations, ,dont l’adop-
tion est, répétons-le, une hypothèse.
3. L’hamiltonien du photo Soit Ele = po l’énergie d’un photon P2, P3 sa
quantité de mouvement. On a
Le procédé de Dirac consiste à linéariser (1), c’est-à-dire à la décomposer en facteurs,
à poser
(1) Cf. p. ex. G. RUMER, Z. Physik, 65 ( ~ 930), p. 247.
(2) Cf. dernièrement. RuuxR, loc. cit., V. FOCK Comptes-Rendus, ’190 (1930;, p. 1399. OPPENXEIMBR, Phys.
Revu., 38 (1931), p 72~.
1
(3) Le premier qui ait mis en oeuvre cette idée a été M. L. nE BROGLIE lui-même. Cf. Ondes et Mouvements, 1926, ch. vn et YIII, à un moment cependant où les mécaniques nouvelles n’avaient pas atteint leur déve- loppement actuel.
85 et à appliquer l’opérateur linéaire ainsi obtenu à une fonction d’onde .1 (1). Cet opérateur
sera donc
et l’hamil tonien
les ~, (r ~ 1, 2, 3) satisfaisant comme toujours à la condition
Plusieurs types d’opérateurs satisfont à ces conditions. Le il/uS (2) dérive des
matrices de Pauli
qui satisfont à
Il est défini par
On a clonc :
matrices hermitiques, el
Mais il est inutile de particulariser et, se rapportant au même système de coordonnées, employer toujour> pour les r la représentation matricielle (6"j. Il suffira dans ce qui suit
de les considérer comme des nombres hypercomplexes définis par les règles de multiplica-
tion (7) : ce sont des quater-nions el composantes conlplexes c’est-à-dire des biquaternions.
Donc l’hypothèse de départ consiste à considérer un photon comme un point dont le
mouvement est défini par un hamiltoni en
qui est un biquaternion.
A partir de cette hypothèse on peut étudier le mouvement du photon par le calcul des
opérateurs et en déduire des résultats nouveaux ; mais cela ne nous intéresse pas ici.
4. L’équation d’onde des photons. - Une fois l’hamiltonien H défini, l’équation
. d’onde s’écrit symboliquement
(1) Pour faciliter la comparaison avec les équations de Maxwell nous renoncerons pour l’instant à employer le temps imaginaire x. = i ct.
(~) Voir une discusion sur les opérateurs conduisant aux équations de Maxwell, dans RUMBR, loc. cit.
ou simplement
Mais pour passer de cette équation symbolique à des équations ordinaires, on a le choix entre deux procédés suivant la manière dont on admet que II opère sur ~.
1° 1 On peut reprendre exactement le procédé classique employé par Dirac pour son
équation; dans ce cas l’équation (S) sera équivalente à deux écluations seulement, et le ~
n’aura que dvux composantes. Cela est manifestement incorrect, parce qu’on n’obtiendrait ainsi que quatre grandeurs réelles pour décrire le champ électromagnétique ce qui expéri-
mentalement est inexact. Mais on peut raisonner suivant une autre alternative (1) :
2° On peut regarder dans l’équation (8) l’inconnue non seulement comme inconnue quant à sa dépendance des variables y, z, t, aussi quant au nombre de ses
L’équation (8) signifie qu’un biquaternion F ar)pliqué à un nombre ’f, dont le type
reste, à déterminer, donne zéro. Il est évident que dans le cas le plus général ·! sera un
flombre dit nlême type que 11’, c’est-à-dire un biquaternion. aura donc dans
cette hypothèse quatre composantes ul,, complexes en général.
On aura donc huit grandeurs réelles utilisables pour la description du champ électro- magnétique, deux de trop par rapport à la théorie classique.
Cette interprétation est plus générale que la première (2) et suffisamment raisonnable ;
c’est elle que nous adopterons Au surplus, comme nous le verrons. elle conduit à des équa-
tions qui se réduisent à celles de Maxwell lorsqu’une certaine des quatre composantes ~o est
nulle. C’est ce fait qui a amené Lanczos à déduire ces équations d’un produit de deux quaternions.
Un certain nombre d’auteurs écrivent les équations de Maxwell, en posant des équa,-
tions équivalents à 0, auxquelles ils ajoutent une condition supplémentaire qui
revient à ’~o T 0 ("). Pour nous au contraire l’apparition de ~~o, c’est-à-dire de deux gran- deurs réelles supplémentaires, est essentielle; c’est elle qui va nous permettre de trouver des résultats nouveaux.
Donc, en résumé, ~ sera un biquaternion de la forme
les 1r étant complexe, de la forme
Il est facile maintenant de remplacer l’équation /~ == 0 par les quatres équations qui
lui sont équivalentes, et que, pour abrégpr, nous appellerons équations de Lanczos. Mais
auparavant examinons l’importante question de l’invariance par rapport aux transforma- tions de Lorentz.
5. Invariance relativiste. -- Soit
’
(1) En suivant le raisonnement que nou~ avons préconisé pour l’équation de Dirac. Cf. Al. J. de
t 4 (1930), p. 2~3..
(2) Nous montrerons dans un prochain article le lien qui relie les deux interprétations.
C) En particulier, Ace. lincpi, 9 (’929), p. 881, fait au fond la, même chose.
L’idée d’utiliser les quat~rnions pour écrire "ous forme condensée les équations de Maxwell s’est présentée Si n’en a pas tiré parti; KLEIN, Über die Entwi kluîîg
lI. Springer 1921, a écrit effectivement les équations de àlaxi,-ell en utilisant le svml)olistiie des quaternion-,.
un quaternions dont les composantes réelles al’ soient les composantes d’un vecteur ct’tJni- vers, et soit l’
le quaternion qui correspond au vecteur transformé par une substitution orthogonale à quatre variables. Entre l’ et .-1 on peut écrire la relation, connue depuis Cayley
.
où S et 11 sont deux quaternions réels quelconques soumis à Punique restlicUon que la
somme des carrées de leurs composantes soit égale à l’unité
Cela signifie simplement qu’en égalant les composantes des quateru ions a’ et on
trouve précisément les relations qui définissent la substitution orthogonale la plus générale
à quatre variables et de module égal à l’unité.
Comme cas particulier prenons 7’ = AS-1 ; il vient a’o = ao. Donc
définira les substitutions orthogonales à 3 variables c’est-à-dire les rotations spatiales.
Cela étant, posons comme d’habitude x, - iet pour ramener la transformation de Lorentz à une substitution orthogonale. On peut écrire 1
les c;,, étant des quaternions. Le transformé de F’ est
Pour que l’équation
entraîne
il faut que ~’ se transforme suivant ou plus généralement, suivant:
U étant un quaternion arbitraire mais == 1.
Prenons ~7== T-1 T. Dans ce cas : -.1jo = ~ reste tandis
que
subissent une transformation du type (12).
Or, soit F,,, un tenseur antisymétrique du second rang. La grandeur ayant pour compo- santes
se transforme suiyant une loi (12), c’est-à-dire subit une rotation, ainsi qu’il est bien connu.
Si la transformation initiale est donnée par (1 i) les composantes transformés de (15) peu- vent s’écrire au moyen des quaternions (i j :
elles subissent donc la transformation (14) avec t’- T’. Donc les i Er et - HrlJeuvent
assimilés aux 6 conlpo.tantes d’un antisynlétrique s
et cela, avec l’invariance de suffit pour garantir l’invariance relativiste de l’équation
---- 0.
E et H subissent donc exactenlent les mènles lois de i»aiisfo»>?iatio>i que les champs élec- trique et magnétique de la théorie de Lorentz; il sera donc légitime de les identifier avec
ceux-ci, lorsque nous aurons écrit les équations F ~~ = 0 et constaté qu’elles ont même
structure que celle de Maxwell. D’ailleurs pour obtenir des résultats cohérents, il faut évi- demment veiller à ce que la nouvelle théorie présente la nzêlne structure que la
classique, en ce qui concerne sa dépendance dit groupe de Lorentz ; nous prendrons ce prin- cipe comme guide dorénavant.
6. Equations fondamentales pour le vide. - Effectuons le produit h’ û
Posons !,h. = L~’,~ -~- 1 H,, et utilisons la notation vectorielle classique justifiée par les résultats du paragraphe précédent ; on aura
L’indice à droite de la parenthèse indique qu’il faut prendre la composante correspondante
clu vecteur qu’elle ,contient.
L’équation F > § = 0 équivaut done aux équations
KLEIN, Vorlesungen liber die Entiveiklung der Mathernatik, II. Springer ~~. 85.
89 Sous cette forme on voit que si Eo = H, = 0, elles se réduisent aux équations de Maxwell ; il est donc légitime d’attribuer à E la signification d’un champ électrique et à H
celle d’un champ magnétique. L’invariant intervient linéairement, par son gradient, ce qui est une remarque essentielle.
’
7. Solution par des potentiels. - Par définition le quaternion conjugué de
Par exemple, puisque
on aura
Soient alors les équations fondamentales F§ ~ 0. On obtient une solution en prenant
- 4 étant un biquaternion (quaternion à composantes imaginaires)
,dont les composantes A,, satisfont aux équations réelles
En effet, on a
Les A sont les potentiels. Développons l’expression des champs. On a, en séparant dans
-4 le réel de l’imaginaire ’
Identiîions ; il vient puisque
Ceci est l’expression générale des champs en fonction des potentiels.
Pour arriver à l’expression classique en fonction d’un potentiel vecteur A et un poten-
tiel scalaire 9
on voit qu’il faut prendre
Dans ce cas que clecjiererzeut les scalaires Eo et fIQ ~’ D’après (23) on voit que l’on a
et
La
condition - -
eut + div A - 0 qu’on impose q p d’habitude depuis Lorentz dans ce genre de problèmes revient donc à poser Eo ‘ 0. Cela nous indique une interprétation de (1)Mais regardons la question de plus près.
7. Interprétation de Eo et Ho, - Pour rendre intuitive la )signification de Eo et ~
prenons une onde plane de la forme
"
les a,, étant des constantes inconnues, et 1), q, î--, W des nombres fixés. L’équation .~- 0
devisent ici
1
Séparons les parties réelles et imaginaires des - les champs de l’onde, -
Les équations (2a) sont équivalentes à (t9) et (20) dans lesquelles 0 est remplacé par
Les équations (25) sont équivalentes à (19) et (20) dans lesquelle, , x
è)x
est remplacé par (1) 1B1. DE BROGLIE dans la théorie qu’il a étudiée dans Mouvements, a également été amené iiconclure + div A # 0. Cette, expression a été appelée ampérien par M. R. FERMER qui l’aégalement
c Õ t
rencontrée dans ses recherches. CL par exemple Les nouveaux aziomes de iélectro>iique, éditioit de la
Revue générale de
91 On a donc directement en employant la notation vectorielle et écrivant p pour le vec- teur (p, q, r a :
De plus, dans l’équation (25j
nous avons le produit de deux quaternions’ égalé à zéro ; qu’il existe un quaternion tf
différent de zéro il faut que le " tenseur " de F soit nul, donc que
condition relativiste bien connue. La longueur du vecteur p est donc égale à
W.
Dans ces cconditions les relations (26) donnent l’interprétation des quantités eo et au signe près,
ce sont les projections des vecteurs électrique et magnétique de l’onde sur la direclinn de pro- pagation (voir fa figure). Les deux vecteurs e et h ne sont donc plus normaux à la direction
de propagation, comme dans la théorie classique : n’est pas transversale. Cependant
d>autres caractères subsistent. Calculons les projections OZ, 0i de e et de h sur un plan
normal à la direction de propagation.
Ir
Fig. 1.
. W - e
Le, vecteur tinitaire le long de pétant p : on a
c W
Donc
ce qui prouve que ces Ju"ojections sont peljJendiculaires entre elles. Elles sont aussi égales.
On a, en effet, d’après leur définition
et d’après ~~8~
donc OZ = OY d’une part et d’autre part
cette dernière relation obtenue en formant les produits scalaires de (27) avec e et h. (Ces
relations se déduisent plus simplement par la condition que la norme (ou le « tenseur ») de
A soit nulle
Par conséquent l’onde n’est pas transversale, mais les projections des vecteurs sur un
plan normal à la propagation sont égales, normales et disposées comme les vecteurs d’une onde lumineuse classique; cela est d’ailleurs indispensable pour qu’à la limite, pour ec _-__ ho = 0, on retombe sur les résultats connus auxquels conduisent les équations de
Maxvvell.
8. Polarisation des photons. - D’après le paragraphe précédent les vecteurs d’une onde lumineuse vibrent le long de e et h qui ont une position quelconque dans l’espace.
La normale à leur plan garde donc une direction fixe dans l’espace, que l’onde lumineuse
transporte avec elle dans sa propagation.
Donc, en dehors de sa « polarisation ~a, que nous pouvons définir par l’azimut du plan
d’un de ses vecteurs autour de la direction de propagation, une onde lumineuse détermine
une autre direction privilégiée. Cette direction correspond lnanifestement ait spin; mai
elle est définie sans faire allusion, en aucune façon, à une structure granulaire de la lumière
ou à son moment cinétique. Elle est donc indépendante des objections qu’on peut faire à la
notion de spin du photon. Il vaudrait même mieux de ne pas l’appeler « direction de spin » ;
mais comme aucune confusion n’est possible maintenant, nous continuerons à utiliser cette
expression, pour éviter les périphrases.
On peut donc dire que l’onde lumineuse est deux fois polarisée, dans le sens qu’elle
définit toujours deux directions fixes dans l’espace, dont l’une normale à la direction de
propagation. Ces deux directions sont indépendantes, c’est-à-dire deux lumières polarisées
dans le même plan au sens classique peuvent encore différer par la direction de leur spin;
en effet, en examinant la figure on voit que e et h peuvent prendre diverses positions dans
leurs plans respectifs, permises par les équations (26) et (~ i), et conduisant à des directions de spin différentes. Bien plus : pour une direction de spin et pour une « polarisation » don-
nées (c’est-à-dire le plan de e et h et l’azimut du plan ph autour de p étant donnés) on peut
avoir une infinité d’ondes possibles qui diffèrent par la longueur commune des projections
OZ = 0Y. Précisons : l’inspection des équations linéaires et homogènes (25) montre qu’il
y a deux a,, imaginaires, donc quatre qrandeui-s réelles, qui sont arbitraires. Fixons l’une d’elles par une condition de normalisation qui nous donnera par exemple l’énergie de l’onde,
ou la longueur d’un de ses vecteurs ou de sa projection; il reste trois arbitraires dont deux
93
peuvent fixer la direction du spin, tandis que la troisième définira l’azimut autour de la direction de propagation. Elles sont Lorsque l’onde est transversale le spin
se confond avec la direction de propagation et l’une des « polarisations » s’évanouit.
9. Equations adjointes et théorèmes de conservation. - L’adjoint d’un biqua-
ternion
s’écrira
l’astérisque désignant la quantité complexe conjuguée; il correspond à la matrice trans- posée et conjuguée. On a en général
et en particulier
ainsi que ~,+ _ - F à cause du facteur pour simplifier ; puisque
on aura
Il est inutile d’écrire explicitement ces équations. Suivant un procédé bien connu, multi- plions (8) par q) à gauche et (31) et par ) à droite et ajoutons; on obtient
ou
L’équation (3~) est extrêmement importante. Elle met en relief l’importance des quantités
de la forme et prouve que certaines composantes de ces quantités obéissent à des lois de conservation. sont des biquaternions de la forme
Les 0,,, sont des quantités réelles. comme on le voit en prenant les adjointes de (J3) :
L’équation quaternionienne (32) est équivalente à quatre équations réelles, chacune
d’elles exprimant la conservation d’une des grandeurs dont les composantes sont rangées
sur une même colonne du tableau des ers’
Prenons la dernière colonne et passons aux champs: on a immédiatement d’après (9)
et (30)
tandis que 1(,s autre5 composantes s’écrivent sous forme vectorielle
D’après (32’) on a
et il faut tenir compte du fait que les ri n’ont pas été normalisés et qu’il faut encore les multiplier avec un facteur constant pour réaliser cette normalisation. Avec cela, 0!,!, donne
généralisée de l’énergie du tandis que o S donne la généralisation dit
vecieiii- de L’équation (3~’~ garantit alors la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement. Si l’on prend comme facteur de normalisation 1/87. et qu’on fasse Ed = Ho == 0, on retombe comme on le doit, sur les expressions classiques
Les autres composantes 0,,,, donnent les valeurs des tensions de Maxwell géné- ralisées ; nous ne nous y arrêterons pas, pas plus que nous n’insisterons sur les consé- quences que peut avoir l’expression (34) de l’énergie. Ce qui est important pour l’instant,
c’est le rôle de l’expression (32). Ecrivons-la autrement, en introduisant la coordonnée habituelle r; = ict, pour faciliter des comparaisons utiles par la suite. On a
donc
les 7~ étant donnés par le tableau suivant :
On peut s’assurer que ses composantes forment un tenseur du second rang; c’est ce tenseur qui généralise le tenseur classique de la théorie de Lorentz.
10 Equations fondamentales pour une distribution d électricité donnée. - Les équations de Maxwell pour le cas d’une charge p et d’un courant j ne diffèrent de celles du vide que par leurs seconds membres. Nous allons donc prendre, nous aussi, au lieu de F ’f = 0 des équations du type
