s6,1 : séries entières (variable complexe)
I Exercices ccp
Analyse 19
1. Démontrer que la sérieXzn
n! est absolument convergente pour toutz∈C. 2. On pose :∀z∈C, f(z) =
+∞
X
n=0
zn n! .
Démontrer que∀(z, z0)∈C2,f(z)×f(z0) =f(z+z0), sans utiliser le fait que f(z) =ez.
3. En déduire que :∀z∈C, f(z)6= 0et 1
f(z) =f(−z).
Analyse 20
1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
2. Calculer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : (a) X(n!)2
(2n)!z2n+1. (b) X
n(−1)nzn
Analyse 21
1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
2. Soit(an)n∈N une suite bornée telle que la sérieX
an diverge.
Quel est le rayon de convergence de la série entièreX
anzn? Justifier.
3. Quel est le rayon de convergence de la série entière X
n>1
√n(−1)n ln
1 + 1
√n
zn?
II Autres exercices
Exercice 1(Oral Centrale).
1. Pourxréel et x≥ −1, on pose f(x) =√
1 +x. Rappeler le développement en série entièreX
anxn def autour de0et son rayon de convergenceR. Montrer que
∀x∈[−R, R] f(x) =
+∞
X
n=0
anxn
2. SoitD ={z ∈ C ; |z| ≤ R}. Pour z ∈D, on pose h(z) =
+∞
X
n=0
anzn. Justifier quehest bien définie surD, et qu’elle y est continue.
3. Calculerh2
Exercice 2(Très classique, à comprendre).
SoitPanzn une série entière de rayon de convergenceR strictement positif. On note f sa somme. Soitrun élément de[0, R[.
1. Démontrer que, pour tout entier natureln: an = 1
2πrn Z 2π
0
f(reiθ)e−inθdθ
2. On note alorsM(r) = sup
|z|=r
|f(z)|. Justifier l’existence deM(r), et majorer |an| à l’aide der,n,M(r).
3. Que peut-on dire d’une série entière dont le rayon de convergence est infini et dont la somme est bornée ?
Exercice 3 (Ulm-Lyon-Cachan). Soit des séries entières Panzn et Pbnzn de rayons de convergence non nuls, de sommes respectivesf(z)etg(z).
1. Montrer que le rayon de convergence dePanbnzn est non nul. On noteh(z)la somme de cette série entière.
2. Montrer l’existence d’un voisinageV de0dansCtel que
∀(z, z0)∈V2 h(zz0) = 1 2π
Z 2π
0
f(zeiθ)g(z0e−iθ)dθ
Exercice 4(Oral Centrale ; classique : développement en série entière d’une fonction rationnelle).
1. Soit a un nombre complexe non nul. Montrer que la fonction z 7→ 1/(z−a) est développable en série entière sur un disque ouvert centré en 0. Donner ce développement, et son rayon de convergence.
2. En déduire que, sim est un entier naturel non nul eta un complexe non nul, z 7→ 1/(z−a)m est développable en série entière sur D(0,|a|). Calculer les coefficients de ce développement.
3. SoitF une fraction rationnelle complexe n’admettant pas 0 pour pôle. En uti- lisant la décomposition en éléments simples deF, démontrer que F est déve- loppable en série entière au voisinage de 0. Quel est le rayon de convergence de cette série entière ? (on l’exprimera en fonction des modules des pôles deF) 4. On écritF sou forme irréductible :F =P/Q. En écrivantQF =P, démontrer
que la suite des coefficients du développement en série entière deF vérifie, à partir d’un certain rang, une relation de récurrence linéaire.
5. Pour n ∈ N, soit an le nombre de solutions de l’équation x+ 2y + 5z = n, d’inconnue(x, y, z)∈N3. Montrer, si|z|<1, que
1
(1−z)(1−z2)(1−z5) =
+∞
X
n=0
anzn
6. Donner un équivalent dean quandn→+∞.
Exercice 5 (Oral X, classique : développement en série entière d’une fonction rationnelle).
1. SoitR(X) une fraction rationnelle n’admettant pas 0 pour pôle. Montrer que x7→R(x)est développable en série entière. Quel est le rayon de convergence du développement ? On poseR(x) =
+∞
X
n=0
unxn. Montrer que la suite(un)vérifie, à partir d’un certain rang, une relation de récurrence linéaire.
2. Soit (un) une suite vérifiant, à partir d’un certain rang, une relation de ré- currence linéaire. Montrer que la série X
unxn a un rayon de convergence strictement positif et que sa somme est une fonction rationnelle.
Exercice 6 (Oral Paris-Lyon-Cachan, dénombrement et série génératrice).
Soit p ∈ N∗, a1, . . . , ap des éléments de N∗ premiers entre eux dans leur ensemble.
Pourn∈N, soitVn le nombre de(x1, . . . , xp)deNp tels que
p
X
i=1
aixi=n.
1. Siz est un complexe de module<1, calculer
+∞
X
n=0
Vnxn. 2. Donner un équivalent deVn.
Exercice 7(Oral X). Soit(an)une suite décroissante de réels. On pose, si|z|<1,
f(z) =
+∞
X
n=0
anzn
Montrer que, pour|z|<1, on af(z)6= 0.
Exercice 8 (Oral Paris, Lyon, Cachan). Soit f la somme d’une série entière de rayon de convergence infini.
1. Peut-on déduiref de la connaissance de sa restriction au cercle de centre O et de rayonR >0?
2. Peut-on déduire f de la connaissance de la restriction de sa partie réelle au cercle de centreOet de rayon R >0?
III Utilisation de la sommabilité
Exercice 9(Analyticité d’une somme de série entière). SoitPanzn une série entière de rayon de convergenceR >0. On notef sa somme, définie surD(0, R). Soit a un point de ce disque ouvert. En utilisant une série double, démontrer qu’il existe une suite(bn)telle que, pour tout nombre complexehtel que |h|< R− |a|,
f(a+h) =
+∞
X
n=0
bnhn
(on développera les(a+h)k dans l’écriture def(a+h)par la formule du binôme)
Exercice 10 (Première question d’un problème des Mines !). Démontrer que la fonctionx7→exp(expx)est développable en série entière surR.
