J. Stubbe Mesure et int´egration

J. Stubbe Mesure et int´egration 2006-2007, semestre d’hiver

Solutions de la s´eance d’exercices 1 : Int´egrale de Riemann

Rappel :

Soient f une fonction born´ee et σ = {a₀ = a < a1 < · · · < an = b} une subdivision de [a, b]. On note : mk = inf{f(x), x ∈]a_k−1, ak[} et M_k = sup{f(x), x ∈]a_k−1, a_k[}. On appelle somme de Riemann inf´erieure relativement `a σ la quantit´e : S^σ_f := Pn

k=1m_k(a_k −a_k−1). De mˆeme, la somme sup´erieure de Riemann de f relativement `a σ est ´egale `a S^σ_f :=

Pn

k=1Mk(ak −a_k−1). La somme inf´erieure de Riemann de f est d´efinie par : S_f = sup_σS^σ_f. La somme sup´erieure de Riemann de f est d´efinie par : S_f = inf_σS^σ_f.

D´efinition 1 Une fonction f est Riemann-int´egrable sur [a, b] si S_f = S_f. L’int´egrale de f sur [a, b] est alors d´efinie par : Rb

a f(x)dx = S_f = Sf.

Th´eor`eme 1 Une fonction f born´ee est int´egrable au sens de Riemann sur [a, b] si et seulement si pour tout ε > 0, il existe une subdivision σ de [a, b]

telle que

S^σ_f ≤S^σ_f +ε.

1 Propri´et´es de l’int´egrale de Riemann

Exercice 1 1. Soit ε > 0 donn´e. Puisque f est Riemann-int´egrable sur [a, b], il existe une subdivision σ₁ = {a₀ = a < a₁ < · · · < a_n = b}

de [a, b] telle que S^σ_f¹ ≤ S^σ_f¹ + ₂^ε. Puisque g est Riemann-int´egrable sur [a, b], il existe une subdivision σ₂ = {b₀ = a < b₁ < · · · < b_p = b} de [a, b] telle que S^σ_g² ≤ S^σ_g² + ₂^ε. On note σ₁ ∪ σ₂ = {c₀ = a < c₁ < · · · <

c_q−1 < c_q = b} la subdivision de [a, b] obtenue en ordonnant l’ensemble {a₀, . . . , a_n, b₀, . . . , b_n} par ordre croissant, puis en identifiant les points qui apparaissent plusieurs fois (on obtient une subdivision de [a, b] en q intervalles avec max{n, p} ≤ q ≤ n + p). Puisque σ1 ∪ σ2 est une subdivision plus fine que σ1, on a :

S^σ_f^1∪σ2 ≤ S^σ_f¹ et S^σ_f¹ ≤ S^σ_f^1∪σ2. (1) De mˆeme,

S^σ_g^1∪σ2 ≤ S^σ_g² et S^σ_g² ≤ S^σ_g^1∪σ2. (2) De plus, sur un intervalle ]c_k−1, c_k[ donn´e, on a :

sup{f(x) +g(x), x ∈]c_k−1, c_k[} ≤ sup{f(x), x ∈]c_k−1, c_k[}

+ sup{g(x), x ∈]c_k−1, c_k[}.

De mˆeme :

inf{f(x) +g(x), x ∈]c_k−1, c_k[} ≥ inf{f(x), x ∈]c_k−1, c_k[}

+ inf{g(x), x ∈]c_k−1, c_k[}.

On en d´eduit que :

S^σ_f¹_+g^∪σ2 ≤ S^σ_f^1∪σ2 + S^σ_g^1∪σ2, (3) et

S^σ_f^1∪σ2 + S^σ_g^1∪σ2 ≤ S^σ_f¹_+g^∪σ2. (4) En utilisant les in´egalit´es (1), (2), (3) et (4), il vient alors :

S^σ_f¹_+g^∪σ2 ≤ S^σ_f¹ +S^σ_g² ≤ S^σ_f¹ +S^σ_g² +ε ≤ S^σ_f¹_+g^∪σ2 +ε.

D’apr`es le th´eor`eme 1, on en d´eduit que f+g est Riemann-int´egrable sur [a, b]. De plus, de l’in´egalit´e

S^σ_f¹ +S^σ_g² ≤ S^σ_f¹_+g^∪σ2, on d´eduit que

sup

σ₁,σ₂

S^σ_f¹ +S^σ_g²

≤ sup

σ₁,σ₂

S^σ_f¹_+g^∪σ2. Or

sup

σ₁,σ₂

S^σ_f¹ + S^σ_g²

= sup

σ₁

S^σ_f¹ + sup

σ₂

S^σ_g² = Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx et

sup

σ1,σ2

S^σ_f¹_+g^∪σ2 = sup

σ

S^σ_f+g = Z b

a

(f(x) + g(x)) dx.

Ainsi

Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx ≤ Z b

a

(f(x) +g(x)) dx.

De mˆeme, l’in´egalit´e

S^σ_f¹_+g^∪σ2 ≤ S^σ_f¹ +S^σ_g² implique Rb

a (f(x) +g(x)) dx ≤ Rb

a f(x)dx + Rb

a g(x)dx. En conclusion, Rb

a (f(x) +g(x)) dx = Rb

a f(x)dx+Rb

a g(x)dx.

2. · Pour λ = 0 il n’y a rien a d´emontrer.

· Si f est Riemann-int´egrable sur [a, b] et λ >0, alors pour tout subdivi- sion σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} de [a, b], on a :

inf{λf(x), x ∈]ak−1, ak[}= λinf{f(x), x ∈]ak−1, ak[} sup{λf(x), x ∈]a_k−1, a_k[}= λsup{f(x), x ∈]a_k−1, a_k[}.

Par cons´equent, S^σ_λf = λS^σ_f et S^σ_λf = λS^σ_f. On en d´eduit que sup

σ

S^σ_λf = λsup

σ

S^σ_f = λ Z b

a

f(x)dx = λinf

σ S^σ_f = inf

σ S^σ_λf.

En conclusion, λf est Riemann-int´egrable et Rb

a λf(x)dx = λRb

a f(x)dx.

· Si f est Riemann-int´egrable sur [a, b] et λ <0, alors pour tout subdivi- sion σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} de [a, b], on a :

inf{λf(x), x ∈]a_k−1, a_k[} = λsup{f(x), x ∈]a_k−1, a_k[} sup{λf(x), x ∈]a_k−1, a_k[}= λinf{f(x), x ∈]a_k−1, a_k[}.

Par cons´equent, S^σ_λf = λS^σ_f et S^σ_λf = λS^σ_f. On en d´eduit que sup

σ

S^σ_λf = λinf

σ S^σ_f = λ Z b

a

f(x)dx = λsup

σ

S^σ_f = inf

σ S^σ_λf. En conclusion, λf est Riemann-int´egrable et Rb

a λf(x)dx = λRb

a f(x)dx.

3. Soient f et g deux fonctions Riemann-int´egrables sur [a, b] telles que, pour tout t ∈ [a, b], f(t) ≤ g(t). Soit σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} une subdivision de [a, b]. Alors

inf{f(x), x ∈]a_k−1, a_k[} ≤ inf{g(x), x ∈]a_k−1, a_k[}.

Il en d´ecoule que

sup

σ

S^σ_f ≤ sup

σ

S^σ_f, c’est-`a-dire Rb

a f(x)dx ≤ Rb

a g(x)dx.

4. Soit{f_i}_i∈N une suite de fonctions Riemann-int´egrables, qui converge uni- form´ement vers f sur [a, b]. Soit ε > 0 donn´e. Il existe N > 0 tel que

∀i > N, sup_[a,b]|f_i(t)−f(t)|< ε. En particulier,f_i(t)−ε < f(t) < f_i(t)+ε.

Pour un tel i, on en d´eduit que pour toute subdivision σ = {a₀ = a <

· · · < an = b}, on a sup

]ak−1,ak[

f ≤ sup

]ak−1,ak[

f_i +ε et inf

]a_k−1,a_k[f ≥ inf

]a_k−1,a_k[f_i−ε En particulier :

sup

]ak−1,ak[

f − inf

]a_k−1,a_k[f ≤ sup

]ak−1,ak[

f_i− inf

]a_k−1,a_k[f_i + 2ε.

Il en d´ecoule que :

S^σ_f −S^σ_f ≤ S^σ_fi −S^σ_fi + 2ε(b−a).

Comme fi est Riemann-int´egrable, d’apr`es le th´eor`eme 1, il existe une subdivision σ de [a, b] telle que S^σ_f

i −S^σ_f

i ≤ε. On en d´eduit que S^σ_f −S^σ_f ≤ε(1 + 2(b−a)),

ce qui implique que f est Riemann-int´egrable.

2 Quelles sont les fonctions Riemann-int´egrables ?

Exercice 2 Soit f une fonction croissante [a, b]. Pour montrer que f est Riemann-int´egrable, il suffit de trouver, pour tout ε > 0 donn´e, une sub- division de [a, b] telle que S^σ_f −S^σ_f < ε. Soit σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} la subdivision r´eguli`ere de [a, b], de pas ^b−a_n

. On a inf

]a_k−1,a_k[f = f(a_k−1) et sup

]ak−1,ak[

f = f(a_k).

Ainsi :

S^σ_f −S^σ_f =

n

X

k=1

(a_k −a_k−1) (f(a_k)−f(a_k−1))

=

b−a n

ⁿ X

k=1

(f(a_k)−f(a_k−1))

=

b−a n

(f(b)−f(a)).

Pour n assez grand, la subdivision r´eguli`ere de [a, b] satisfait S^σ_f − S^σ_f < ε.

D’autre part, sig est d´ecroissante, f = −g est croissante, donc g est Riemann- int´egrable par l’exercice 1.1 avec λ = −1.

Exercice 3 Une fonction f continue sur [a, b] est uniform´ement continue sur [a, b]. En particulier, pour tout ε > 0, il existe n > 0 tel que

|x−y| <

b−a n

⇒ |f(x)−f(y)| < ε.

Soit σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} la subdivision r´eguli`ere de [a, b], de pas

b−a n

. On a :

sup

]ak−1,ak[

f − inf

]a_k−1,a_k[f ≤ 2ε.

Il vient alors :

S^σ_f −S^σ_f ≤

b−a n

ⁿ X

k=1

2ε = (b−a)2ε,

ce qui permet de conclure grˆace au th´eor`eme 1 que f est Riemann-int´egrable sur [a, b].

Exercice 4 1. Consid´erons la fonction f : [0,1] →R d´efinie par : f(x) =

1 si x ∈ Q

0 si x ∈ R\Q . Pour toute subdivision σ de [a, b], on a :

S^σ_f = 1 et S^σ_f = 0.

On en d´eduit que 1 = sup_σS^σ_f 6= inf_σS^σ_f = 0, ce qui implique que f n’est pas Riemann-int´egrable sur [0,1].

2. Consid´erons la fonction g :]0,1] →R d´efinie par : g(x) =

1

q si x = ^p_q avec p et q premiers entre eux 0 si x ∈ R\Q

. Pour toute subdivision σ de [a, b], on a :

S^σ_g = 0.

Pour tout ε > 0 donn´e, la fonction g prend des valeurs sup´erieures `a ε en un nombre fini de points seulement (les points ^k_q, avec ¹_q > ε). Notons xi, i = 1, . . . , p ces points ordonn´es par ordre (strictement) croissant. On a p≤ _ε¹2. Notons ´egalement δ le minimum de la distance entre deux de ces points. Consid´erons la subdivision σ = {a₀ = a < · · · < a_2p = b} d´efinie par a_2k−1 = x_i −min(^δ₃, ε³) pour k = 1, . . . , p, a_2k = x_i+ min(^δ₃, ε³) pour k = 1, . . . , p−1, et a_2p = b. Alors :

S^σ_g ≤ ε+pmin δ

3, ε³

≤ ε+ 1

ε²ε³ ≤ 2ε.

On en conclut que g est Riemann-int´egrable sur [0,1].

Exercice 5 (facultatif ) cf Andr´e Gramain, Int´egration, p 7. Une copie vous sera distribu´ee.

3 Peut-on intervertir limite et int´egrale ?

Exercice 6 Pour tout n ∈ N, on d´efinit fn : [0,1] → R par : fn(x) = ne^−nx. Pour tout x ∈]0,1], on a lim_n→+∞f_n(x) = lim_n→+∞ne^−nx = 0. On en d´eduit que la suite de fonctions f_n converge ponctuellement (ou simplement) vers la fonction identiquement nulle f ≡ 0. On a Rb

a f(x)dx = 0 mais Z b

a

f_n(x)dx = 1−e⁻ⁿ, et lim_n→+∞Rb

a fn(x)dx = 1. La suite (fn)_n∈R ne converge pas uniform´ement vers f sur ]0,1], car pour tout ε > 0, et pour tout n ∈ N, on a :

sup

]0,−_n¹log(n^ε)^[

|f_n(x)−f(x)| > ε.

4 Applications

Exercice 7 Soit f : [a, b] →R une fonction int´egrable au sens de Riemann.

Consid´erons la subdivision r´eguli`ere σ = {a₀ = a < · · · < a_n = b} de [a, b].

On a : a_k = a+k^b−a_n et m_k ≤ f a+k^b−a_n

≤ M_k. On en d´eduit : S^σ_f ≤

b−a n

ⁿ X

k=1

f

a+ kb−a n

≤ S^σ_f,

d’o`u il d´ecoule que : Z b

a

f(x)dx= lim

n→+∞

b−a n

ⁿ X

k=1

f

a+kb−a n

.

On a : a) lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

tan k

n = −log(cos 1) b) lim_n→+∞Pn k=1

n

n²+k² = ^π₄ c) lim

n→+∞

n

X

k=1

log

n n+k

_n¹

= −2 ln 2 + 1.

Exercice 8 1.

b

Z

a

f(a+b−x)dx = −

b

Z

a

f(a+b−x)(a+b−x)⁰dx

= −

ϕ(b)

Z

ϕ(a)

f(t)dt = −

a

Z

b

f(t)dt =

b

Z

a

f(t)dt

o`u ϕ : [a, b] →[a, b], ϕ(x) = a+b−x est une fonction de classe C¹. 2. a)

I :=

π

Z

0

xsinx

1 + cos²xdx =

π

Z

0

(π −x) sin(π−x) 1 + cos²(π−x) dx =

π

Z

0

(π−x) sinx 1 + cos²x dx

= π

π

Z

0

sinx

1 + cos²xdx−I

I = π 2

π

Z

0

sinx

1 + cos²xdx = −π 2

π

Z

0

(cosx)⁰

1 + cos²xdx = −π 2

ϕ(π)

Z

ϕ(0)

1 1 +t²dt

= −π 2

−1

Z

1

1

1 +t²dt= π 2

1

Z

−1

1

1 +t²dt= π² 4 . o`u ϕ : [0, π] →[−1,1], ϕ(x) = cosx est une fonction de classe C¹.

b)

J :=

π/4

Z

0

log(1 +tgx)dx=

π/4

Z

0

log

1 +tg(π 4 −x)

dx

=

π/4

Z

0

log

1 + 1−tgx 1 +tgx

dx =

π/4

Z

0

log

2 1 +tgx

dx = π

4 log 2−J d’o`u la valeur de l’int´egrale est J = ^π₈ log 2.