Exercices
Exercice 1 : Solution page4
Entourer sur l’énoncé la ou les bonnes réponses (sans justification).
1) La suiteudéfinie sur IN parun= (−2)n
a) converge b) diverge c) diverge vers +∞ d) diverge vers−∞
2) La suitevdéfinie sur IN\ {0}parvn= 1−1
a) converge vers 1 b) diverge vers +∞n c) diverge vers−∞ d) converge vers 0 3) La suitewdéfinie sur IN parwn=n2+ 1
a) converge vers 1 b) diverge vers +∞ c) diverge vers−∞ d) converge vers 100000 4) Soit (un) une suite, on note pour toutnde IN,Sn=u0+u1+u2+· · ·+un. AlorsSn+1−Sna
pour valeur :
a)un−1 b)un c)un+1 d)un+1−u0
5) On reprend les mêmes suites qu’au 4). Si la suiteSnest croissante alors pour toutn∈IN on doit avoir
a)un≥0 b)un≤0 c) (un) croissante d) (un) décroissante
Exercice 2 : Solution page4
On considère la suite (un) définie pour toutn∈IN parun=n2−n.
1) Calculeru0,u10etu50.
2) Exprimerun−1,un+1etu2nen fonction den.
3) Démontrer que le suite (un) est croissante.
Exercice 3 : Solution page4
Calculer les 4 premiers termes de la suite ci-dessous :
• v0=−3 etvn+1= 5vn−3 pour toutn∈IN.
Exercice 4 : Solution page4
Soit (un) la suite définie pour toutn∈IN parun= 2n(n2−1).
1) Calculeru0etu1.
2) Démontrer que pour toutn∈IN,un+1−un= 2n
n2+ 4n+ 1 . 3) En déduire les variations de la suite (un).
Exercice 5 : Solution page4
Un patient est soigné par injection d’une substance médicamenteuse dans le sang.
Au temps t = 0, on lui injecte 1,8 unités de produit, qui est peu à peu assimilé par l’orga- nisme, à raison de 30% par heure.
Toutes les heures suivantes, on lui réinjecte 1,8 unités de produit.
supérieure à 5,5 unités de produit.
Pour tout entier n, on note cn la quantité de substance médicamenteuse présente dans le sang au bout denheure. Ainsic0 = 1,8.
1) Justifier que pour tout entiernon acn+1= 0,7cn+ 1,8 2) Calculerc1,c2etc3.
3) Avec votre calculatrice, conjecturer les variations de (un) ainsi que sa limite. Faut-il arrê- ter d’injecter le produit à un moment ? Si oui, au bout de combien d’heures ?
4) Soit (dn) la suite de terme généraldn=cn+1−cn.
a) Montrer que pour tout entiernon adn+1= 0,7dn. On admettra alors que∀n∈IN, dn= 1,26×0,7n.
b) En déduire les variations de la suite (cn).
5) En utilisant votre calculatrice, proposer une quantité de produit à injecter toutes les heures de façon à respecter les contraintes.
Exercice 6 : Solution page4
A partir d’un carré de côtéu0= 5, on construit les carrés de côtésu1,u2,u3,. . .,un,un+1en rajoutant des segments de longueur 1 comme indiqué sur la figure.
Calculeru15.
u n u n+1
1
1 1 1
Une valeur approchée à 10−2près sera acceptée.
Exercice 8 : Solution page5 Combien faut-il de briques de Lego pour fabriquer cette pyramide creuse de n briques de haut à base carrée denbriques de côté ?
PROOFS WITHOUT WORDS
The Number of Bricks in a Ziggurat
B E N B L U M S O N
National University of Singapore Singapore 119077 benblumson@nus.edu.sg
J A R I N A H J A B B A R
CAE Malaysia 47160 Puchong, Selangor jarinah@cae.my
Theorem 1. The number of square bricks in a hollow ziggurat n stories high and of base width n is n
2+ (n − 1 )
2.
Figure 1
Remark. Recall that a centered square number is one that can be formed by placing one dot to serve as a center, and then by surrounding that center with square lay- ers. Figure 2a is a well-known visual proof that such a centered square is the sum of
Math. Mag.93(2020) 226–227.doi:10.1080/0025570X.2020.1720495c Mathematical Association of America MSC: 51E99
Color versions of one or more of the figures in the article can be found online atwww.tandfonline.com/umma.
226
Solution exercice1:
1) b) car 2npeut être aussi grand que l’on veut. Le signe−signifie queunalterne les signes.
2) a) car 1/nse rapproche de 0 quandntend vers l’infini.
3) b) carn2>0 devient aussi grand que l’on veut.
4) c) carSn+1−Sn=u0+u1+· · ·+un+un+1−(u0+u1+· · ·+un) =un+1.
5) a) car Sn+1−Sn = un+1 ≥ 0. Ainsi (un) peut être croissante ou décroissante à partir du moment qu’elle est bien positive.
Solution exercice2:
1) On remplacenpar le nombre indiqué :u0= 0 ;u10= 90 etu50= 2450.
2) un−1 = (n−1)2−(n−1) =n2−3n+ 2 puis un+1= (n+ 1)2−(n+ 1) =n2+n et enfin u2n = (2n)2−2n= 4n2−2n.
3) On doit trouver le signe de un+1−un = n2+n−(n2−n) = 2n. Mais n est positif. Donc un+1−un≥0. Ainsi la suite (un) est croissante.
Solution exercice3: On calcule successivementv1= 5×(−3)−3 =−18. Puisv2= 5×(−18)− 3 =−93. De même,v3=−468 etv4=−2343.
Solution exercice4: 1) u0=−1 etu1= 0.
2) un+1−un= 2n+1
(n+ 1)2−1
−2n(n2−1) = 2n×2(n2+ 2n)−2n(n2−1). On factorise alors par 2n. Par suite,un+1−un= 2n(2n2+ 4n−n2+ 1) = 2n
n2+ 4n+ 1
3) Il suffit de trouver le signe de la différence précédente. Comme 2n>0 etn2+ 4n+ 1>0 (c’est une somme de termes positifs) alorsun+1−un>0. Le suite (un) est donc croissante.
Solution exercice5:
1) 30% du produit disparaît donc il en reste 70% d’où le 0,7cn. Le +1,8 vient du fait que l’on injecte chaque heure 1,8 unité de produit.
2) Comme dans l’exercice 3,c1= 3,06 ;c2= 3,94 etc3= 4,56.
3) D’après la calculatrice, la suite converge vers 6 en croissant. Il faut arrêter les injections au bout de 5h caru6= 5,51.
4) a) dn+1=cn+2−cn+1= 0,7cn+1+ 1,8−(0,7cn+ 1,8) = 0,7cn+1−0,7cn= 0,7(cn+1−cn) = 0,7dn. b) Pour trouver les variations les variations de (cn) il suffit de trouver le signe decn+1−cn c’est à dire ded . Maisd = 1,26×0,7n. Sachant que 1,26>0 et 0,7n>0 alors d >0.
Solution exercice7:
Méthode 1 : (sans Python) Chaque convive sert 99 mains. Comme il y a au total 100 convives, cela fait un total de 100×99 = 9900 poignées de mains échangées. Mais attention, chaque poignées de mains a été comptée deux fois. Il n’y a donc en réalité que 9900
2 = 4950 poignées de mains échangées.
Méthode 2 : (avec Python) Le premier convive sert 99 mains. Le deuxième sert 98 mains puisque la main du premier convive a déjà été comptée. Le troisième convive sert 97 mains puisque les mains des premier et deuxième convives ont également déjà été comptées. Etc, ...
Au total, on dénombre 99 + 98 + 97 +· · ·+ 1 + 0 poignées de mains échangées. Un programme en Python nous donne la réponse : 4950.
1 S = 0
2 for i in range(99 ,0 , -1) :
3 S = S + i
4 print(S)
Rappel : la fonctionrangeen Python peut accepter trois paramètres :range(début,fin,pas) où les paramètres sont des entiers pouvant être négatifs.
Evidemment, on peut faire la somme à l’endroit puisque 99+98+97+· · ·+1 = 1+2+· · ·+98+99.
1 S = 0
2 for i in range(1 ,100) :
3 S = S + i
4 print(S)
On peut aussi faire le calcul en une ligne de Python :
1 print(sum(range(1 ,100) ))
Remarque : On a donc 1 + 2 +· · ·+ 99 = 99×100
2 . On a en effet calculé la même chose de deux manières.
On peut appliquer le même raisonnement avecnconvives. On déduit alors 1 + 2 +· · ·+n=n(n+ 1)
2 .
Formule que l’on retrouvera plus tard dans un autre chapitre sur les suites en employant une troisième méthode.
Solution exercice8: n2+ (n−1)2 car
PROOFS WITHOUT WORDS
The Number of Bricks in a Ziggurat
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Theorem 1. The number of square bricks in a hollow ziggurat n stories high and of base width n is n
2+ (n − 1 )
2.
Figure 1
Remark. Recall that a centered square number is one that can be formed by placing one dot to serve as a center, and then by surrounding that center with square lay- ers. Figure 2a is a well-known visual proof that such a centered square is the sum of
Math. Mag.93(2020) 226–227.doi:10.1080/0025570X.2020.1720495c Mathematical Association of America MSC: 51E99
Color versions of one or more of the figures in the article can be found online atwww.tandfonline.com/umma.
On vient donc de démontrer que 1 + 4 + 8 + 12 +· · ·+ 4(n−1) =n2+ (n−1)2 D’après Ben Blumson & Jarinah Jabbar, Mathematics magazine, 2020, 93(3).
