1`ere S 11 DST 4 12 d´ecembre 2014 Dur´ee 1 heure. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et pr´enom :
Exercice 1 : ´Equations et In´equations (4 points) R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes.
(E1) : x2−2x= 0 (E2) :−2x2+ 9x+ 5 = 0 (I1) :−2x2+ 3x+ 2>0
Exercice 2 : Questions de cours (4 points)
Soit u une suite arithm´etique de raison r et de premier terme u0. (1) Donner la formule donnant :
n
X
k=0
uk
(2) D´emontrer cette formule.
(3) Calculer :
20
X
k=0
(2k+ 5)
Exercice 3 : Quelques exercices techniques (4 points) (1) Soit (un) une suite arithm´etique de raison 3 tel queu3= 5.
a. Exprimer u en fonction de n.
b. D´eterminer
25
X
k=3
uk
(2) Soit (vn) une suite g´eom´etrique de raison 2 tel que v5 = 5 a. Exprimer v en fonction de n
b. D´eterminer
15
X
k=5
vk
Exercice 4 : ´Etude d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique (6 points) La suite (un) est d´efinie, pour tout entier naturel n par : u0 = 3 et un+1 = u4n + 3
Partie A : ´etude de la suite
(1) Calculer u1,u2,u3. La suite (un) est-elle arithm´etique ? G´eom´etrique ? (2) On pose pour tout entier natureln,vn=un−4 Prouver que la suite (vn)
est g´eom´etrique.
(3) En d´eduire que un=− 14n
+ 4
Partie B : Calcul alg´ebrique des 100 premiers termes (1) D´eterminer
100
X
k=0
− 1
4 k
(2) En d´eduire
100
X
k=0
uk
Partie C : Calcul de la somme par algorithme
Compl´eter l’algorithme suivant pour qu’il calcul les 100 premiers termes deu.
U prend la valeur 3 S prend la valeur . . . Pour I variant de. . . `a . . .
U prend la valeur. . . S prend la valeur. . . Fin Pour
Afficher le nombre . . .
Exercice 5 : Questions ouvertes (2 points)
On consid`ere la suite d´efinie par :u0= 1, u1= 2 etun+2 = 52un+1−32un,pour tout entiern deN.
(1) Soit (vn) la suite d´efinie par vn=un+1−un. Quel est le type de (vn) ? (2) En d´eduire l’expression de (un) en fonction de n.
