Espaces de Hilbert
1 Projections sur une partie ferm´ ee convexe
Th´eor`eme (projection sur un convexe ferm´e). Soit H un espace de Hilbert etC une partie non vide, convexe et ferm´e de H. Pour tout x ∈ H il existe un unique point de C, not´e PC(x), tel que kx−PC(x)k= dist(x, C).
Th´eor`eme (projection sur un sous-espace ferm´e). Soit M un sous-espace ferm´e d’un espace de Hilbert. Alors la projectionPM surM, d´efinie comme ci-dessus, est lin´eaire, continue de norme ´egale `a 1.
De plus, pour tout x∈H,PM(x) est l’unique ´el´ement de M tel que ∀y ∈M, hx−PM(x), yi= 0. De plus, Id−PM est la projection surM⊥={x∈H:hx, yi= 0,∀y∈M}.
Exercice 1 SoitE=`2 etA={an:n∈N∗}avecan = (1 +n1)en o`uenest l’´el´ement de`2 dont toutes les coordonn´ees sont nulles sauf la ni`eme qui vaut 1.
a) Montrer que 0 n’a pas de projection surA.
b) V´erifier queAest ferm´e.
Exercice 2 Consid´eronsX =C([0,1],R), muni de la norme
kfk:=kfk∞+ Z 1
0
|f(t)|dt, f ∈X,
etF :={f ∈X :f(0) = 0}. On note1la fonction constante ´egale `a 1.
a) V´erifier queF est une partie convexe, ferm´ee deX.
b) Calculer dist(1, F). Est-ce que1poss`ede une projection surF?.
Exercice 3 Soient H un espace de Hilbert et A une partie convexe, ferm´ee de H. Montrer que la projectionad’un pointxsur Aest caract´eris´ee par l’in´egalit´e suivante :
<ehx−a,y−ai60, ∀y∈A.
Montrer que pour tous (x, y)∈H×H ayant pour projection surAles pointsaetbrespectivement, on a ka−bk6kx−yk.
Nous allons `a pr´esent calculer explicitement l’expression de certaines projections d’un espace de Hilbert sur un convexe ferm´e non vide.
Exercice 4 SoitH un espace de Hilbert.
a) SoitA=B(0,1], la boule unit´e ferm´ee deH. CalculerPA(x) pour toutx∈H.
b) Soit {a1,· · ·, an} une famille orthonormale et soit A le sous-espace vectoriel de H engendr´e par {a1,· · ·, an}. CalculerPA(x) pour toutx∈H.
Exercice 5 Soit (Fn)n>1une suite d´ecroissante de convexes, ferm´es d’un espace de HilbertH,F16=H.
On suppose queF =∩n>1Fn6=∅et soitx /∈F1. On consid`ere enfinxn la projection dexsurFn,n>1.
a) SoientC1 et C2 deux convexes ferm´es non vides tels que C1 ⊂C2. Montrer, `a l’aide de l’identit´e du parall´elogramme, que pour tout x∈H, on a
kPC1(x)−PC2(x)k2≤2(d(x, C1)2−d(x, C2)2).
b) Montrer que (xn)n>1 est une suite de Cauchy.
c) En d´eduire que (xn)n>1 converge versx0, la projection dexsurF.
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Exercice 6 Montrer que siAetBsont deux sous-espaces vectoriels ferm´es et orthogonaux d’un espace de HilbertH, alorsA+B est ferm´e.
Exercice 7 SoientH un espace de Hilbert etp∈ L(H).
a) Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) il existe un sous-espace vectoriel ferm´eF deH tel quep=pF (projecteur orthogonal de H surF) ;
(ii) p2=pethp(x), yi=hx, p(y)i,∀(x, y)∈H2 (i.e.p∗=p).
b) Montrer que ces assertions sont encore ´equivalentes aux suivantes : (iii) p2=petkpk= 1 ;
(iv) p2=pethp(x),(Id−p)(x)i= 0,∀x∈H.
Exercice 8 Soient H un espace de Hilbert, Eet F deux sous-espaces vectoriels ferm´es deH,p=pE, q=pF. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
a) ∀x∈H,hp(x), xi6hq(x), xi; b) ∀x∈H,kp(x)k6kq(x)k; c) E⊂F;
d) q◦p=p; e) p◦q=p.
2 Convergence faible dans un espace de Hilbert
Exercice 9 Soit (fn) ⊂ H et f ∈ H, o`u H est un espace de Hilbert. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1. fn→f
2. fn* f etkfnk → kfk.
3. limn→∞hfn, gi=hf, giuniform´ement pour tout gaveckgk= 1.
Exercice 10 Soient H un espace de Hilbert s´eparable et (xn)n∈N une suite born´ee de H. Le but de l’exercice est de montrer que (xn)n∈Nadmet une sous-suite faiblement convergente.
On consid`ere (en)n∈N une base hilbertienne deH.
a) Montrer, par r´ecurrence, qu’il existe une suite d’applications strictement croissante ϕk : N → N telle que les suites
hxϕ0◦···◦ϕk(n), emi
n∈N, 06m6k, soient convergentes.
b) Posons alors ∀n ∈ N, Φ(n) := (ϕ0◦ · · · ◦ϕn)(n). V´erifier que Φ est une application strictement croissante deNdansN.
c) Montrer que la suite (xΦ(n))n∈N est faiblement convergente.
d) Supposons `a pr´esent queH est un Hilbert non s´eparable. En consid´erantF le sous-espace vectoriel ferm´e de H contenant (xn)n∈N, montrer que la suite (xn)n∈N admet une sous-suite faiblement convergente.
Exercice 11 Soitun*0 dans un espace de HilbertH.
1. Montrer que l’on peut extraire de (un) une suite (vn) telle que
|hv1, vki| ≤k−1, . . . ,|hvk−1, vki| ≤k−1 pour toutk= 2,3, . . ..
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2. En exprimant kv1+· · ·+vnk2 `a l’aide des produits scalaires hvj, vki, montrer que’il existe une constanteC >0 telle quekv1+· · ·+vnk ≤C√
n.
3. En d´eduire le r´esultat suivant (Banach–Sacks) :Siun* ualors on peut extraire de (un)une suite (vn)telle que n1(v1+· · ·+vn)→u.
4. Montrer que siEest un espace vectoriel norm´e et si (xn)nest une suite deEqui converge faiblement versxalors il existe une suite (yn)n form´ee par des combinaisons lin´eaires convexes de (xn)n telle que (yn)n converge fortement versx.
Exercice 12 SoitSun ensemble d’un espace de HilbertH. Montrer queS est born´e si et seulement si
∀h∈H ∃Ch>0 t.q. ∀g∈S |hh, gi| ≤Ch.
3 Applications lin´ eaires continues sur un Hilbert
Exercice 13
a) SoientG et H deux espaces de Hilbert etu∈ L(H, G). Montrer que les assertions suivantes sont
´
equivalentes :
(i) uest inversible `a gauche ; (ii) ∃c >0,∀x∈H,ku(x)k>ckxk;
(iii) Imuest ferm´ee dans Get u:H →Imuest inversible.
b) En d´eduire que, si H est un espace de Hilbert et si u∈ L(H) est telle qu’il existec > 0 tel que
|hu(x), xi|>ckxk2,∀x∈H, alorsuest inversible.
Exercice 14 Soit Hun espace de Hilbert complexe, avec produit scalaire not´e h·,·i et norme not´ee k · k. SoitGun sous-espace dense dans H, et soitT une application lin´eaire continueT deHandH.
1) V´erifier l’identit´e de polarisation suivante :
4hT x, yi=hT(x+y),(x+y)i − hT(x−y),(x−y)i −ihT(ix+y),(ix+y)i+ihT(ix−y),(ix−y)i. 2) Montrer que
kTk= sup
x,y∈G,kxk=kyk=1
|hT x, yi|.
3) L’op´erateurT est ditauto-adjoint si pour toutx, y∈ Hon ahT x, yi=hx, T yi. Montrer que pour les op´erateurs auto-adjoints, on a
kTk= sup
x∈G,kxk=1
|hT x, xi|.
4) L’op´erateurT est dit positif sihT x, xi ≥0 pour toutx∈ H. Dans ce cas on ´ecritT ≥0, etT ≥S siT −S ≥0, pour S une autre application lin´eaire continue de HdansH. Montrer que tout op´erateur positif est auto-adjoint.
5) SiT est positif, montrer queTn est positif pour toutn∈N∗.
6) V´erifier que tout projecteur orthogonal sur un sous-espace vectoriel ferm´e de Hest un op´erateur positif.
Exercice 15 Soit T ∈ L(H), tel que hT x, xi = 0 pour tout x ∈ H. Peut-on conclure que T = 0 ? (Distinguer le cas d’un espace de Hilbert r´eel ou complexe).
Exercice 16 (Op´erateurs d’Hilbert-Schmidt) SoitH un espace de Hilbert s´eparable etT∈ L(H).
Soit (en)n∈N∗ une base orthonorm´ee deH. On dit queT est un op´erateur d’Hilbert-Schimdt lorsque
kTk2
def= X∞
n=1
kT enk21/2
<∞.
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1. Soit T∗ ∈ L(H) l’adjoint (hilbertien) de T, d´efini par la relation hT∗x, yi = hx, T yi pour tout x, y ∈ H. Montrer que l’on a kTk2 =kT∗k2. Montrer que kTk2 est ind´ependante du choix de la base orthonorm´ee deH chosie.
2. SoitPF la projection orthogonale sur le sous-espace ferm´eF. CalculerkPFk2. 3. Montrer que pour S, T∈ L(H), on a
kSk ≤ kSk2, kSTk2≤ kSk kTk2, kT Sk2≤ kSk kTk2.
Conclure que l’ensemble des op´erateurs d’Hilbert–Schmidt est un id´eal dans l’ensemble des op´erateurs lin´eaires born´es.
4. (Un exemple) Soit H = `2, h: N∗×N∗ → C telle que khk2`2(N∗×N∗)
def= P∞
n,m=1|h(n, m)|2 < ∞.
Pour f ∈`2 etn∈N∗ on pose K(f)(n) =P∞
m=1h(n, m)f(m).
(a) Montrer queK∈ L(H) etkKk ≤ khk`2(N∗×N∗). (b) CalculerkKk2.
4 Bases hilbertiennes
Exercice 17 Calculer
M := inf
a,b,c∈R
Z 1
−1
x3−a−bx−cx2
2 dx.
Exercice 18 (Base de Haar dansL2([0,1])). Soitψ=1[0,1
2]−1[1
2,1]. Pourj∈Netk= 0, . . . ,2j−1, on consid`ere l’intervalle dyadique ∆j,k= [k2−j,(k+ 1)2−j] et on poseψj,k(x) = 2j/2ψ(2jx−k). On pose ensuiteen=ψj,k, o`un= 2j+k(avecj∈Netk= 0, . . . ,2j−1) ete0=1[0,1].
1. D´emontrer que le syst`eme (en)n∈N est orthogonal dansL2([0,1])
2. D´emontrer que Vect{en:n∈N}est l’espace des fonctions `a escalier, constantes sur les intervalles dyadiques ∆j,k.
3. Conclure que (en)n∈N est une base orthonorm´ee pourL2([0,1]).
Exercice 19 SoitPn(x) = dxdnn(x2−1)n,n∈N,x∈[−1,1].
1. Montrer quePn∈L2([−1,1]) est orthogonal `a tout polynˆome de degr´e≤n−1.
2. Montrer qu’il existe des constantescn,n∈N, telles que la base orthonormale obtenue en appliquant le proc´ed´e de Graham–Schmidt au syst`eme{1, x, x2, . . .}est{cnPn : n∈N}.
(Indication : on pourra admettre queR1
−1Pn(x)2dx= 22n(n!)2·2n+12 ).
3. Sif ∈L2([−1,1]), calculer
n→+∞lim Z 1
−1
f(x)Pn(x)dx.
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