ECE2 TestN◦3 Septembre 2021 - EXERCICE1 ( VRAI OUFAUX) -
Répondre par V ou F.
1 Un espace vectoriel contient toujours le réel 0.
2 R2est un sous-espace vectoriel deR[X].
3 R2est un sous-espace vectoriel deR3.
4 Vect(−v→1,−→v2,−→v3) est une famille de trois vecteurs.
5 ©
(y+z,−z, 0), (y,z)∈R2ª
est engendré par deux vecteurs non colinéaires.
6 ©
(y+z,−z, 0), (y,z)∈R2ª
est un sous-espace vectoriel deR2.
7 Vect((1, 1); (1, 2); (3, 3))=Vect((1, 1); (0;−1))
8 La famille µµ1 0
−1 2
¶
; µ1 1
1 1
¶¶
est libre.
9 Si−→w∈Vect(−→u;→−v), alors la famille (−→u;−→v;−→w) est libre.
10 Si−→w∈Vect(−→u;→−v), alors Vect(→−u;−→v;−→w)=Vect(→−u;−→v).
11 Ce test est trop dur.
- EXERCICE2 -
On considère la matrice A=
2 −1 −2
2 −1 −4
−1 1 3
ainsi que les espaces
E1(A)=©
X∈Mn,1(R)|AX=Xª
et E2(A)=©
X∈Mn,1(R)|AX=2Xª Déterminer une base deE1(A) et une base deE2(A).
- EXERCICE3 - Montrer que la famille
µµ1 0 0 1
¶
; µ1 1
1 1
¶
; µ−1 −1
1 1
¶¶
est libre.
- EXERCICE4 -
Montrer à l’aide du pivot de Gauss que la matricePy=
0 2 1 4 0 y 4 2 0
est inversible si et seulement siy6= −1.
ECE2 TestN◦3 Septembre 2021
- EXERCICE1 ( VRAI OUFAUX) - Répondre par V ou F.
1 Un espace vectoriel contient toujours le réel 0.
2 R2est un sous-espace vectoriel deR[X].
3 R2est un sous-espace vectoriel deR3.
4 Vect(−→v1,−→v2,−→v3) est une famille de trois vecteurs.
5 ©
(y+z,−z, 0), (y,z)∈R2ª
est engendré par deux vecteurs non colinéaires.
6 ©
(y+z,−z, 0), (y,z)∈R2ª
est un sous-espace vectoriel deR2.
7 Vect((1, 1); (1, 2); (3, 3))=Vect((1, 1); (0;−1))
8 La famille µµ1 0
−1 2
¶
; µ1 1
1 1
¶¶
est libre.
9 Si−→w∈Vect(−→u;−→v), alors la famille (→−u;−→v;−→w) est libre.
10 Si−→w∈Vect(−→u;−→v), alors Vect(−→u;→−v;−→w)=Vect(−→u;−→v).
11 Ce test est trop dur.
- EXERCICE2 -
On considère la matrice A=
2 −1 −2
2 −1 −4
−1 1 3
ainsi que les espaces
E1(A)=©
X∈Mn,1(R)|AX=Xª
et E2(A)=©
X∈Mn,1(R)|AX=2Xª Déterminer une base deE1(A) et une base deE2(A).
- EXERCICE3 - Montrer que la famille
µµ1 0 0 1
¶
; µ1 1
1 1
¶
; µ−1 −1
1 1
¶¶
est libre.
- EXERCICE4 -
Montrer à l’aide du pivot de Gauss que la matricePy=
0 2 1 4 0 y 4 2 0
est inversible si et seulement siy6= −1.
