SMIA 1 ANALYSE 1 FONCTIONS REELLES : Limite, Continuité et Dérivabilité

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SMIA 1

ANALYSE 1

FONCTIONS REELLES : Limite, Continuit´ e et D´ erivabilit´ e

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Table des mati` eres

1 Limite d’une fonction r´eelle 7

1.1 Quelques d´efinitions . . . 7

1.1.1 Domaine de d´efinition . . . 7

1.1.2 Fonction croissante . . . 7

1.1.3 Fonction Strictement croissante . . . 7

1.1.4 Fonction d´ecroissante . . . 8

1.1.5 Fonction Strictement d´ecroissante . . . 8

1.1.6 Fonction major´ee . . . 9

1.1.7 Fonction minor´ee . . . 9

1.1.8 Fonction born´ee . . . 9

1.1.9 Fonction paire-impaire . . . 9

1.1.10 Fonction p´eriodique . . . 10

1.2 Limite d’une fonction en un point d’accumulation . . . 10

1.2.1 Point d’accumulation . . . 10

1.2.2 D´efinitions de la limite . . . 10

1.2.3 Unicit´e de la limite. . . 12

1.2.4 Limites Usuelles Tr`es Utiles . . . 13

1.2.5 Caract´erisation s´equentielle de la limite . . . 13

1.2.6 Op´erations sur les limites de fonctions . . . 15

1.3 Le Passage `a la limite . . . 16

1.3.1 Le Passage `a la limite en a⁺. . . 16

1.3.2 Le Passage `a la limite en a⁻. . . 16

1.3.3 La R`egle de l’encadrement ou des Gendarmes . . . 16

1.4 Le Retour de la limite . . . 16

1.4.1 Le retour de la limite `a droite. . . 17

1.4.2 Le retour de la limite `a gauche . . . 17

1.4.3 Le retour de la limite en +∞ . . . 17

1.4.4 Le retour de la limite en−∞ . . . 17

1.5 Crit`ere de Cauchy de la limite en a . . . 18

1.5.1 Cas o`ua est fini . . . 18

1.5.2 Cas o`ua = +∞ . . . 19

1.5.3 Cas o`ua =−∞ . . . 19

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2 La continuit´e des fonctions r´eelles 21

2.1 D´efinition de la continuit´e . . . 21

2.2 Caractérisation séquentielle de la continuité . . . 21

2.3 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 23

2.3.1 Théorème des valeurs extérieures . . . 25

2.3.2 Th´eor`eme de la bijection . . . 25

2.4 Continuité uniforme et Théorème de Heine . . . 26

2.4.1 Continuit´e uniforme et continuit´e . . . 27

2.4.2 Caractérisation séquentielle de continuité uniforme . . . 28

2.4.3 Th´eor`eme de Heine . . . 29

2.4.4 Prolongement d’une fonction uniform´ement continue . . . 30

2.5 Fonctions Lipschitziennes . . . 31

2.6 Th´eor`eme de la borne . . . 31

3 Dérivabilité des fonctions réelles 33 3.1 Définitions . . . 33

3.1.1 Dérivabilité en un point non isolé du domaine de définition . . . 33

3.1.2 Dérivabilité à droite . . . 33

3.1.3 Dérivabilité à gauche . . . 34

3.1.4 D´eriv´ees Usuelles . . . 37

3.2 Opérations sur les Dérivées . . . 39

3.2.1 D´eriv´ee de la somme . . . 39

3.2.2 D´eriv´ee du produit . . . 40

3.2.3 D´eriv´ee de quotient . . . 40

3.2.4 Dérivée de la composée . . . 40

3.2.5 Dérivée de la réciproque . . . 40

3.3 Fonctions trigonom´etriques et fonctions hyperboliques . . . 40

3.3.1 Fonctions Hyperboliques . . . 40

3.3.2 Lien entre Formules Trigonom´etriques et Formules Hyperbolique . . 42

3.3.3 Fonctions trigonom´etriques inverses . . . 42

3.3.4 Fonctions Hyperboliques inverses . . . 43

3.3.5 Th´eor`eme de Rolle . . . 46

3.3.6 Le Th´eor`eme des Accroissements Finis : TAF . . . 47

4 LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFICILES 51 4.1 Introduction . . . 51

4.2 Comment ´etudier une suite r´ecurrente . . . 51

4.2.1 Limites possibles ou probables . . . 52

4.2.2 Position de la courbe deg et de la premi`ere bissectrice . . . 52

4.2.3 Cas o`uf est croissante sur I . . . 52

4.2.4 Cas o`uf est d´ecroissante sur I . . . 54

4.2.5 Utilisation du th´eor`eme des accroissements finis : TAF . . . 55

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Toutes les remarques par e-mail, venant de votre part seront les bienvenues.

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Chapitre 1

Limite d’une fonction r´ eelle

1.1 Quelques d´ efinitions

1.1.1 Domaine de d´efinition

Une application de R vers R est une correspondance entre chaque élément x de R avec un élément deR notéf(x) qui représente l’image dex.

Une fonction de R vers R est une application d’une partie de R, appelée ”domaine de définition” notée en généralDf vers l’ensemble R.

En d’autres termes

Df ={x∈R : f(x) existe }.

Dans la plupart des cas qui nous intéressent, le domaine de définitionDf est un intervalle I. L’ensemble {f(x), x∈Df} est appelé ensemble image de la fonctionf.

Exemple

La fonction f :x7→√

x−1 a pour domaine de d´efinition Df = [1,+∞[.

L’ensemble image de la fonction d´efinie sur R par x7→x²−3 sera alors [−3,+∞[ 1.1.2 Fonction croissante

On dit qu’une fonction f est croissante sur une partieA ⊂Df

⇐⇒ (∀(x, y)∈A²) x6=y =⇒ f(x)−f(y) x−y ≥0 Cons´equence

Si f est croissante sur A, alors

(∀(x, y)∈A²)

x < y =⇒ f(x)≤f(y)

1.1.3 Fonction Strictement croissante

On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur une partie A⊂Df

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y 1

0,8

0,6

0,4

0,2

x 0

4 3

2 1

0

Figure1.1 – Le domaine de cette fonction est [1,3].

⇐⇒ (∀(x, y)∈A²) x6=y =⇒ f(x)−f(y) x−y >0 Cons´equence

Si f est strictemeent croissante sur A, alors (∀(x, y)∈A²)

x < y =⇒ f(x)< f(y) 1.1.4 Fonction d´ecroissante

On dit qu’une fonction f est d´ecroissante sur une partie A⊂Df

⇐⇒ (∀(x, y)∈A²) x6=y =⇒ f(x)−f(y) x−y ≤0 Cons´equence

Si f est d´ecroissante sur A, alors (∀(x, y)∈A²)

x < y =⇒ f(x)≥f(y) 1.1.5 Fonction Strictement d´ecroissante

On dit qu’une fonction f est strictement d´ecroissante sur une partie A⊂Df

⇐⇒ (∀(x, y)∈A²) x6=y =⇒ f(x)−f(y) x−y <0

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Cons´equence

Si f est strictement d´ecroissante sur A, alors (∀(x, y)∈A²)

x < y =⇒ f(x)> f(y) 1.1.6 Fonction major´ee

On dit qu’une fonction f est major´ee sur une partie A⊂Df

⇐⇒ (∃M ∈R) : (∀x∈A) f(x)≤M 1.1.7 Fonction minor´ee

On dit qu’une fonction f est minor´ee sur une partie A⊂Df

⇐⇒ (∃m ∈R) : (∀x∈A) f(x)≥m 1.1.8 Fonction born´ee

On dit qu’une fonction f est born´ee sur une partie A⊂Df

⇐⇒ (∃(m, M)∈R²) : (∀x∈A) m ≤f(x)≤M

⇐⇒ (∃K ∈R⁺) : (∀x ∈A) |f(x)| ≤K 1.1.9 Fonction paire-impaire

On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si

(∀x∈Df) −x∈Df et f(−x) =f(x) Exemple

f(x) =x², x⁴,cos(x),|x|, e^x², ....

Graphiquement, la courbe repr´esentative de f admet l’axe −→Oy comme axe de sym´etrie.

On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si

(∀x ∈Df) −x∈Df et f(−x) =−f(x) Exemple

f(x) =x³, x⁵,sin(x),arctan(x), ....

Graphiquement, la courbe repr´esentative de f admet le point (0,0) comme centre de sym´etrie.

Remarque

La fonction x7→x² −3x n’est ni paire, ni impaire.

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1.1.10 Fonction p´eriodique

On dit que la fonction f est p´eriodique de p´eriode T >0 si et seulement si (∀x∈Df) x+T ∈Df et f(x+T) =f(x)

Exemple

f(x) = (sin(x), T = 2π),(cos(4x), T = π

2),(tg(x), T =π), ....

1.2 Limite d’une fonction en un point d’accumulation

1.2.1 Point d’accumulation

Soit A une partie de R et a un r´eel. On dit quea est un point d’accumulation de A si et seulement si tout voisinage de a rencontreA en au moins un point autre que a.

On ´ecrit alors

a∈A^′ ⇐⇒ (∀η >0) i

a−η, a+ηh

∩ (A− {a})6=∅

L’ensemble des points d’accumulation de A, appelé ensemble dérivé deA est notéA^′. Un élément de A qui n’est pas un point d’accumulation, est un POINT ISOLE.

Exemples

A= [0,1[a= 0 b= 1, a et b sont des points d’accumulation de A.

A={1,2,3,4}a= 1, a n’est pas un point d’accumulation deA. C’est un point isol´e.

1.2.2 D´efinitions de la limite

La notion de limite d’une fonction est essentielle en Analyse.

Elle permet de définir la continuité, la dérivabilité, la convergence d’une intégrale généralisée ...

Définition de la limite quand xtend versa en étant différent

Soitf une fonction réelle donta ∈Rest un point d’accumulation du domaine de définition Df. On dit que f(x) tend vers le réelL et on écrit limx→a,x6=af(x) =L si et seulement si

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀x∈Df) 0<|x−a|< η =⇒ |f(x)−L|< ǫ.

D´efinition de la limite quand xtend versa `a droite

Soitf une fonction réelle donta ∈Rest un point d’accumulation du domaine de définition Df. On dit que f(x) tend vers le réelL et on écrit limx→a,x>af(x) =L si et seulement si

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀x∈Df) 0< x−a < η =⇒ |f(x)−L|< ǫ.

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D´efinition de la limite quand xtend versa `a gauche

Soitf une fonction réelle donta ∈Rest un point d’accumulation du domaine de définition Df. On dit que f(x) tend vers le réel Let on écrit limx→a,x<af(x) =L si et seulement si

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀x∈Df)

0< a−x < η =⇒ |f(x)−L|< ǫ.

D´efinition de la limite quand xtend vers±∞

x→lim+∞f(x) =L∈R ⇐⇒ (∀ǫ >0)(∃η >0) : (∀x∈]η,+∞[∩Df) |f(x)−L|< ǫ

x→−∞lim f(x) =L∈R ⇐⇒ (∀ǫ >0)(∃η <0) : (∀x∈]− ∞, η[∩Df) |f(x)−L|< ǫ

x→lim+∞f(x) = +∞ ⇐⇒ (∀ǫ >0)(∃η >0) : (∀x∈]η,+∞[∩Df) f(x)> ǫ

x→lim+∞f(x) =−∞ ⇐⇒ (∀ǫ <0)(∃η >0) : (∀x∈]η,+∞[∩Df) f(x)< ǫ

x→−∞lim f(x) = +∞ ⇐⇒ (∀ǫ >0)(∃η <0) : (∀x∈]− ∞, η[∩Df) f(x)> ǫ

x→−∞lim f(x) =−∞ ⇐⇒ (∀ǫ <0)(∃η <0) : (∀x∈]− ∞, η[∩Df) f(x)< ǫ

———————————————————————————————————————

—–

UNIFICATION DES DEFINITIONS DE LA LIMITE

Il s’agit de remplacer toutes les définitions données juste avant, par UNE SEULE DE- FINITION qui engloberait tous les cas traités ci-desssus ainsi que la définition de la limite d’une suite.

Soit f :R→R, A⊂Df, a∈A^′ ⊂D_f^′ ⊂Ret L∈R

ON DIT QUE f(x) TEND VERS LQUAND x TEND VERSa , ET ON ECRIT

x→lima,x∈Af(x) =L ⇐⇒ (∀V ∈ V(L)) (∃U ∈ V(a)) : f(U∩A)⊂V

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Type de limite en quel point d’accumulation l’ensemble A correspondant

x→lima,x6=af(x) a∈R Df − {a}

x→lima,x>af(x) a∈R Df∩]a,+∞[

x→lima,x<af(x) a∈R Df∩]− ∞, a[

xlim→af(x) a∈R Df

x→+∞lim f(x) +∞ Df

x→−∞lim f(x) −∞ Df

n→lim+∞un +∞ N

1.2.3 Unicit´e de la limite Soit f :Df →R et a∈D_f^′ . Supposons que

x→lima,x6=af(x) =L1 et lim

x→a,x6=af(x) =L2.

On supposera que (a, L1, L2) ∈ R³ sachant que la d´emonstration est semblable dans les autres cas.

Soit ǫ >0 quelconque donn´e.

xlim→af(x) =L1 =⇒ (∃η1 >0) : (∀x∈Df) 0<|x−a|< η1 =⇒ |f(x)−L1|< ǫ.

xlim→af(x) =L2 =⇒ (∃η2 >0) : (∀x∈Df) 0<|x−a|< η2 =⇒ |f(x)−L2|< ǫ.

Posons η= min(η1, η2).

a∈A^′ =⇒]a−η, a+η[−{a} ∩Df 6=∅. Soit c∈]a−η, a+η[−{a} ∩Df.

On a alors

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|L₁−L₂|=|L₁−f(c) +f(c)−L₂|<2ǫ On en d´eduit que L1 =L2.

1.2.4 Limites Usuelles Tr`es Utiles

——————————————————-

x→0,xlim6=0

sin(x) x = 1.

x→0,xlim6=0

tg(x) x = 1.

x→0,xlim6=0

ln(x+ 1)

x = 1.

x→lim0,x6=0

e^x−1 x = 1.

x→0,xlim6=0

1−cos(x) x² = 1

2.

x→lim+∞

ln(x) x = 0.

x→lim0,x>0xln(x) = 0.

(∀α >0) lim

x→+∞x^αe⁻^x = 0.

———————————————————–

1.2.5 Caract´erisation s´equentielle de la limite Soit f :Df →R, A⊂Df, a∈A^′ ⊂R etL∈R. On a alors

x→lima,x∈Af(x) =L ⇐⇒ (∀(xn)∈A^N) : lim

n→+∞xn =a lim

n→+∞f(xn) =L Qui se traduit par

f(x) tend versL quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite (xn) d’´el´ements deA qui tend vers a, la suite (f(xn)) tend vers L.

D´emonstration

=⇒ Supposons que limx→a,x∈Af(x) =L.

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Soit (xn)∈A^N une suite d’´el´ements de A telle limn→+∞xn=a.

Montrons, en utilisant la d´efinition de la limite que limn→+∞f(xn) =L.

Soit alors V un voisinage quelconque donn´e de L.

x→lima,x∈Af(x) =L =⇒ (∃U ∈ V(a)) f(U ∩A)⊂V d’autre part

U ∈ V(a) et lim

n→+∞xn=a =⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) xn∈U

=⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) xn∈U ∩A

=⇒ (∃N ∈N) : (∀n ≥N) f(xn)∈V

=⇒ lim

n→+∞f(xn) =L.

r´eciproquement :⇐

Nous Supposerons que (a, L)∈R², sachant que la d´emonstration est similaire dans les autres cas (a, L)∈R².

Partons de l’hypoth`ese

(∀(xn)∈A^N) : lim

n→+∞xn =a lim

n→+∞f(xn) =L et montrons que limx→a,x∈Af(x) =L.

Montrons la contrapos´ee.

x→lima,x∈Af(x)6=L =⇒ (∃ǫ >0) (∀n ∈N) (∃xn ∈A) : |xn−a|< 1

n+ 1 et |f(xn)−L| ≥ǫ =⇒ (∃(xn)∈A^N) : lim

n→+∞xn=a et lim

n→+∞f(xn)6=L CQFD.

Remarque

1. La caractérisation séquentielle est intéressante lorsque l’on veut montrer que la limite d’un fonction en un certain point a∈R n’existe pas. Il suffit alors de trouver

une suite (un) telle que :

n→+∞lim un =a et lim

n→+∞f(un) n’existe pas Ou deux suites (un) et (vn) telles que :

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n→+∞lim un = lim

n→+∞vn=a et lim

n→+∞f(un)6= lim

n→+∞f(vn) L’exemple le plus classique serait

f(x) = sin(x), a= +∞, un=nπ, vn= π

2 + 2nπ

2. La caractérisation séquentielle de la limite est à la base de caractérisation séquentielle de la continuité, Très utile pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires ainsi que le théorème de la borne.

3. En fin, la caractérisation séquentielle de la limite permet de démontrer les critères de Cauchy, Oh ! combien importants en analyse.

4. La caractérisation séquentielle de la limite sert aussi à profiter des propriétés sur les limites des suites pour les transposer aux propriétés ( ci-dessous )des limites de fonctions.

1.2.6 Op´erations sur les limites de fonctions

Les fonctiond f etg sont suppos´ees avoir, au voisinage de a, des limites finies ou infinies.

1. Valeur absolue

xlim→a|f(x)|= lim

x→af(x)

La démonstration est basée sur la deuxième forme de l’inégalité trangulaire :

|f(xn)| − |L| ≤

f(xn)−L . 2. Somme

xlim→a(f(x) +g(x)) = lim

x→af(x) + lim

x→ag(x) La démonstration découle de l’inégalité triangulaire :

xlim→a(f(x)g(x)) = lim

x→af(x) lim

x→ag(x) 4. Quotient

xlim→a

f(x) g(x) =

xlim→af(x)

xlim→ag(x) 5. Formes Ind´etermin´ees

0 0, ∞

∞, 0.∞, ∞ − ∞, 1^∞.

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1.3 Le Passage ` a la limite

Le PASSAGE à la limite permet de déduire des propriétés sur la limite d’une fonction f en un point, connaissant

les propri´et´es de f(x) dans un voisinage de ce point.

Inversement, le RETOUR dde la limite permet de déduire des propriétés de la fonction au voisinage d’un point, connaissant les propriétés de sa limite en ce point.

Toutes les propositions énoncées dans cette section, se démontrent aisément en utilisant le raisonnement par l’absurde.

1.3.1 Le Passage `a la limite en a⁺

(∀x∈]a, a+η[) f(x)>0) =⇒ lim

x→a⁺f(x)≥0 Cons´equence imm´ediate

(∀x∈]a, a+η[) f(x)> g(x)) =⇒ lim

x→a⁺f(x)≥ lim

x→a⁺g(x)

Remarque Lorsque l’on passe à la limite, les inégalités STRICTES deviennent LARGES.

1.3.2 Le Passage `a la limite en a⁻

(∀x∈]a−η, a[) f(x)>0) =⇒ lim

x→a⁻f(x)≥0 1.3.3 La R`egle de l’encadrement ou des Gendarmes

——————————————————————————————————- (∀x∈]a, a+η[) g(x)< f(x)< h(x) et lim

x→a⁺h(x) = lim

x→a⁺g(x) =L

=⇒ lim

x→a⁺f(x) = L

——————————————————————————————————- Cette r`egle est aussi valable quand x→a, x6=a et quand x→a⁻.

1.4 Le Retour de la limite

Connaissant les propriétés de la limite d’une fonction en un point a, le retour consiste à déduire des propriétés sur la fonction , du moins, au voisinage du point a.

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2

1

0

x

30 25 20 15 y

10 4

5 3

Figure1.2 – La r`egle du Gendarme pour les fonctions

1.4.1 Le retour de la limite `a droite

displaystyle lim

x→a⁺f(x)>0 =⇒ (∃η >0) : (∀x∈]a, a+η[) f(x)>0 La d´emonstration se fait en utilisant la DEFINITION de la limite et en prenant

ǫ= limx→a⁺f(x)

2 .

1.4.2 Le retour de la limite `a gauche

xlim→a⁻f(x)>0 =⇒ (∃η >0) : (∀x∈]a−η, a[) f(x)>0

1.4.3 Le retour de la limite en +∞

x→+∞lim f(x)>0 =⇒ (∃A >0) : (∀x∈]A,+∞[) f(x)>0

1.4.4 Le retour de la limite en −∞

x→−∞lim f(x)>0 =⇒ (∃B <0) : (∀x∈]− ∞, B[) f(x)>0

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1.5 Crit` ere de Cauchy de la limite en a

C’est un crit`ere th´eorique qui permet de prouver l’existence d’une limite finie, sans avoir

`a connaˆıtre sa valeur.

1.5.1 Cas o`u a est fini

—————————————————————————————————————–

xlim→af(x)∈R ⇐⇒

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀(x, y)∈]a−η, a+η[∩Df) |f(x)−f(y)|< ǫ

—————————————————————————————————————–

D´emonstration

=⇒ la condition est n´ecessaire Supposons que limx→a,x∈Af(x) =L∈R et montrons que

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀(x, y)∈]a−η, a+η[∩Df) |f(x)−f(y)|< ǫ Soit ǫ >0 quelconque donn´e.

x→lima,x∈Af(x) =L∈R =⇒ (∃η >0) : (∀x∈]a−η, a+η[∩A)L−ǫ < f(x)< L+epsilon

=⇒ (∃η >0) : (∀x, y ∈]a−η, a+η[∩A)L−ǫ < f(x)< L+ǫ et −L−ǫ <−f(y)<−L+ǫ

=⇒ (∃η >0) : (∀x, y ∈]a−η, a+η[∩A) −ǫ < f(x)−f(y)< ǫ

=⇒ (∃η >0) : (∀x, y ∈]a−η, a+η[∩A)|f(x)−f(y)|< ǫ

⇐: la condition est suffisante.

Pour la réciproque, nous aurons besoin de la caractérisation séquentielle de la limite.

Supposons que

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀x, y ∈]a−η, a+η[∩A)|f(x)−f(y)|< ǫ et montrons que limx→a,x∈Af(x)∈R.

Soit (xn)∈A^N une suite d’´el´ements de A telle que limn→+∞xn=a.

Soit ǫ >0.

Par hypoth`ese,

(∃η >0) : (∀x, y ∈]a−η, a+η[∩A)|f(x)−f(y)|< ǫ

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x→lima,x∈Af(x)∈R =⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N)xn∈]a−η, a+η[

=⇒ (∃N ∈N) : (∀p, q≥N) |f(xp)−f(xq)|< ǫ

=⇒ (f(xn)) est une suite r´eelle de Cauchy

=⇒ (f(xn)) est convergente.

1.5.2 Cas o`u a= +∞

x→lim+∞f(x)∈R ⇐⇒

(∀ǫ >0) (∃A >0) : (∀(x, y)∈]A,+∞[∩Df) |f(x)−f(y)|< ǫ 1.5.3 Cas o`u a=−∞

x→−∞lim f(x)∈R ⇐⇒

(∀ǫ >0) (∃B <0) : (∀(x, y)∈]− ∞, B[∩Df) |f(x)−f(y)|< ǫ

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Chapitre 2

La continuit´ e des fonctions r´ eelles

2.1 D´ efinition de la continuit´ e

Soit f une fonction r´eelle avec Df comme domaine de d´efinition eta ∈Df. 1. On dira que f est continue au pointa ⇐⇒

x→lima,x6=af(x) =f(a) 2. On dira que f est continue `a gauche du pointa ⇐⇒

x→lima,x<af(x) = lim

x→a⁻f(x) =f(a) 3. On dira que f est continue `a droite du point a ⇐⇒

x→lima,x>af(x) = lim

x→a⁺f(x) =f(a)

2.2 Caract´ erisation s´ equentielle de la continuit´ e

Soit f :R→R et a∈Df.

f est continue en a ⇐⇒ (∀(xn)∈Df

N) : lim

n→+∞xn=a lim

n→+∞f(xn) =f(a) Qui se traduit par

f est continue en a si et seulement si pour toute suite (xn) d’´el´ements de Df qui tend vers a, la suite (f(xn)) tend vers f(a).

Remarques

4. On dira que f est continue sur A⊂R ⇐⇒

f est continue en tout pointa de A ⇐⇒

(∀a ∈A) lim

x→af(x) =f(a)

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21

(22)

2

1

0

x

2 1,5

1 0,5

0 y

6

5

4

3

Figure2.1 – Cette fonction n’est pas CONTIINUE en 1.

2

1

0

x

2 1,5

1 0,5

0 y

6

5

4

3

Figure2.2 – La fonction n’est pas continue `a droite dex= 1.

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22

(23)

2

1

0

x

2 1,5

1 0,5

0 y

6

5

4

3

Figure2.3 – La fonction n’est pas continue `a gauche dex= 1.

5. On dira que f est continue sur [a, b] ⇐⇒

f est continue sur ]a, b[, `a droite dea et `a gauche de b.

Remarques

1. f est continue en pointa ⇐⇒ f est continue `a droite et `a gauche du pointa.

2. f est continue sur un ensemble si elle est continue en tout point de cet ensemble.

3. Les fonctions usuelles polynˆomiales, cosinus, sinus, arctangente, exponentielle sont continues sur R.

4. La fonction logarithmex7→ln(x) est continue surR^∗⁺

5. Les fractions rationnelles sont continues là où le dénominateur ne s’annule pas.

2.3 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires

Th´eor`eme 1.

f continue sur [a, b] et f(a)f(b)<0 =⇒ (∃c∈]a, b[) : f(c) = 0 D´emonstration

Soit f une application continue sur le segment [a, b] avec f(a)>0 et f(b)<0.

Consid´erons l’ensemble E ={x∈[a, b] : f(x)>0}. d’une part, f(a)>0 =⇒ E 6=∅,

d’autre part,

E ⊂[a, b] =⇒ E est borné D’après Le TFAR, E admet une borne supérieure c∈[a, b].

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23

(24)

x

5 4,5 4

3,5 3 Courbe de f

2,5 y

4

2 2

0

-2

Figure 2.4 – TVI : il existe au moins une solution def(x) = 0

La caractérisation séquentielle de la borne supérieure, permet d’écrire c= supE =⇒ (∃(en)∈E^N) : c= lim

n→+∞en. La caractérisation séquentielle de la continuité, permet d’écrire

c= lim

n→+∞en et f continue en c =⇒ f(c) = lim

n→+∞f(en) La comparaison des limites apr`es passage donne

(∀n∈N)f(en)>0 et f(c) = lim

n→+∞f(en) =⇒ f(c)≥0

=⇒ c < b.

D’autre part,

Pour n assez grand c < c+_n¹ < b et

c+ 1 n ∈/E f(c+ 1

n)≤0 et f(c) = lim

n→+∞f(c+ 1

n) =⇒ f(c)≤0 Finalement

f(c)≥0 et f(c)≤0 =⇒ f(c) = 0

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24

(25)

2.3.1 Théorème des valeurs extérieures

Th´eor`eme 2. Si une application continue sur un intervalleI, atteint deux valeurs v1 et v2, alors elle atteint toute valeurv comprise entre v1 et v2.

(∀(v1, v2)∈f(I)² (∀v ∈]v1, v2[) (∃u ∈I) : f(u) =v D´emonstration

Soient (v1, v2)∈f(I) avec v1 < v2 et v ∈]v1, v2[.

(v₁, v₂)∈f(I) =⇒ (∃(u₁, u₂)∈I_;² : f(u₁) =v₁ etf(u₂) =v₂. Consid´erons l’application F : [u1, u2]→R d´efinie parF(x) =f(x)−v.

I est un intervalle =⇒ [u1, u2]⊂I.

f est continue sur I =⇒ f est continue sur [u1, u2] =⇒ F est continue sur [u1, u2].

D’autre part,

F(u1) =f(u1)−v =v1−v <0 et F(u2) =f(u2)−v =v2−v >0.

D’apr`es le TVI,

(∃u∈]u1, u2[) : F(u) = 0 ou bien f(u) =v Remarque

Le théorème précédent peut être énoncé comme suit

L’image d’un INTERVALLE par une application CONTINUE est un INTERVALLE

2.3.2 Théorème de la bijection Théorème 3.

f continue et strictement monotone sur l’intervalle I =⇒ f est une bijection de I sur f(I) Démonstration f étant une surjection de I sur l’intervalleJ =f(I). l’injectivité def est assurée par la stricte monotonie. On se retrouve alors dans l’une des situations suivantes :

f est strictement croissante

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25

(26)

IntervalleI Son image J

[a, b] [f(a), f(b)]

]a, b] ] limx→a⁺f(x), f(b)]

[a, b[ [f(a),limx→b⁻f(x)[

]a, b[ ] limx→a⁺f(x),limx→b⁻f(x)[

f est strictement d´ecroissante

IntervalleI Son image J

[a, b] [f(b), f(a)]

]a, b] [f(b),limx→a⁺f(x)[

[a, b[ ] limx→b⁻f(x), f(a)]

]a, b[ ] limx→b⁻f(x),limx→a⁺f(x)[

Corollaire 4. Sif est continue et strictement monotone sur le segment[a, b]avecf(a)f(b)<

0, alors l’´equation

f(x) = 0 admet UNE SEULE SOLUTION dans l’intervalle ]a, b[.

2.4 Continuit´ e uniforme et Th´ eor` eme de Heine

Définition 5. Soit f une application réelle définie sur une partieA de R. On dit que f est uniformément continue sur A ⇐⇒

(∀ǫ >0) (∃η >0) : (∀(x, y)∈A) (|x−y|< η =⇒ |f(x)−f(y)|< ǫ)

Géométriquement parlant, la courbe représentative d’une fonction uniformément continue est LOCALEMENT HORIZONTALE tandis que

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26

(27)

0

600000 400000

200000 0

y

x 100

80

1000000 60

40

800000 20

Figure2.5 – Courbe horizontale : fonction uniform´ement continue

la courbe d’une fonction NON uniform´ement continue est plˆutot LOCALEMENT VER- TICALE.

2.4.1 Continuit´e uniforme et continuit´e

f uniform´ement continue sur A =⇒ f continue surA D´emonstration

Supposons maintenant quef est uniformément continue surA. Soita∈A.Pour montrer que f est continue en a, utilisons la caractérisation séquentielle de la continuité.

Soit (xn) une suite d’´el´ement de A telle que lim

n→+∞xn =a.

On veut montrer que limn→+∞f(xn) =f(a).

Soit alors ǫ >0 quelconque donné, de préférence petit.

f uniform´ement continue surA =⇒

(∃η >0) : (∀(x, y)∈A) (|x−y|< η =⇒ |f(x)−f(y)|< ǫ) d’autre part,

n→+∞lim xn =a =⇒ (∃N ∈N) (∀n > N)|xn−a|< η

=⇒ (∃N ∈N) (∀n > N) |f(xn)−f(a)|< ǫ.

CQFD.

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27

(28)

0

6 4

2 0

y

x 1000

800

10 600

400

8 200

Figure2.6 – Courbe verticale : fonction NON uniform´ement continue

2.4.2 Caractérisation séquentielle de continuité uniforme

f est UC surA ⇐⇒ (∀(xn, yn)∈A^N) : lim

n→+∞(xn−yn) = 0 lim

n→+∞(f(xn)−f(yn)) = 0 D´emonstration

=⇒ la condition est nécessaire Supposons que f soit uniformément continue sur A∈R. Soient (xn) et (yn) deux suites d’éléments deA telles que lim

n→+∞(xn−yn) = 0.

Soit ǫ >0.

f Uniform´ement Continue surA =⇒ (∃η >0) : (∀(x, y)∈A²) : |x−y|< η |f(x)−f(y)|< ǫ

n→lim+∞(xn−yn) = 0 =⇒ (∃N ∈N) : (∀n ≥N) : |xn−yn|< η

=⇒ (∃N ∈N) : (∀n ≥N) : |f(xn)−f(yn)|< ǫ

=⇒ lim

n→+∞(f(xn)−f(yn)) = 0

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28

(29)

⇐: la condition est suffisante

On raisonne par l’absurde comme pour démontrer le théorème ci-après.

2.4.3 Théorème de Heine Théorème 6.

f est continue sur le segment [a, b] =⇒ f est Uniform´ement continue sur [a, b]

D´emonstration

Raisonnons par l’absurde et supposons que f n’est pas uniform´ement continue sur [a, b], c’est `a dire que

(∃ǫ >0) : (∀n∈N^∗) (∃(xn, yn)∈[a, b]²) :

|xn−yn|< 1

n et|f(xn)−f(yn)| ≥ǫ (xn) et (yn) sont alors deux suites d’´el´ements du segment [a, b].

D’après le théorème de Bolzano-Weierstarss, elles admettent des sous-suites convergentes (x_φ(n)) et (y_ψ(n)) avec

n→+∞lim xφ(n) ∈[a, b]

et

n→+∞lim y_ψ(n)∈[a, b]

Or

|xφ(n)−yφ(n)|< 1 φ(n)

=⇒ lim

n→+∞xφ(n)= lim

n→+∞yφ(n)

=⇒ f( lim

n→+∞x_φ(n)) =f( lim

n→+∞y_φ(n))

=⇒ lim

n→+∞f(xφ(n)) = lim

n→+∞f(yφ(n))

=⇒ lim

n→+∞

f(xφ(n))−f(yφ(n))

= 0.

D’autre part, on a

(∀n >0)|f(xn)−f(yn)| ≥ǫ =⇒ (∀n >0)|f(xφ(n))−f(yφ(n))| ≥ǫ =⇒

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29

(30)

n→+∞lim |f(x_φ(n))−f(y_φ(n))|≥ǫ =⇒ 0≥ǫ.

D’o`u la contradiction. Il s’en suit quef est uniform´ement continue sur A.

Remarque

Nous aurons besoin de ce théorème (de Heine) au cours du semestre 2 pour montrer qu’une fonction continue sur un segment est Intégrable au sens de Riemann.

2.4.4 Prolongement d’une fonction uniform´ement continue

C’est une condition n´ecessaire, dont on peut profiter pour montrer qu’une fonction n’est pas Uniform´ement Continue.

Soient a etb deux réels tels que a < b etf une application définie sur [a, b[. Alors f uniformément continue sur [a, b[ =⇒ lim

x→b,x<bf(x)∈R D´emonstration

Encore une fois, utilisons la caract´erisation s´equentielle de la limite.

Soit (bn) une suite de [a, b[ telle que lim

n→+∞bn=b.

n→+∞lim bn =b =⇒ (bn) est une suite de Cauchy de [a, b[

(bn) est une suite de Cauchy et f uniform´ement continue sur [a, b[ =⇒ (f(bn)) est une suite de Cauchy de R qui est complet =⇒

(f(bn)) est convergente.

Posons

n→lim+∞f(bn) = α.

V´erifions que α ne d´epend que de la suite (bn).

Soit alors (cn) est une autre suite qui converge vers b.

D’après la caractérisation séquentielle de la continuité uniforme, on a

n→lim+∞(cn−bn) = 0 et f uniform´ement continue sur [a, b[ =⇒

n→+∞lim (f(cn)−f(bn)) = 0 =⇒ lim

n→+∞f(cn) = lim

n→+∞(bn) = α.

Nous avons donc montr´e que

∀(bn)∈[a, b[^N: lim

n→+∞bn =b lim

n→+∞f(bn) =α Ce qui prouve que

x→limb,x<bf(x) =α

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30

(31)

On peut donc prolonger f par continuit´e au point b en posant f(b) = α.

Remarque

La contrapos´ee de l’implication ci-dessus permet de dire que

Si f est une application continue sur l’intervalle born´e semi ouvert [a, b[ ne peut

être prolongée par continuité à gauche de b, alors elle n’est pas uniformément continue sur [a, b[.

Par exemple x:7→ ¹_x n’est pas UC sur ]0,1] car non prolongeable en 0⁺.

Le prolongement ci-dessus, montre que qu’une fonction uniformément continue sut un INTERVALLE BORNE, est nécessairement bornée.

La fonction x :7→ ln(x) n’est pas bornée sur l’intervalle ]0,1]. Par conséquent, elle n’est pas uniformément continue sur cet intervalle.

2.5 Fonctions Lipschitziennes

Définition 7. Soit f une application réelle définie sur une partieA de R. On dit que f est Lipschitzienne sur A ⇐⇒

(∃K ∈R⁺) : (∀(x, y)∈A) |f(x)−f(y)|< K|x−y| Si 0≤K <1, f est dite CONTRACTANTE.

Si K >1, elle est dite DILATANTE.

Propriété 8. Toute fonction Lipschitzienne sur un ensemble est Uniformément continue sur cet ensemble.

La démonstration est laissée à titre d’exercice.

2.6 Th´ eor` eme de la borne

Th´eor`eme 9.

si f est continue sur le segment [a, b], alors f est born´ee et atteint ses bornes.

D´emonstration

Montrons d’abord que f est born´ee sur [a, b].

Encore une fois, raisonnons par l’absurde et supposons que f n’est pas born´ee sur [a, b].

c’est `a dire que

(∀n∈N) (∃xn∈[a, b]) : |f(xn)|> n.

(xn) est alors une suite d’´el´ements du segment [a, b].

D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, la suite (xn) admet une sous suite xφ(n)

convergente.

Posons lim

n→+∞x_φ(n) =L∈[a, b].

On a alors, d’une part, grace à la caractérisation séquentielle de la continuité en L,

n→+∞lim f(x_φ(n)) =f(L)∈R

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31

(32)

et de l’autre

n→+∞lim f(x_φ(n)) = +∞ car

(∀n ∈N) f(x_φ(n))≥φ(n)≥n et Ce qui montre la contradiction.

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32

(33)

Chapitre 3

D´ erivabilit´ e des fonctions r´ eelles

3.1 D´ efinitions

3.1.1 Dérivabilité en un point non isolé du domaine de définition Soit f une fonction réelle et a un point du domaine de définition Df, non isolé.

On dit que f est d´erivable au point a ⇐⇒

x→lima,x6=a

f(x)−f(a)

x−a existe (=L∈R) On ´ecrira alors f^′(a) = L.

Géométriquement parlant, f est dérivable au point a si la courbe représentative de f admet une tangente au point (a, f(a)).L’équation de cette tangente est alors donnée par

y=f^′(a)(x−a) +f(a) Remarque Importante

f d´erivable en a =⇒ f est continue en a.

Donc, avant d’étudier le dérivabilité d’une fonction en un point, IL FAUT s’assurer qu’elle est CONTINUE.

3.1.2 Dérivabilité à droite

Soit f une fonction réelle et a un point du domaine de définition Df, non isolé.

On dit que f est d´erivable `a droite du pointa ⇐⇒

xlim→a⁺

f(x)−f(a)

x−a existe (=L∈R) On ´ecrira alors f^′(a⁺) =f_d^′(a) = L.

Géométriquement parlant, f est dérivable à droite du point a si la courbe représentative def admet une demi-tangente au point (a, f(a)).L’équation de cette demi-tangente est alors donnée par

y=f^′(a⁺)(x−a) +f(a)

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33

(34)

3.1.3 Dérivabilité à gauche

Soit f une fonction réelle et a un point du domaine de définition Df, non isolé.

On dit que f est d´erivable `a gauche du point a ⇐⇒

xlim→a⁻

f(x)−f(a)

x−a existe (=L∈R) On ´ecrira alors f^′(a⁻) =f_g^′(a) =L.

Géométriquement parlant,f est dérivable à gauche du point asi la courbe représentative def admet une demi-tangente au point (a, f(a)).L’équation de cette demi-tangente est alors donnée par

y=f^′(a⁻)(x−a) +f(a) Remarque

f est dérivable en a ⇐⇒ f est dérivable à gauche et à droite de a et f^′(a⁻) =f^′(a⁺) Exemple classique

Consid´erons la fonction x7→ |x| d´efinie sur R.On a

xlim→0⁺

f(x)−f(0)

x−0 = lim

x→0⁺

x x = 1 Donc f est d´erivable `a droite de 0 et f_d^′(0) = 1.

D’un autre cˆot´e, on a

xlim→0⁻

f(x)−f(0)

x−0 = lim

x→0⁻

−x x =−1 Donc f est d´erivable `a gauche de 0 et f_d^′(0) =−1.

Mais f n’est PAS d´erivable en 0.

Remarques

– On dira que f est d´erivable sur A ⊂R ⇐⇒

f est d´erivable en tout point de A.

– On dira que f est d´erivable sur [a, b] ⇐⇒

f est dérivable sur ]a, b[, à droite dea et à gauche de b.

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(35)

y

x 2

2 1,5

1

1,5 0,5

0

1 0,5

0

Figure3.1 – Cette fonction est d´erivable sur [0,2].

y 1,2

1

x 0,8

0,6

3 0,4

0,2

2,5 0

2 1,5 1 0,5 0

Figure3.2 – Cette fonction n’est pas d´erivable en 1.

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35

(36)

1

0,5

0

x

16 12

8 4

0 y

3

2,5

2

1,5

Figure3.3 – Il y a deux demi-tangentes au point (4, f(4).

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36

(37)

3.1.4 D´eriv´ees Usuelles

Fonction Sa d´eriv´ee

1

n+1xⁿ⁺¹ xⁿ xⁿ nxⁿ⁻¹

1

x −1

x²

√x ₂^√¹_x

cos(x) −sin(x)

sin(x) cos(x)

tg(x) (1 +tg²(x))

ln(|x|) _x¹

e^x e^x

Et plus g´en´eralement, si u est une fonction de x, alors

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37

(38)

Fonction Sa d´eriv´ee

1

n+1u(x)ⁿ⁺¹ u(x)ⁿu^′(x) u(x)ⁿ nu(x)ⁿ⁻¹u^′(x)

1 u(x)

−u^′(x) u(x)²

pu(x) ^u^′^(x)

2√

u(x)

ln(u(x)) ^u_u(x)^′^(x)

e^u(x) e^u(x)u^′(x)

u(x)v(x) u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x)

u(x) v(x)

u^′(x)v(x)−u(x)v^′(x) v²(x)

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38

(39)

Fonction Sa d´eriv´ee sin(u(x)) cos(u(x))u^′(x)

cos(u(x)) −sin(u(x))u^′(x)

tg(u(x)) (1 +tg²(u(x)))u^′(x)

arcsin(u(x)) √^u^′^(x)

1−u²(x)

arccos(u(x)) √⁻^u^′^(x)

1−u²(x)

arctg(u(x)) _1+u^u^′^(x)2(x)

sh(u(x)) ch(u(x))u^′(x)

ch(u(x)) sh(u(x))u^′(x)

th(u(x)) (1−th²(x))u^′(x)

argsh(u(x)) √^u^′^(x)

1+u²(x)

argch(u(x)) √^u^′^(x)

u²(x)−1

argth(u(x)) ₁₋_th^u^′2^(x)(u(x))

3.2 Op´ erations sur les D´ eriv´ ees

3.2.1 D´eriv´ee de la somme

Si f et g sont d´erivables en a, alors la somme f +g est d´erivable en a et de plus

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(40)

(f +g)^′(a) =f^′(a) +g^′(a) 3.2.2 D´eriv´ee du produit

Si f et g sont d´erivables en a, alors le produit f g est d´erivable en a et de plus (f g)^′(a) =f^′(a)g(a) +f(a)g^′(a)

3.2.3 D´eriv´ee de quotient

Sif etg sont d´erivables ena, et g(a)6= 0 alors le quotient ^f_g est d´erivable en aet de plus f

g ′

(a) = f^′(a)g(a)−f(a)g^′(a) g(a)²

3.2.4 Dérivée de la composée

Si f est dérivable en a, et g dérivable en f(a), alors la composée g◦f est dérivable en a et de plus

(gof)^′(a) =g^′(f(a))f^′(a) 3.2.5 Dérivée de la réciproque

Si f est d´erivable en f⁻¹(b) et que f^′(f⁻¹(b))6= 0, alors f⁻¹ est d´erivable enb et de plus (f⁻¹)^′(b) = 1

f^′(f⁻¹(b))

3.3 Fonctions trigonom´ etriques et fonctions hyperboliques

3.3.1 Fonctions Hyperboliques

Le Cosinus Hyperbolique (ch)

(∀x∈R) ch(x) = e^x+e^−x 2

C’est une fonction paire, continue et dérivable sur R. Sa dérivée, c’est le sinus hyperbolique.

Elle est strictement d´ecroissante sur R⁻ et strictement croissante sur R⁺. Il est bon de remarquer que (∀x ∈R) ch(x)≥1

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40

(41)

y

x 4

4 2

0

2

-2

-4 0 -2

-4

Figure 3.4 – Les fonctions ch, sh, et th .

Le Sinus Hyperbolique (sh)

(∀x∈R) sh(x) = e^x−e⁻^x 2

C’est une fonction impaire, continue et dérivable sur R. Sa dérivée, c’est le cosinus hyperbolique.

Elle est strictement croissante sur R.

La Tangente Hyperbolique (th)

(∀x∈R) th(x) = sh(x) ch(x)

C’est une fonction impaire, continue et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par (∀x∈R) th^′(x) = 1−th²(x)>0

Elle est strictement croissante sur R.

Il est bon de remarquer que (∀x ∈R) −1< th(x)<1

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41

(42)

3.3.2 Lien entre Formules Trigonom´etriques et Formules Hyperbolique Formule Trigonom´etrique Formule Hyperbolique

cos ch

sin ^sh_i (i² =−1)

cos²(x) + sin²(x) = 1 ch²(x)−sh²(x) = 1

cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y) ch(x+y) = ch(x)ch(y) +sh(x)sh(y)

sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sh(x+y) =sh(x)ch(y) +ch(x)sh(y)

1 +tg²(x) = _cos¹2(x) 1−th²(x) = _ch2¹(x)

3.3.3 Fonctions trigonom´etriques inverses

l’Arcsinus

La fonction f :x7→sin(x) est continue et strictement coissante sur l’intervalle [−^π₂,^π₂].

Elle r´ealise alors une bijection de [−^π₂,^π₂] sur [−1,1].

f est d´erivable sur R et (∀x∈R) f^′(x) = cos(x) f^′ s’annule en ±^π₂.

La fonction réciproque f⁻¹, notée Arcsinest définie de [−1,1] vers [−^π₂,^π₂].

f⁻¹ est d´erivable sur ]−1,1[ et

(∀x∈]−1,1[) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1 cos(arcsin(x))

= 1

p1−sin²(arcsin(x)) = 1

√1−x².

l’Arccosinus

La fonction f :x7→cos(x) est continue et strictement d´ecoissante sur l’intervalle [0, π].

Elle r´ealise alors une bijection de [0, π] sur [−1,1].

f est d´erivable sur R et (∀x∈R) f^′(x) =−sin(x) f^′ s’annule en 0 etπ.

La fonction réciproque f⁻¹, notée Arccos est définie de [−1,1] vers [0, π].

f⁻¹ est d´erivable sur ]−1,1[ et

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42

(43)

y

x 1,5

1,5 1

0,5

1 0

-0,5

0,5

-1

-1,5 0 -0,5 -1 -1,5

Figure3.5 – Les fonction sinus et Arcsinus.

(∀x∈]−1,1[) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1

−sin(arccos(x))

= −1

p1−cos²(arccos(x)) = −1

√1−x².

l’Arctangente

La fonction f :x7→tg(x) est continue et strictement coissante sur l’intervalle ]− ^π₂,^π₂[.

Elle r´ealise alors une bijection de ]− ^π₂,^π₂[ sur R. f est d´erivable sur R et (∀x∈R) f^′(x) = 1 +tg²(x) f^′ ne s’annule pas sur ]−^π₂,^π₂[.

La fonction réciproque f⁻¹, notée Arctg est définie deR vers ]− ^π₂,^π₂[.

f⁻¹ est d´erivable sur R et

(∀x∈R) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1

1 +tg²(arctg(x))

= 1

1 +x². 3.3.4 Fonctions Hyperboliques inverses

l’Argsh

La fonction f :x7→sh(x) est continue et strictement coissante R. Elle r´ealise alors une bijection de Rsur R.

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43

(44)

y

x 3

3 2

1

2 0

-1

1 0

-1

Figure3.6 – Les fonction Cosinus et Arccosinus.

y

x 8

8 4

0

4

-4

-8 0 -4

-8

Figure3.7 – Les fonction Tangente et Arctangente.

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44

(45)

y 15

10

x 5

0

6 -5

-10

4

-15

2 0 -2 -4 -6

Figure 3.8 – Les fonction sh et Argsh.

f est d´erivable sur R et (∀x∈R) f^′(x) = cos(x) f^′ ne s’annule en sur R.

La fonction réciproque f⁻¹, notée Argshest définie de R vers R. f⁻¹ est dérivable sur R et

(∀x∈R) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1 ch(argsh(x))

= 1

p1 +sh²(argsh(x)) = 1

√1 +x².

l’Argument ch : Argch

La fonction f :x7→ch(x) est continue et strictement coissante R⁺. Elle r´ealise alors une bijection de R⁼ sur [1,+∞[.

f est d´erivable sur R⁺ et (∀x∈R⁺) f^′(x) =sh(x) f^′ annule en 0 =f⁻¹(1).

La fonction réciproque f⁻¹, notée Argch est définie de [1,+∞ vers R⁺. f⁻¹ est dérivable sur ]1,+∞[ et

(∀x∈R) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1 sh(argch(x))

= 1

pch²(argch(x))−1 = 1

√x²−1.

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45

(46)

y

x 16

16 12

8

12 4

0

8 4

0

Figure3.9 – Les fonction Ch et ArgCh.

l’Argument th : Argth

La fonction f :x7→th(x) est continue et strictement coissante R. Elle r´ealise alors une bijection de R⁼ sur ]−1,1[.

f est d´erivable sur R et (∀x∈R) f^′(x) = 1−th²(x) f^′ ne s’annule pas sur R.

La fonction réciproque f⁻¹, notée Argthest définie de ]−1,1[ vers R. f⁻¹ est dérivable sur ]−1,1[ et

(∀x∈R) (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)) = 1

(1−th²(argth(x)))

= 1

1−x². 3.3.5 Th´eor`eme de Rolle

Th´eor`eme 10.

f continue sur [a, b], f d´erivable sue ]a, b[ et f(a) =f(b) =⇒ (∃c∈]a, b[ : f^′(c) = 0) D´emonstration

Si f est constante sur [a, b], alors la d´eriv´ee de f est nulle sur ]a, b[ et n’importe quel c∈]a, b[ conviendra.

On supposera donc que f n’est pas une application constante.

f est continue sur [a, b] =⇒ f est born´ee et atteint ses bornes m etM.

L’une des deux bornes est atteinte en un point α, 6=a et6=b, c’est `a dire que α∈]a, b[.

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46