Géométrie dans l’espace
On supposera dans la suite qu’un repère orthonormé de l’espace
O;~ı, ~, ~k
est donné ; c’est à dire la donnée d’un point O qui sert d’origine et la donnée de trois vecteurs qui définissent les trois directions des axes du repère de l’espace.
I)
Repérer un point dans l’espace
Tout point M de l’espace est alors repéré par ses trois coordonnées x, y et z appelées respectivement son abscisse, sonordonnéeet sacote; et on note M(x, y, z) ou M
x y z
un tel point.
On aM(x, y, z)ssi on a la relation vectorielle−−→
OM =x−→ ı +y−→
+z−→ k.
Exemple : Un repère étant donné, on souhaite placer le pointAde coordonnées données : A(1,2,3) Solution : PuisqueA a pour coordonnéesA(1,2,3), on a la relation−−→
OA = 1−→ ı + 2−→
+ 3−→ k.
x y
z
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
-1.0 -2.0 -3.0 1.0
2.0 3.0
4.0 5.0
6.0 -1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
-1.0
-2.0
-3.0
A
b
II)
Vecteurs de l’espace
II-1)
Rappels
En général, un vecteur est construit à partir de deux points, l’un étant son origine et l’autre son extrémité.
Par exemple,−−→
AB admetAcomme origine etB comme extrémité.
Un vecteur (non nul) est caractérisé par une direction un sens et une norme.
Pour les calculs dans un repère, on a la formule
−−→AB(xB−xA, yB−yA, zB−zA) que l’on note aussi −−→
AB
xB−xA
yB−yA
zB−zA
Lorsque le vecteur n’est pas repéré par deux points mais nommé par une seule lettre, on notera
−
→u (x~u, y~u, z~u) ou mieux : −→ u
x~u
y~u
z~u
SiA etB sont deux points de l’espace, on dit que−−→
AB est unvecteur directeurde la droite(AB).
Si−→
u (x~u, y~u, z~u)est donné etαest un réel, on a α−→
u (αx~u, αy~u, αz~u).
Si−→
u (x~u, y~u, z~u)et−→
v (x~v, y~v, z~v)sont deux vecteurs donnés, alors−→ u +−→
v (x~u+x~v, y~u+y~v, z~u+z~v).
II-2)
Propriétés de deux vecteurs
Deuxvecteurssontégauxsi et seulement si ils ont même direction même sens et même norme. Cette condition a lieu ssileurs coordonnées sont égales.
Deuxvecteurs ~uet~vsontcolinéairessi et seulement si ils ont même direction. Cette condition a lieu ssi il existe un réelktel que~u=k~v ou tel que~v=k~u. Cette condition a lieu ssileurs coordonnées sont proportionnelles.
Méthode :Montrer que trois pointsA,BetCsont alignés revient à montrer que les vecteurs−−→
AB et−−→
AC sont colinéaires.
Méthode :Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont parallèles.
Attention, deuxvecteurssontTOUJOURS coplanaires, mais pas toujours colinéaires.
II-3)
Propriétés de trois vecteurs
Définition :combinaison linéaire de deux vecteurs.
Deux vecteurs ~u et ~v étant donnés, on appelle combinaison linéaire de ~u et de~v tout vecteur de la forme k1~u+k2~v oùk1 etk2 sont deux réels quelconques.
Troisvecteurs ~u,~v etw~ sontcoplanairessi et seulement sil’un est combinaison linéaire des deux autres.
Cette condition a lieu ssi il existe deux réelsk1etk2tels quew~ =k1~u+k2~vou~v=k1~u+k2w~ ou~u=k1~v+k2w.~ C’est à dire ssi l’un des vecteurs peut s’écrire à l’aide des deux autres.
Méthode :Montrer que quatre pointsA, B,C etD sont coplanaires revient à montrer que les vecteurs−−→
AB,
−−→AC et −−→
AD sont coplanaires.
II-4)
Barycentres
SiA(xA, yA, zA)etB(xB, yB, zB)sont donnés alors lemilieudu segment[AB]a pour coordonnées la moyenne de leurs coordonnées :
xI = xA+xB
2 yI =yA+yB
2 zI =zA+zB
2
Plus généralement, SiA(xA, yA, zA)etB(xB, yB, zB)sont donnés, etαetβ deux réels tels queα+β6= 0, alors le pointGbarycentredu système de points pondérés{(A;α); (B;β)}a pour coordonnées la moyenne pondérées de leurs coordonnées :
xG= αxA+βxB
α+β yG= αyA+βyB
α+β zG=αzA+βzB
α+β
Remarque : on peut généraliser la formule à un système de plus de deux points pondérés.
Exercice 1
On se donneA(1,2,3) B(2,5,7) C(−1,3,4) et D(1,9,12).
1. Placer ces points dans le repère donné.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs−−→
AB,−−→
AC et −−→
AD. 3. Montrer que−−→
AD est combinaison linéaire de−−→
AB et−−→
AC. 4. Que peut-on en conclure sur les vecteurs −−→
AB, −−→
AC et−−→
AD? Et sur les pointsA,B,C etD?
x y
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0 -2.0 -3.0 1.0
2.0 3.0
4.0 5.0
6.0 7.0
8.0 -1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0 -2.0
III)
Produit scalaire dans l’espace
Définition :Si ~u(x~u, y~u, z~u)et~v(x~v, y~v, z~v)sont deux vecteurs donnés, alors on définit leur produit scalaire
~
u·~v comme étant~u·~v=x~ux~v+y~uy~v+z~uz~v.
~
uet~v sont orthogonauxssi~u·~v= 0ssi leurs coordonnées vérifientx~ux~v+y~uy~v+z~uz~v= 0.
Si un vecteur~uest connu par ses coordonnées~u(x~u, y~u, z~u)alors sanormese calcule dans un repère orthonormé par la formule ||~u||=√
~ u·~u=
q
(x~u)2+ (y~u)2+ (z~u)2.
En particulier si deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) sont donnés, alors la distance AB se calcule à l’aide de la formuleAB=
q
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2 .
Remarque :La définition du produit scalaire dans l’espace prolonge celle du produit scalaire dans le plan. Et on a :~u·~v=||~u|| × ||~v|| ×cos (~u;~v), l’angle orienté(~u;~v)étant mesurable dans le plan(0;~u;~v).
IV)
Orthogonalité dans l’espace
Deux droites sont orthogonales ssi les parallèles à ces droites menées à partir d’un même point sont perpendi- culaires.
Si deux droites sont orthogonales et sont coplanaires alors elles ont un point en commun et sont perpendiculaires, dans le plan qu’elles définissent.
Deux droites sont orthogonales ssi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Par un point donné il passe un unique plan orthogonal à une droite donnée.
Théorème :équation cartésienne d’un plan SiAest un point donné et−→
n (a, b, c)est un vecteur non nul donné, parAil passe un unique planP orthogonal à la direction de−→
n.
Ce plan admet uneéquation cartésiennede la formeax+by+cz=d, oùdest une constante dépendant deA mais indépendante de−→
n. Le vecteur−→
n (a, b, c)est appelé vecteur normalau planP.
Réciproquement, sia,b,cetdsont quatre réels avec(a, b, c)non tous nuls, l’ensemble des points de coordonnées (x, y, z)vérifiantax+by+cz=dest un plan de vecteur normal le vecteur −→
n (a, b, c).
Théorème :distance d’un point à un plan
Si A est un point donné et P un plan donné d’équation cartésienneax+by+cz =d. Alors −→
n (a, b, c)est un vecteur normal àP. La distance deAau planP est donnée par la formule
d(A;P) = |axA+byA+czA−d|
√a2+b2+c2 Démonstration :
La distance du pointAau planP est la distance du pointAà son projeté orthogonal surP. Si H est le projeté orthogonal de Asur le plan P, alors−−→
AH est colinéaire à−→
n. Il existe donc λ∈R tel que
−−→AH =λ−→ n. Donc
xH−xA=λa yH−yA=λb zH−zA=λc
On a doncAH2= (xH−xA)2+ (yH−yA)2+ (zH−zA)2=λ2(a2+b2+c2).
Mais on sait queH ∈ Pdonc ses coordonnées vérifient l’équation du plan. DoncaxH+byH+czH−d= 0. Mais alors on obtient quea(xA+λa) +b(yA+λb) +c(zA+λc)−d. Et doncλ(a2+b2+c2) =−axA−byA−czA+d.
C’est à direλ=−axA−byA−czA+d a2+b2+c2 . Par suite,AH2=λ2(a2+b2+c2) =
−axA−byA−czA+d a2+b2+c2
2
(a2+b2+c2) = (−axA−byA−czA+d)2 a2+b2+c2 . Et il ne reste plus qu’à prendre la racine carrée :AH=
s
(−axA−byA−czA+d)2
a2+b2+c2 = | −axA−byA−czA+d|
√a2+b2+c2 . Exemple : Quelle est la distance du point A(1; 2; 3) au planP d’équation 2x−4y+ 5z= 3?
On ad(A;P) = |axA+byA+czA−d|
√a2+b2+c2 =|2(1)−4(2) + 5(3)−3|
√12+ 22+ 32 = 6
√14 = 3√ 14 7 . V)
Corrigés des exercices
Exercice 1
Solution : 1. On a −−→
AB
2−1 5−2 7−3
c’est à dire −−→
AB
1 3 4
On a de même : −−→
AC
−2 1 1
et −−→
AD
0 7 9
2. On chercheαetβ réels tels que−−→
AD =α−−→
AB +β−−→
AC. Puisque−−→
AD
0 7 9
et α−−→
AB+β−−→
AC
α−2β 3α+β 4α+β
, on a−−→
AD =α−−→
AB+β−−→
AC ssi
α − 2β = 0 3α + β = 7 4α + β = 9(⋆) On a un système de trois équations à deux inconnues. On résout d’abord
α − 2β = 0 3α + β = 7 α − 2β = 0
3α + β = 7 ⇐⇒
α − 2β = 0
7α = 14 (L1 + 2L2) ⇐⇒
α = 2 β = 1
Et pour ces valeurs, la troisième équation(⋆)est vérifiée :4α+β = 4×2 + 1 = 9donc le système admet une unique solution :α= 2et β= 1. Le vecteur−−→
AD est donc combinaison linéaire de−−→
AB et−−→
AC : on a
−−→AD = 2−−→
AB +−−→
AC. 3. Les vecteurs−−→
AD,−−→
AB et −−→
AC sont donc coplanaires. Les pointsA,B,C et Dsont donc coplanaires.
Remarque : On pouvait "remarquer" (en cherchant à la main) que les vecteurs−−→
AD et 2−−→
AB +−−→
AC ont les mêmes coordonnées. Donc que−−→
AD = 2−−→
AB +−−→
AC. Mais cette méthode est plus hasardeuse.
x y
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0 -2.0 -3.0 1.0
2.0 3.0
4.0 5.0
6.0 7.0
8.0 -1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0 -2.0
A
b
B
b
C
b
D
b
Rappel : pour pouvoir trouver les nombresαetβ sur le graphique, il faut projeter parallèlement aux directions de−−→
AB et −−→
AC le pointD, comme sur le dessin suivant : Cette méthode n’est que très approximative mais peut aider.
x y
z
2.0 1.0 4.0 3.0 6.0 5.0 8.0 7.0
-1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0
3.0 4.0 5.0 6.0
7.0 8.0 -2.0 -1.0
-3.0 1.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
-1.0 -2.0
A
b
B
b
C
b
D
b
