t-o l. II. l7 ou :ti I L

Chapitre 6 : Limites et continuité Leçon 16 : Limites et continuité d'une fonction

L Notion de limite

Soit

la fonction f(x):3x-7.

Comment sont les valeurs de

/(.r)

^lorsque

x

proche de 6 ^.

Tableau

I

Tableau2

x

f

^(x)

5 5,4 5,7 5,9 5,99 5,999 5,9999 5,99999 5,999999 5,9999999

t4

15,2

l6,l

16,7 16,97 16,997 16,9997 16,99997 16,999997 16,9999997

x

f

^(x)

7 6,7 6,4

6,1 6,01 6,001 6,0001 6,00001 6,000001 6,0000001

20

l9,l

18,2 17,3

17,03 17,003 17,0003 17,00003 17,000003 17,0000003

Tableau

I

^:

Lorsque -r <

6

et dè3

que x

eSt suffisamment proche de 6

, /(x)

^est

proche

de

¹⁷

On

dit que ,f

^{admet 17} comme limite à gauche en 6.

.a

On

écrit : lim(3x-l)

₌

l7 ou

^lim

^{(3x-l) :17}

^.

"?:

x+6-

Tableau

2

^:

Lorsque x > 6 et dès

que x

€St suffisamment prochç de O

, /(x)

^est

proche

de

^{17 .}

On

dit que .f

^{admet t}

⁷

comme limite à

droite

en 6.

On

écrit

lim

(3x-l)

₌

l7 ou

^lim

^(3x-l) :ti

^.

x+6 x+6,

r>6

II. Limite d'une

fonction

l. Limite

à

gauche,limite

_à

droite

La

notation t-o

,ignifie

que -r tend

vers c

par valeurs supérieures.

x<a

. On

dit

qu'une fonction

/

^a une limite a

gu.r.lr.

en a lorsque

la

restriction de

f

^{à un interv}

^alle

^{1p,al a une}

^limite

^{en a . Cette}

^limite

pouvant être réelle

L,

ou ^{+ æ} ,

ou

-æ.

On note

: lffi f

^(x)=

^Z OU lim _/(x)

=

L,la limite

^{à gauche} êrr a .

. On

définit

de même la

limite

à droite en

a

avec la restriction

de f

à

h,tl

On note

:

^lrm

_f

^(x)=

^Z ou _{J1i /tr)}

=

L,la limite

à droite

eî

^{a .}

*

Il

est

clair

^que si

/ ^{admet z}

^comme

^limite

^en

^a, f

^{admet L}

comme Limite à gauche et à droite en ^a

2. Limite

de fonctions

en

d

Dire

que f

^{admet pour}

^{limite z}

^en c, c'est dire que

/(x) ^peut

^être

aussi proche que I'on

veut de L

^{à condition que}

x

soit suffisamment proche

de a.

Onnote lim,f(x)=I ou limf(x)=L.

x-)a" ^a

* _Il

_est

clair

que si

f

^admet

^z

^comme

^limite

^err

^a, f

^admet

^L

comme

limite

à gauche et à

droite

^er:t a.

hn

f

(x.)=,l1y_

f

^(x)

^:

_)rm,

f

^(r)

: r

^.

Exemple

I

: Soit

/

^la

^fonction

^{définie sur}

^{fr par}

^:

-f(x)=2x-1.

Ona:

'lim (4-5x) : 4-5x2=4-lO: 4 et

^{lim (4}

_-5x)

=

4-5x2=4-10 :-6

x+2- ^x-->2'

On constate

que:

lim

@-5x):1iry.(4-5x)=4

Donc

la fonction /admet la limite -6

^en

²

et on écrit

I'S(4-

^{5x) = -6 .}

Exemple

2

: Soit la fonctio

n f

^(x)-5x2

_x-l ^-6x +l

définie sur fr

- []

Ona:

$ l1*!

₌

IS @*l :

lim(sx-r):

⁵ " ^|

-t

^{= 4}

r* qi# _{='s @*-!} ='r51(s'-r) :

5

" ⁷

-t

^{= 4}

continuité

on

constate que

: ^lim

^{5x2 -6x-}

^+l

= lim

(sx-tXl-t)-o

x-+l- X -l r-+lt _X -l

Donc

la fonction

/

^{admet la}

^{limite 4 en I}

et on écrit

5x2

-6x+l

116-;{.

r--+l

_X

-l

Mais /fl)=

^5x12

-6xl ^+l :9

indét.rminée.

r-1

⁰

Exemple 3 :

Voici

la courbe représentative d'ùne fonction.

On

constate que :

'f(r)=o

,tïî_

/(t

⁼

_Jg

^{.f @)}

^{: o}

^donc

_{fg/(x) -}

^o

- f(2):2

lrry_

/G)

^=,lg.

f

^(x)

:1

donc

|'g"/(x)

:

t

'f(-r)=o

,\ry1-"f(t) ⁼

t',1-o1 /(t)

^{= o}

,lurl_,f(r)*,9_/(r)

^donc

lafonction f

n'admetpas de

limite

en

-1.

Exemple 4 :

Voici

la courbe représentative de

)

_x

la fonction

f(')=L

_x

avec x+O.

- En

zéro :

.

la limite

à droite de .

la limite

à gauche de

- En

+æ

:

^lim

^1=o

x-)+@ X

-En -æ:

_{x+-æ X}

^liml=o

f(*)=a _x rl

^en

^oest

^+co,

^oll

^note _x->o- ^lim

^_:*@

_x

f(*)=l

_x

rl

^en

^oest -æ,

^{on note} _x->o- ^lim

-

_1ç

^=-æ

3. Théorèmes

l. _]y,O ^: k,

k

e9

2.

]ty"tcf(x)

:

_{k limof(x), k}

efr

3.,1ry,V7)+g(x)l:,rtgo.f@)+

]ry"s@)

4. riloo"[f@)-g(')J:,W"f@)-,Er,s(x)

5. ]ry"V7lx g(r)]=,tig"-f (x)',lgros(x)

6- q"

_x-->a

4? _g(x) =",î"t:.o,

_JimoS(r)

^{avec g(.r)+0.}

III. Opérations

sur les

limites

Soit I ^{et g}

^{deux fonctions admettant une}

limite,frnie,ou

non,

,

^quand

^.r

tend vers 4.

Dans ces énoncés, a peut-être remplacé

pâr

+æ ou

-æ.

1. Limite d'une somme (L et Z'

sont des

réels)

^l

Exemple : Calculer

hry(2x'

_r-)f

-3x+4)

Solution

lim(2x'-3x+

_x-+5 '

4\=2lim

' r-+5

x' -3lim r+lim

r-+5 ^{x-+5 4}

=2x5' -3x ^5+4-39

Si

/

apourlimite L +@

-æ

^*co

-æ

^+æ

et si

g

a pour limite L' L' L'

*æ -æ -æ

Alors

f ^+g

apourlimite L+ L' _+æ

-æ ^*æ

^-co

^.

indéterminée^Forme

continuité

2. Limite d'un produit (Z

et

Z'

sont des réels)

Si

7

apourlimite _{L +oo +co} +æ +æ

*æ

ou

-æ

et si

g

^{a pour} limite L' L'>0 L',<0 +co -co ⁰ Alors

-[, g

apour limite Lx L' +æ

-æ

^+co -oo indéterminée^Forme

Exemple : Calculer

liq(x+l)Ji

Solution

H("

⁺

^l)Ji

⁼

S(x+

^{l) x hm}

Ji

^{= I} xo = o

3. Limite d'un quo tient f _U@)

_{+ O)}

7. 1

Exemple

l: Calculer _x-->-2 ,' _^x' ^+-2!'-r

5 -3-x

Solution

z ^) ^{lim x3+2} limx2- liml

lmx-+Lx--l_x_>_2 x-+_2 x_+_2

^:

x-->-2

_{5 -3x}

a

lim 5-

^{3lim x}

x-+-2

^x-+-2

2. 1

(-2)' +2(-2)'-l -8+8-l

^I

5-3x(-2) 5+6 ll

Exemple 2

:

^{Calculer lim}

4

x+2 y-)

Solution

ri^*' ^-4 _=2' ^-4

₌

9

_fo.rne indéterminée x+2

a-2 2-2

⁰

Donc n#

-2Â ⁼

Wglf2= ^lg('

^{+2) = 2+2 = 4}

ôq

Si

/

apourlimite L L +co +æ

*æ

⁰

et si

g

a pour limite

L'+

O 0 +co ^{L'> 0 0} +æ ⁰ Alors

/

g ^{a pour limite}

L L'

+æ 0 +@ +æ ^Formes

indéterminées

Exemple 3 :

Calculer

_lim ^Q+h-)z

-9

À+0 _h Solution

(3 + O)'z

-9

₌₉

^-9

=

9 for-e

indéterminée

Donc ,*

_h-+0 ^{(3+ 4)'}

^-9

^{_ ,,,o}

h ^h--+o

00

ftr+ry-:ft3+ fi$J

-h

Exemple 4 ^: Splution

Js4-{s Js-o-,6 Js-Jt ^o ^ ^. ,:. ^.

^,

lun- r-+otO00 =- : -

IOfIIle ln0etefTnrnee.

On multiplie le numérateur et le dénominateur

par Js-t ^+Js

(l'expression conjuguée 6s

J5-r -J51.

on

^obtien

t. ^,[s-t -Ji

^_

^(s-r _,

.6)(.'.6-s-:,..,Æ

,ts-tf _-(J5l

h(6+ h\

- nm ^'''

=

lim(6+à)=6+0=

6.

h-+d ft

^n-+o'

--Ji

Calculer

lirn ^r\_

""

,+O _t

t(,[5-, *6

Donc l' F-J5:lim-

_reo

t ^t-+0

Exemple 5

Solution

On multiplie (l'expression On obtient ^:

lim

-É-- x00n

⁼

--- : ---=-: I

_forme indéterminée.

x-+o{l+3x-l Jl+3x0-l Jl-l

⁰

le numérateur et le dénominateur par

Jt +:"

^{+ t}

conjuguée de

Jr+rr-r).

Donc

_r-+o

l*-:- -,' '(Jr*tt ^*r)

/l

^{a 3x}

_l r--ro

3x

,.

^{Jl +3r +}

I

^.,,,F0

+l

²

- ulr-

:-+0333

IV. ^Limite

^de

^fonctions

^en +æ,

en -æ

Nous admettrons ces résultats, intuitivement évidents.

l. lim J;=+oo ^{lim r=+@}

J-$-" =+- lii"'=*."

r ..

^I

2. lim+=+æ nm-=+æ

x-++æ {t ^r-)+æ i

.. ' I

_llln ^I

-

⁼

*co

Ilm

--

_{= +æ.}

J-++æ I- x++a x-

Exemple

I

^:

Calculer

rim

(zx'-llx' +:nx)

Solution

,Ig(r"

^{-rrx2 +}

Dx):,t*''(, _- : ^- 9=

^{-@x2= -@}

Ou

Exemple 3 ^:

Exemple 4 :

a. ,. ^5Ji+-r-' : lim

^5J; ₌

.r-)+€ _{2X +}

4

^x-++*

)y

'tf- ^.f tf-

r i. '.Jx-2\lx .. V; .. I

^I

O. flfil ---

-: llln ^---:= llm -:- r)-x _{3U x}

-U

x

^.r-+-æ

lNrr

^.r-+-æ

I

³

r" [-

L ,. lx'+4x D. llln-:lun-=l|tn- ,Jx' ,. -x

x-+-@ 4X+l x+-r ly x+-æ {1ç

Exemple 6 ^:

t_ \

a. ,tT_U"'+1-x):fi6

l_\

b.

,t-ry-U"t

+3x+I +xJ:Jim (J7 $x +r+r)1fi'

^a3r a 1

-";

3x

+l

(*'+3x+l)-x2

x)-ûlim

-'t ^.,)

,'(w1

\.r

:--

J 1

= _r+<^lim

-3

V. Continuité d'une fonction Définition

Soit /

^une

^fonction

^{définie sur un}

intervalle I

contenant le réel

a.

. On dit que

,f

est continue en

a si f

^{admet une}

^{limite finie}

^{en a.}

. On

dit qte "f

est continue sur

I si .f

est continue en tout point c de 1.

Si ,f

^est continue en

a,

alors lmt

f (r):

_-f ^(a).

rorr

t6"f

= tm ^t' -:

^lim

^-L=o

,-r- 2XXJX x-++<)yyJy x++<)rJ ,

-

J++€XX-++ûXr++@

^{lim J3"}

^=,ur',

t'E:-ril- Jt=Jj,(J7=xlorsque "to)

=,ry-(-;)=i _' (J7:-ï

rorsqu"

"'o)

(J7;-x)(J7+l

^+x)

,[r\t *,

l6l

Exemple

I

^:

voici

la représentation graphique

d'une

fonction.

Étudier

sa continuité au

point

x ₌ 0.

Solution

Ona

Jlg "f{') - t

"t ^,q. f

^@)

-0

Puisque

,$_,f(r) ⁺

^lim

f ^(x)

cette fonction n'admet pas de

limite

en

x:0 donc

elle n'est pas continue _{en x =}

0.

Exemple

2, f

st la fonction

d'finie par:

inuité au

point x :3

et

x:5

^.

Solution

. au point

x:3

Yg f(.) : _{W_{z*+} ^l) -

^{2x3 +7}

: _{7 .,,8. f @):,_$.}

_{3 =} 3

Puisque

fi f ^{(*) *}

^lim

^{f (x)}

cette fonction n'admet pas de

limite

en x

- ³ donc elle

n'est pas continue en

x -3.

. au point

x:5

fi ^f

^(x)

^=,B_

³

^{:3 .t}

^,U.

^{f @):} lg.(" ^-2):5 -2=3

Puisque

fr ^{f(r):,ry. f@) : f(5)-}

⁵

^-

²

^-3

^{cette fonction}

est continue

en x -

⁵

l.

Exercices

Calculer les

limites

suivantes.

c.

I

l.

h.

n.

2.

3.

Dans chacun des cas. trouver les réels c

.-

^{ax2 +b}

a. lim"'

^'

" :4

_b.

x--+2 y -)

.. Jli -n

^r

c. trn_-_

^_o.

r-+l X-l

⁴

Soit I

^une

^fonction

définie par ^:

f(x)=

x'-1, -l<x<o 2x, 0<r<l

l, x=l

-2x+4, l<x<2

0, 2<x<3

a.

Déterminer l'ensemble de

définition

et tracer la courbe représentative

de /.

b.

Calculer

f(-r),

"f(2).

c.

^{Calculer tinl_}

_/(x)

d.

Étudierla

continuité

de

/

^en

x:-l

^et

x=2.

4. Soit I

^une

^fonction

définie par :

Déterminer les

réels A

et

B

sachant que

,f

^{est continus efl}

^.r=l

n'est pas continue en

x=2.

et h,n

(.,F-3' -")