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Exercices Alternatifs

Int´ egration d’´ equivalents

°2001 Fr´ed´ericc Le Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Source: integration-d-equivalents.tex.

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Fonctions d’une variable r´eelle. DEUG deuxi`eme ann´ee. Angle p´edagogique : D´ecouverte.

Objectifs et commentaires.

Manipulation d’´equivalents, de la d´efinition de la limite, int´egration d’in´egalit´es, le tout motiv´e par un probl`eme ouvert. La r´edaction ci-dessous est vo- lontairement la plus concise possible (destin´ee `a un travail en petits groupes, sur une dur´ee assez longue). Voici quelques pistes pour guider les ´etudiants et ´eventuellement aller plus loin :

– essayer sur des exemples ; ce qui am`ene la question : trouver des fonctions simples ´equivalentes

`

a1/x(ce qui d´ej`a peut am`ener `a revenir sur la d´efinition du mot ´equivalent) ;1/x,1/x+1/x², 1/(x+ 10),1/(x+ln(x))sont des bonnes condidates ;

– la conjecture la plus simple est sans doute “F tend vers +∞”, qu’il est d´ej`a int´eressant de prouver ;

– c’est l’occasion de rappeler la propri´et´e fondamentale de positivit´e de l’int´egrale (en pratique, int´egration des in´egalit´es) ;

– on peut ensuite montrer qu’en +∞la fonctionF est coinc´ee entre ¹₂ln et ³₂ln; – puis prouver que F ∼ln;

– on peut enfin s’attaquer `a l’´enonc´e g´en´eral : si f est ´equivalente `a une fonction g positive dont l’int´egrale est divergente, alors les primitives de f et deg sont ´equivalentes.

Soit

f

:

R^∗+→R

une fonction (suppos´ee continue pour pouvoir ˆetre int´egr´ee), et

F

une primitive de

f

. On suppose qu’en +∞,

f(x)∼ _x¹

.

Que peut-on dire du comportement de

F

en +∞ ?

Pour aller plus loin. Proposer une conjecture qui g´en´eralise cette situation. Prouver la conjecture...