A110 - 2004 et la séquence croissante des PGCD Solution
Nota liminaire : ce problème reste ouvert et des séquences plus longues que celles décrites ci- après doivent très probablement exister
Il s’agit de trouver le chemin le plus long possible au sein d’un graphe dont les sommets sont les nombres entiers jugés les plus pertinents et les arcs qui relient les sommets sont tracés pour tout couple de nombres entiers p et q q > p tels que PGCD(p,q)>1. On voit
immédiatement que les nombres premiers sont exclus du graphe car ils constituent tous des impasses. De même le nombres entiers qui sont le produit de deux facteurs premiers
seulement tels que 1967 = 7.281 et 1963 = 13.151 seront à éviter car ces deux facteurs premiers vont s’imposer comme termes consécutifs de la série croissante des PGCD. Les nombres jugés les plus pertinents ont donc une factorisation qui comporte les facteurs
premiers les plus petits possibles et les exposants de ces facteurs les plus nombreux possibles (ex : 2002=2.7.11.13, 2000=2 .4 53, 1960=2 .5. 3 72,etc…)
Cela amène à calculer au préalable les facteurs premiers des entiers allant en décroissant de 2004 à 1. Le tableau ci-après donne les résultats pour N=2004 à 1940.
C’est ainsi qu’à partir de cette liste si l’on retient les six nombres 2004, 2000, 1995,
1988,1974 et 1953, la série correspondante des PGCD est égale à 4,5,7,14,21 et l’on obtient six termes supplémentaires : 1922, 1860, 1736, 1488, 1116 et 558 pour lesquels les PGCD sont égaux à 31,62,124,248,372,558.
Avec les nombres 2004, 1995, 1990, 1980,1968 du tableau ci-dessus suivis de 1936, 1914, 1885, 820, 1750, 1625, 1300 et 650, on obtient 13 termes et la séquence des PGCD est 3, 5, 10, 12, 16, 22, 29, 65, 70, 125, 325, 650
