Passage obligé

Passage obligé

Problème D1837 de Diophante

Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆]

quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F. Les cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q. Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.

Solution

Lorsque la droite [∆] est quasi parallèle à la droite [AB], le point E est très éloigné, le cercle de diamètre CE est localement très voisin de la hauteur [CJ] et il en va de même pour la droite [PQ]. Mutatis mutandis, la droite [PQ] est très voisine de la hauteur [BI] lorsque la droite [∆] est quasi parallèle à la droite [AC]. D’où l’idée de s’intéresser au point H, orthocentre du triangle ABC.

Montrons que la droite [PQ] passe par le point H.

Ci-dessus, il apparaît que la puissance HB*HI de H, par rapport au cercle de diamètre BF, vaut soit la moitié de la puissance HB*HL de H, par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC, car I est le milieu de HL.

De manière analogue, la puissance HC*HJ de H, par rapport au cercle de diamètre CE, vaut soit la moitié de la puissance HC*HK de H, par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC, car J est le milieu de HK.

Ainsi le point H possède la même puissance par rapport aux deux cercles de diamètres BF et CE. Il appartient à la droite [PQ] polaire des deux cercles cités.

Remarquons que ce passage obligé ne dépend pas du point D.