A322 : 72, nombre magique
Prenez le nombre N = 3 399 999 966 qui a dix chiffres dont la somme est égale au nombre magique 72. Multipliez N successivement par les entiers naturels 2,3,4,….k et calculez à chaque fois la somme des chiffres du nombre ainsi obtenu. Vous vous arrêtez quand cette somme est différente du nombre magique. Quel est le nombre de multiplications effectuées?
Nota : calculette autorisée….mais déconseillée.
N=34 (108-1) ; or, pour tout nombre K<108, c’est à dire ayant k≤8 chiffres, M=K(108-1) s’écrit avec les k chiffres de K, suivis de 8 chiffres qui sont des 9 ou les compléments à 9 des chiffres de K pour les k derniers. Il en résulte que la somme des chiffres de M est égale à 8*9=72.
Or 34p dépasse 108 pour p=2941177 ; on a alors pN=10000001699999982, dont la somme des chiffres est encore 72. Il en est de même pour 108< pN< 2*108, puisque alors pN est un nombre de 17 chiffres, la somme de deux chiffres symétriques par rapport au chiffre médian étant égale à 9, sauf pour les extrêmes, où la somme du premier du médian et du dernier est égale à 9 (à chaque fois que l’on ajoute N, on ajoute 34 au nombre formé des 9 premiers chiffres, et on retranche 34 au nombre formé des 8 derniers) .
Ce n’est que lorsque 34p dépasse 2*108, et p=5882353, que pN=19999999999999998, dont la somme des chiffres est 16*9=144.
