M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2005-2006 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. Mars 2006
Le processusW est un mouvement Brownien issu de 0, Ft=σ(Ws, s≤t) sa filtration naturelle.
Les exercices 1 et 2 doivent ˆetre r´esolus sans documents pendant la premi`ere heure.
Vous pouvez rendre votre copie avant la fin de la premi`ere heure, pour passer aux exer- cices suivants pour lesquels vous avez droit aux documents.
1. Soitθ une constante etLla solution de dLt=LtθdWt, L0= 1.
(a) CalculerE(LTlnLT|Ft) par les deux m´ethodes suivantes i. En utilisant le th´eor`eme de Girsanov
ii. En calculant la dynamique du processus (Yt=LtlnLt, t≥0) (b) Soitαune constante. CalculerE(LαT|Ft).
2. SoitX solution de
dXt=a2
2 Xtdt+aXtdWt, X0=x andYt=aXtRt
0 dBs
Xs o`u B est un MB ind´ependant deW. (a) Quelle est la dynamique deY?
(b) Montrer que
dYt=a2
2 Ytdt+a q
1 +Yt2dβt
o`uβ est un MB.
(c) Montrer qu’il existef telle que queYt=af(aβt)
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3. On rappelle que, siXt=Wt+νt,MtX= sups≤tXsetmXt = infs≤tXs, pour y≥0, y≥x P(Xt≤x, MtX ≤y) =N(x−νt
√t )−e2νyN(x−2y−νt
√t ) et poury≤0, y≤x
P(Xt≥x, mXt ≥y) =N(−x+νt
√t )−e2νyN(−x+ 2y+νt
√t ). On noteTy = inf{t : Xt=y}
(a) Montrer que, poury≥0
P(Ty < t) =N(−y+νt
√t ) +e2νyN(−y−νt
√t ). (b) Montrer que P(Ty> T|Ft) = Ψ(T−t, Xt) o`u l’on explicitera Ψ
(c) SoitS le processus solution de
dSt=St(µdt+σdWt), S0=x
et Ta(S) = inf{t : St=a}. CalculerP(Ta(S)> T) et P(Ta> T|Ft) pourt < T . 1
4. Mod`ele `a volatilit´e stochastique d’Heston: on suppose que sous la probabilit´e risque neutreQ, le prix de l’actif et la volatilit´e ont pour dynamique
dSt = St(rdt+p YtdWt) dYt = (a−bYt)dt+σp
YtdBt
On admet que les coefficientsa, b, σ sont choisis de telle sorte que∀t, Yt >0. Dans un premier temps, on suppose que les BrowniensW etB sont ind´ependants. Le but est de calculer
Ct=EQ(e−r(T−t)(ST −K)+|Ft)
o`u (Ft, t≥0) est la filtration engendr´ee par le coupleW, B. On admet queST est int´egrable.
(a) On poseX = lnS. Quelle est la dynamique deX?
(b) Justifier qu’il existe une fonction C : [0, T]×IR+×IR+ → IR telle que Ct = C(t, St, Yt).
Montrer que e−rtC(t, St, Yt) est une martingale.
(c) On admet queC est de classe C1,2,2. Ecrire l’EDP que cette fonction v´erifie. Pr´eciser les conditions au bord.
(d) Soit Qe d´efinie pardQ|eFt = (e−rtSt/S0)dQ|Ft. Justifier que l’on a d´efini un changement de probabilit´e.
(e) Quelles sont les dynamiques deX et de Y sousQ? (on rappelle quee X = lnS) (f) Montrer que
C(t, St, Yt) =StQ(Xb T > k|Ft)−Ke−r(T−t)Q(XT > k|Ft) o`u l’on d´efinira soigneusementQb etk.
(g) Soit g(t, Xt, Yt) =EQ(11XT>k|Ft). Quelle est l’EDP v´erifi´ee par g? Pr´eciser les conditions au bord.
Soitf(t, Xt, Yt) =Q(Xb T > k|Ft). Quelle est l’EDP v´erifi´ee parf?Pr´eciser les conditions au bord.
(h) Indiquer les changements `a faire dans le cas o`u B etW sont corr´ell´es.
5. On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es dont la dynamique est dSti=Sti¡
µitdt+σitdWt
¢, i= 1,2. Pour le moment, il n’y a pas d’actif sans risque.
(a) Montrer que sous une condition (*) portant sur les coefficients, il existe une probabilit´e
´equivalente `aP telle queS2/S1est uneQ-martingale.
(b) Expliquer, ´eventuellement dans un cas particulier, ce qu’il se passe si (*) n’est pas satisfaite.
(c) Soitφ= (φ1, φ2) une strat´egie de valeur
Vtφ=φ1tSt1+φ2tSt2.
(φ1t est le nombre de parts d’actif 1, et φ2 le nombre de parts d’actif 2 d´etenues par l’investisseur) qui v´erifie la condition d’autofinancement
dVtφ=φ1tdSt1+φ2tdSt2 Montrer que le processus (Vtφ/St1, t≥0) est uneQ-martingale.
(d) Montrer que tout actif contingent H ∈ FT peut ˆetre dupliqu´e. On ne cherchera pas `a expliciter le portefeuille de couverture.
(e) En d´eduire qu’il existe une strat´egie autofinancante telle que VTφ= 1.
(f) En d´eduire qu’il existe un z´ero-coupon. Quel est son prix? Comment pourrait-on d´eterminer sa dynamique?
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