M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2006-2007 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. Mars 07
Dans tous les exercices, W est un mouvement Brownien. Vous devez r´epondre aux 3 premi`eres questions sans documents durant la premi`ere heure. Ensuite, vous passez `a la suite, avec documents.
1. DANS CETTE QUESTION, des r´eponses fausses seront affect´ees de points n´egatifs. Si vous ne r´epondez pas `a cette question, vous serez ´egalement p´enalis´e. Donner la d´efinition d’une mesure martingale ´equivalente (mme). Enoncer ses propri´et´es. Comment ´evaluer un produit d´eriv´e en utilisant la mme. Liens entre l’existence de mme et march´e complet, march´e sans arbitrage.
2. Expliciter la solution de
dXt=Xt(tdt+etdWt), X0= 1
On pourra donner la solution sans faire de calculs interm´ediaires, car des calculs de ce type ont
´et´e souvent effacu´es en cours, ou trouver de l’aide en introduisant le processusYt=Xte−t2/2. 3. Montrer que, siM est une martingale continue, le processusZ d´efini par
Zt= (Mt−ahMit) exp(aMt−1
2a2hMit) est une martingale locale. On pourra se limiter au casMt=m+Rt
0θsdWs). Si Z est une mar- tingale, quelle est son esp´erance? Quel est le crochet deM? Quel est le processus croisant Atel queZt2−Atest une martingale (locale)?
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4. SoitY un processus continu nul en 0 tel que Yt = Mt+At o`u M est une martingale continue et A un processus croissant que l’on supposera absolument continu par rapport `a la mesure de Lebesgue, i.e., de la forme At =Rt
0asds (on parlera de d´ecomposition additive). On pourra se contenter d’´etudier le cas
Yt= Z t
0
ysdWs+ Z t
0
asds .
On souhaite montrer qu’il existe une martingale locale continueµet un processus croissantαtels queYt=µtαt
(a) Montrer queY est une sur-martingale ou une sous martingale.
(b) En supposant l’existence du coupleµ, α, ´ecrire la dynamique de Y en fonction de µet deα.
(c) En utilisant la d´ecomposition additive deY, en d´eduire une ED v´erifi´ee parαdu type dαt=αtftdt
o`uftest un processus que l’on explicitera en fonction deY et dea.
(d) Montrer l’existence d’un couple (µ, α) 5. Soitrun processus v´erifiant
drt=adt+σ√
rtdWt, r0=x
Soit 0< α < x < β donn´es. On suppose qu’il existe V telle que 12σ2rV00(r) +aV0(r) = 0 pour α < r < βet V(β) = 1, V(α) = 0. On note Ty = inf{t≥0 : rt=y}.
(a) Ecrire la dynamique deYt=V(rt).
(b) En admettant que les martingales locales qui apparaissent sont des martingales uniform´ement int´egrables, calculer E(V(rTα∧Tβ)) en fonction deV(x).
(c) ExprimerP(Tβ< Tα) en fonction de V(x).
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6. SoitdXt= (a+bXt)dt+√
σ+θXtdWt. On admet que les coefficients constantsa, b, σ, θ sont tels que cette ´equation a une solution.
(a) Justifier que, pourt < T et λr´eel,E(e−λ22XT|FtW) =ψ(t, Xt) pour une fonctionψ que l’on supposera de classeC1,2. Montrer que le calcul deE(e−λ22XT) peut se ramener `a la recherche de la solution d’une EDP dont on pr´ecisera les conditions au bord. On ne demande pas la r´esolution de l’EDP.
(b) Montrer que le calcul deE(exp(−λ22XT −µRT
0 Xsds)) peut se ramener `a la recherche de la solution d’une EDP dont on pr´ecisera les conditions au bord.
7. Soit
dSt = St(rdt+σtdBbt) (1)
dσt = σt(kdt+γdWt) (2)
la dynamique du prix d’un actif de volatilit´e stochastique. On suppose les MBBetW ind´ependants.
On admet que les deux dynamiques sont des dynamiques risques neutres. Comment calculer le prix d’une option Europ´eenne de strikeK.
8. SoitFune filtration donn´ee, U une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1] ind´ependante de F∞,Aun processusF-adapt´e, d´ecroissant, tel queA0= 1, A∞= 0 etτ = inf{t : At< U}
(a) Calculer le prix d’un actif versantX ∈ FT
a la date T s’il n’y a pas eu d´efaut et versantR(τ) en τ s’il y a eu d´efaut, lorsque le taux d’int´erˆet est constant, ´egal `a r.
(b) On suppose qu’il y a deux d´efauts arrivant en τi τi = inf{t : Ait < Ui}, o`u les Ui sont ind´ependantes. Comment calculer le prix d’un first-to-defaut, s’est `a dire le prix d’un actif qui verseX s’il n y a eu aucun d´efaut, etR(τ) siτ=τ1∧τ2, enτ, siτ < T?
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