Examen Calcul Stochastique. Seconde session. Avril 05

DESS Ing´eni´erie math´ematiques. Universit´e d’EVRY 2004-2005 M. Jeanblanc

Examen Calcul Stochastique. Seconde session. Avril 05

Les exercices 1, 2 et 3 doivent ˆetre r´esolus sans documents pendant la premi`ere heure.

Vous devez alors rendre votre copie correspondant `a cette partie en notant sur vos brouil- lons la r´eponse de l’exercice 3. Vous pouvez rendre votre copie avant la fin de la premi`ere heure, pour passer aux exercices suivants pour lesquels vous avez droit aux documents.

Dans tous les exercices, le processusW est un mouvement Brownien issu de 0,Ft=σ(Ws, s≤t) sa filtration naturelle.

1. On suppose que la dynamique d’un actif est, sous la probabilit´e risque neutre dSt=St(rdt+σ(t)dWt), S0=x

o`ur est une constante etσune fonction,continue non r´eduite `a une constante.

(a) Ecrire la forme de la solutionSt. Montrer queST a mˆeme loi que exp(a+b√

T G) o`uGest une v.a. gaussienne centr´ee r´eduite, et o`u on pr´ecisera les valeurs deaet b.

(b) Calculer la valeur d’un call Europ´een de maturit´eT et de strikeK,avec le minimum de calculs (Trois `a quatre lignes de calcul maximum pour obtenir une forme explicite). On rappelle que, dans le casσ(t) =σ, la formule de Black et Scholes est

C=S0N(d1(S0, σ, T))−Ke^−rTN(d2(S0, σ, T)) avec

d1(x, σ, T) = 1 σ√

T ln( x

Ke^−rT)−σ√ T

2 , d2(x, σ, T) =d1(x, σ, T) +σ√ T .

2. (a) Question pr´eliminaire SoitX et Y deux processus d’Itˆo continus (on ne pr´ecisera pas leur dynamique, c’est inutile pour ce qui suit). Rappeler la formule d’int´egration par parties pour d(XY). En d´eduire que

Xtd( 1 Xt

) + 1 Xt

dXt+dhX, 1 Xit= 0

(b) Soit S_t⁽ⁱ⁾, i = 1,2 deux processus continus strictement positifs, πⁱ, i = 1,2 deux processus adapt´es tels que si on note Vt=π_t¹S_t⁽¹⁾+π_t²S_t⁽²⁾ alorsdVt=π_t¹dS_t⁽¹⁾+π²_tdS_t⁽²⁾. On d´efinit V_t¹=Vt/S_t⁽¹⁾.

i. CalculerdhV, 1

S⁽¹⁾i_ten fonction dedhS⁽¹⁾, 1

S⁽¹⁾i_tet dhS⁽²⁾, 1 S⁽¹⁾i_t ii. Montrer quedV_t¹=π_t²

Ã

S_t⁽²⁾d 1 S_t⁽¹⁾ + 1

S_t⁽¹⁾dS_t⁽²⁾+dhS⁽²⁾, 1 S⁽¹⁾i_t

!

iii. Montrer quedV_t¹=π_t²d Ã

S_t⁽²⁾ S_t⁽¹⁾

! .

3. SoitX solution de

dXt=Xt(αtdt+βtdWt) Ecrire cette solution, montrer en particulier que

Xt=e^AtMt

o`uM est une martingale locale etAun processus `a variation born´ee.

4. Soit (a, b, c, z) des constantes et

Zt=e^{(a−c2/2)t+cWt} µ

z+b Z _t

0

e^{−(a−c2/2)s−cWs}ds

¶

Quelle est l’EDS v´erifi´ee parZ?

5. On consid`ere le processus de dynamique

dSt=St((r−q+ht)dt+σdWt) o`u (ht, t≥0) est un processus adapt´e.

(a) On se place dans le casht= 0,∀t. Montrer que (Mt=Ste^−(r−q)t, t≥0) est une martingale positive. On d´efinit une probabilit´e Q pardQ|Ft = ^M_M^t

0dP|Ft. Comment se transforme le MB W?

(b) Dans le cashnon nul, expliciterSt(Utiliser l’exercice 3).

(c) On suppose queht=h(St) o`uhest une fonction continue. On admet qu’il existe une solution de l’EDS correspondante. Montrer que

e^−rTE(e⁻ R_T

0 h(Ss)ds

Ψ(ST)) =e^−qTS0EQ(S_T⁻¹Ψ(ST))

(d) On se place maintenant dans le casht=S_t^−p, avecpr´eel. On admet qu’il existe une solution de l’EDS. On poseZt=S_t^p.

i. Quelle est la dynamique deZ?

ii. V´erifier, en utilisant l’exercice 4 que l’on peut expliciterZ.

iii. Pour quelles fonctionsf, le processusf(Z) est il une martingale (locale)?

6. Sur le march´e financier on trouve un actif risqu´e de prix (St, t≥0) v´erifiantdSt=St(µdt+σdWt) et un actif sans risque de prixS⁰v´erifiantdS_t⁰=S_t⁰rdt .Soitπun processus adapt´e et (Xt, t≥0) la solution de

dXt=rXtdt+πtXt(dWt+µ−r

σ dt). (1)

ExpliciterXT en fonction deW et deπ. Calculer E(lnXT) ( en admettant que les martingales locales qui interviennent sont des martingales). Montrer que l’on peut choisir π tel que l’on maximiseE(lnXT). Expliquer quel type de probl`eme l’on r´esout ainsi.

7. SoitLt= exp

³

−¹₄¡

e^−2Wt−1¢ +¹₂R_t

0

¡e^−2Ws−¹₄e^−4Ws¢ ds

´

(a) Question pr´eliminaire: Calculer l’int´egraleR_t

0e^−2WsdW_s.

(b) Montrer que Lest une martingale locale (penser au r´esultat obtenu dans l’exercice 3). On suppose que Lest une martingale (ce qui est le cas). Quelle est son esp´erance?

(c) On posedQ|Ft =LtdP|Ft. Quelle est la dynamique deW sousQ?

8. SoitX solution de (on admet queX existe et prend ses valeurs dans ]0,1[) dXt=Xt(1−Xt) ((µ−Xt)dt+dWt), X0=x Soith0(x) =¡_1−x

x

¢_2µ−1

et h1(x) = 2^{ln(1−x)−ln}_2µ−1 ^x.

(a) Montrer queh0(Xt) et h1(Xt)−t sont des martingales.

(b) Soitτ= inf{t≥0, St6∈[a, b]}, avec 0< a < b <1. Montrer queP(Xτ =a) = ^h_h^0(x)−h0(b)

0(a)−h0(b) et calculerE(τ).

La partie sans documents est not´ee sur 10,5, la partie avec sur 0. Faire la somme des deux notes et multiplier par 2/3 devrait etre bon pour avoir une note sur 20.

1. (3 points) On suppose que la dynamique d’un actif est, sous la probabilit´e risque neutre dSt=St(rdt+σ(t)dWt), S0=x

o`ur est une constante etσune fonctioncontinue du temps.

(a) Ecrire la forme de la solutionSt. Montrer queST a mˆeme loi que exp(a+b√

T G) o`uGest une v.a. Gausienne centr´ee r´eduite, et o`u on pr´ecisera les valeurs de aetb.

(b) Calculer la valeur d’un call Europ´een de maturit´eT et de strikeK,avec le minimum de calculs. On rappelle que, dans le casσ(t) =σ, la formule de Black et Scholes est

C=S0N(d1(S0, σ, T))−Ke^−rTN(d2(S0, σ, T)) avec

d1(x, σ, T) = 1 σ√

T ln( x

Ke^−rT)−σ√ T

2 , d2(x, σ, T) =d1(x, σ, T) +σ√ T .

L’exercice 1 a d´eja ´et´e pos´e en Janvier. Un corrig´e a ´et´e distribu´e. Etre s´ev`ere dans la correction.

Il suffit de remarquer que

ST =S0e^rTexp(−1 2Σ²_T)e^G

o`u G est une variable gaussienne centr´ee de variance Σ² avec Σ²_T = R_T

0 σ²(s)ds. La formule traditionnelle de BS correspond `a ST = S0e<sup>rT</sup>e<sup>−12σ2T</sup>e<sup>G</sup> o`u G = R_T

0 σsdWs est une variable gaussienne centr´ee et de variance σ²T =R_T

0 σ²ds. Il suffit donc de changer σ²T en Σ²_T dans la formule de BS.

2. (6pt)

(a) Question pr´eliminaire (1 pt) SoitX etY deux processus d’Itˆo continus (on ne pr´ecisera pas leur dynamique, c’est inutile pour ce qui suit). Rappeler la formule d’int´egration par parties pour d(XY). En d´eduire que

Xtd( 1 Xt) + 1

XtdXt+dhX, 1 Xit= 0

(b) Soit S_t⁽ⁱ⁾, i = 1,2 deux processus continus strictement positifs, πⁱ, i = 1,2 deux processus adapt´es tels que si on note Vt=π¹S_t⁽¹⁾+π²S_t⁽²⁾ alorsdV_t^π=π_t¹dS⁽¹⁾_t +π_t²dS_t⁽²⁾.On d´efinit V_t¹=V_t^π/S_t⁽¹⁾.

i. (2pt) CalculerdhV, 1

S¹iten fonction dedhS¹, 1

S⁽¹⁾itetdhS², 1 S⁽¹⁾it

ii. (2pt) Montrer quedV_t¹=π²_t Ã

S_t⁽²⁾d 1 S_t⁽¹⁾ + 1

S_t⁽¹⁾dS²_t+dhS², 1 S⁽¹⁾it

!

iii. (1pt) Montrer que dV_t¹=π²_tdS⁽²⁾_t S⁽¹⁾_t

L’exercice 2 a d´eja ´et´e pos´e en Janvier. Un corrig´e a ´et´e distribu´e.

On ´ecrit la formule d’int´egration par parties

d(X_t

Yt) =Xtd(1 Yt) + 1

YtdXt+dhX, 1 Yit. En particulier (on omet les indicest) (X=Y)

d(X

X) =d(1) = 0 =Xd(1 X) + 1

XdX+dhX, 1 Xi.

SoitdV =π1dS¹+π²dS². On a donc dhV, 1

S¹i=π1dhS¹, 1

S¹i+π²dhS², 1 S¹i.

Par suite, siV¹=V /S¹, on peut ´ecrire la suite d’´egalit´es (on utiliseV =π¹S¹+π²S²) dV_t¹ = V d( 1

S¹) + 1

S¹dV +dhV, 1 S¹i

= (π¹S¹+π²S²)d( 1 S¹) + 1

S¹

¡π1dS¹+π²dS²¢

+π1dhS¹, 1

S¹i+π²dhS², 1 S¹i

= π1

µ S¹d( 1

S¹) + 1

S¹dS¹+dhS¹, 1 S¹i

¶ +π²

µ S²d( 1

S¹) + 1

S¹dS²+dhS², 1 S¹i

¶

= π²d(S² S¹)

3. (2pt) SoitX solution de

dXt=Xt(αtdt+βtdWt) Ecrire cette solution, montrer en particulier que

Xt=e^AtMt

o`uM est une martingale locale etAun processus `a variation born´ee.

ce sont des calculs faits plusieurs fois en cours et Td

Xt=X0exp µZ _t

0

αsds

¶ exp

µZ _t

0

βsdWs−1 2

Z _t

0

β_s²ds

¶

4. (1pt) Soit (a, b, c, z) des constantes et Zt=e^{(a−c2/2)t+cWt}

µ z+b

Z _t

0

e^{−(a−c2/2)s−cWs}ds

¶

Quelle est l’EDS v´erifi´ee parZ? Simple application de Itø

dZt= (aZt+b)dt+cZtdWt

5. (9pt5) On consid`ere le processus de dynamique

dSt=St((r−q+ht)dt+σdWt) o`u (ht, t≥0) est un processus adapt´e.

(a) (1pt5) On se place dans le casht= 0,∀t. Montrer queSte^−(r−q)t=Mt est une martingale positive. On d´efinit une probabilit´e Q pardQ|Ft = ^M_M^t

0dP|Ft. Comment se transforme le MB W?

(b) (1pt) Dans le cas hnon nul, expliciterSt(Utiliser l’exercice 3).

(c) (3pt) On suppose queh_t=h(S_t) o`uhest une fonction continue. On admet qu’il existe une solution de l’EDS. Montrer que

e^−rTE(e⁻ R_T

0 h(Ss)ds

Ψ(ST)) =e^−qTS0EQ(S_T⁻¹Ψ(ST))

(d) On se place maintenant dans le casht=S_t^−p. On admet qu’il existe une solution de l’EDS.

On poseZt=S_t^p.

i. (1pt) Quelle est la dynamique deZ?

ii. (1pt) V´erifier, en utilisant l’exercice 4 que l’on peut expliciterZ.

iii. (2pt) Pour quelles fonctionsf le processusf(Z) est-il une martingale (locale)?

Dans le cash= 0, on a

St=S0e^(r−q)te^{σWt−12σ2t}=e^(r−q)tMt.

Donc Mt=M0e^{σWt−12σ2t} est une martingale positive, d’esp´erance 1 et on peut l’utiliser comme densit´e de RN. SousQ, le processusWct=Wt−σt est un MB.

Dans le cas g´en´eral

St=S0e^(r−q)te R_t

0hsds

e^{σWt−12σ2t}. On en d´eduite⁻

R_t

0hsds

= _S¹

tMte^−(r−q)t. Donc e^−rTE(e⁻

R_T

0 h(Ss)ds

Ψ(ST)) =e^−rTE( 1

STMTe^−(r−q)TΨ(ST)) =e^−qTEQ( 1

STΨ(ST)). On se place dans le casht=S_t^−p et on pose Zt=S_t^p. Le calcul d Ito conduit `a

dZt = pS_t^pσdWt+ (r−q)pS_t^pdt+pdt+1

2p(p−1)S_t^p−2S_t²σ²dt

= pZtσdWt+ µ·

(r−q)p+1

2p(p−1)σ²

¸ Zt+p

¶ dt

= (aZ_t+b)dt+cZ_tdW_t Le processusf(Zt) est une martingale locale si

f⁰(z)(az+b) +1

2f⁰⁰(z)c²z²= 0. On poseg=f⁰. L’´equation

g(z)(az+b) +1

2g⁰c²z²= 0

a pour solution g(z) = αexp(_c^2b2z)z^−1/c2. Les fonctions f recherch´ees (ce que l’on appelle les fonctions d’´echelle) sont les primitives deg.

6. (3pt) Sur le march´e financier on trouve un actif risqu´e de prix (St, t≥0) v´erifiantdSt=St(µdt+ σdWt) et un actif sans risque de prix S⁰ v´erifiant dS⁰_t =S_t⁰rdt . Soitπ un processus adapt´e et (Xt, t≥0) la solution de

dXt=rXtdt+πtXt(dWt+µ−r

σ dt). (2)

Expliciter XT en fonction de W et de π. Calculer E(lnXT) (on admettra que les martingales locales qui interviennent sont des martingales). Montrer que l on peut choisir π tel que l’on maximiseE(lnXT). Expliquer quel type de probl`eme l’on r´esout ainsi.

Il est facile de montrer que

Xt=X0e^rtexp µZ _t

0

πsdWs−1 2π²_sds

¶ exp

Z _t

0

πsµ−r σ ds . DonclnXT =X0+rT+R_t

0πsdWs−¹₂π_s²ds+R_t

0πsµ−r

σ dsetE(lnXT) =X0+rT+R_T

0 E(πsµ−r σ ds−

1

2π²_s)ds. Il reste `a trouverπqui majoreπsµ−r

σ −¹₂π_s² ce qui donneπs= ^µ−r_σ . On r´esout ainsi un probl`eme de gestion de portefeuille (dit probl`eme de Merton)

7. (4pt) SoitLt= exp

³

−¹₄¡

e^−2Wt−1¢ +¹₂R_t

0

¡e^−2Ws−¹₄e^−4Ws¢ ds

´

(a) (2pt) Question pr´eliminaire: Calculer l’int´egraleR_t

0e^−2WsdWs.

(b) (1pt) Montrer queLest une martingale. Quelle est son esp´erance?

(c) (1pt) On posedQ=LtdP. Quelle est la dynamique deW sousQ?

On remarque quee^−2Wt−1 =−2R_t

0e^−2WsdWs+ 2R_t

0e^−2Wsds

−1 4

¡e^−2Wt−1¢ +1

2 Z _t

0

µ

e^−2Ws−1 4e^−4Ws

¶ ds

= 1

2 Z _t

0

e^−2WsdWs−1 2

Z _t

0

e^−2Wsds+1 2

Z _t

0

µ

e^−2Ws−1 4e^−4Ws

¶ ds

= 1

2 Z _t

0

e^−2WsdWs−1 4

Z _t

0

e^−4Wsds

et on sait que exp³R_t

0θ_sdW_s−¹₂R_t

0θ²ds´

est une martingale locale. On peut v´erifier que la condition de Novikov est satisfaite SousQ, le processusWc=W−¹₂R_t

0e^−2Wsdsest un MB.

8. (7pt) SoitX solution de (on admet queX existe)

dXt=Xt(1−Xt) ((µ−Xt)dt+dWt), X0=x Soith0(x) =¡_1−x

x

¢_2θ−1

et h1(x) = 2^{ln(1−x)−ln}_(2µ−1) ^x etτ= inf{t≥0, St6∈[a, b]}.

(a) (3pt) Montrer queh0(Xt) et h1(Xt)−tsont des martingales.

(b) (4pt) Montrer queP(Xτ=a) =^h_h^0(x)−h0(b)

0(a)−h0(b) et calculerE(τ).

La premi`ere question r´esulte d’une application du lemme d’Itˆo: f(t, Xt)est une martingale locale si ’Gf(t, Xt) = 0avecGf(t, x) =∂tf+x(1−x)(µ−x)∂xf+<sup>1</sup><sub>2</sub>x<sup>2</sup>(1−x)<sup>2</sup>∂xxf. Dire queh0(X)est une martingale locale revient `a v´erifier queh0est solution dex(1−x)(µ−x)h⁰+¹₂x²(1−x)²h⁰⁰= 0.

Montrer queh1(Xt)−t est une martingale locale revient `a v´erifier queh1 satisfait

−1 +x(1−x)(µ−x)h⁰+1

2x²(1−x)²h⁰⁰= 0.

En appliquant le th´eor`eme d’arˆet de Doob (la fonctionh0 est born´ee sur[a, b], la martingale locale h0(Xt∧τ)est uniform´ement int´egrable) E(h0(Xτ)) =h0(x)soit

h₀(x) =E(h₀(X_τ)) =h₀(a)P(X_τ =a)+h₀(b)P(X_τ =b) =h₀(a)P(X_τ =a)+h₀(b)(1−P(X_τ =a)). On applique ensuite le th´eor`eme de Doob `ah1(Xt)−t

h1(x) = E[(h1(a)−τ)11Xτ=a)] +E[(h1(b)−τ)11Xτ=b)]

= h1(a)P(Xτ =a) +h1(b)(1−P(Xτ=a))−E(τ)